13wk: 밀도함수

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-xzs1sJhhsXTzssLICsc9t6

칸토어집합

ref: https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set

정의

- 아래의 집합열 $C_n$의 극한 $\mathcal{C}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_n$를 생각하자.

실제수열

• $C_0=[0,1]$
• $C_1=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]$
• $C_2=([0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}])\cup ([\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup [\frac{8}{9},1])$
• $\dots$

언어버전: created by iteratively deleting the open middle third from a set of line segments.

• $C_0$: $[0,1]$
• $C_1$: $C_0$에서 정의된 line을 3등분한뒤 가운데를 제거
• $C_2$: $C_1$에서 정의된 line segments를 각각 3등분한뒤 각각 가운데를 제거
• $\dots$

수식버전

• $C_0=[0,1]$
• $C_1=\frac{C_0}{3}\cup (\frac{2}{3}+\frac{C_0}{3})$
• $C_2=\frac{C_1}{3}\cup (\frac{2}{3}+\frac{C_1}{3})$
• $\dots$
• $C_n=\frac{C_{n-1}}{3}\cup (\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3})$

단, 여기에서

• $\frac{1}{3}[a,b]=[\frac{a}{3},\frac{b}{3}]$
• $\frac{2}{3}+[a,b]=[\frac{2}{3}+a,\frac{2}{3}+b]$

와 같이 정의한다.

그림버전

그림1: 칸토어 집합

성질

- 3진법의 표기: 칸토어 집합의 원소는 $[0,1]$사이의 원소를 삼진법으로 표현할때 모든 자리수가 0 또는 2가 되는 수만 모은 집합이다.

1. $[0,1]$ 사이의 모든 실수를 3진법을 표현한다고 생각하자.
2. $C_1$은 $0.1xxxx\dots {}_3$와 같은 숫자가 빠지고, $C_2$에서는 $0.01xxx\dots {}_3$ 혹은 $0.21xxx\dots {}_3$ 에 대응하는 숫자가 빠지는 과정이 반복적으로 일어난다고 볼 수 있다.
3. 2의 결과를 잘 생각하면 칸토어 집합에 포함되는 수는 삼전법 소수로 표기했을 때 모든 자리수가 0 또는 2가 된다는 점을 쉽게 눈치챌 수 있다.

- 카디널리티: 칸토어 집합의 카디널리티는 구간 $[0,1]$의 카디널리티와 같다. 즉 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 이다.

1. $y\in [0,1]$ 사이의 모든 실수는 임의의 2진수로 표현할 수 있다.
2. 예를들어 $y=\frac{3}{5}=0.100110011001..{.}_2$와 같이 표현할 수 있다.
3. 만약에 2의 결과에서 $1$을 모두 $2$로 바꾸어 3진법수를 만들면 $0.200220022002..{.}_3=\frac{7}{10}$와 같이 쓸 수 있는데, 이는 칸토르 집합의 원소가 된다.
4. 3을 2의 출력으로 바꾸는 과정을 수행하는 함수 $f$를 정의하자. 즉 이 예제의 경우 $f(\frac{7}{10})=\frac{3}{5}$.
5. $f$는 전사함수이므로 $\mathsf{c}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{d}([0,1])\le \mathsf{c}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{d}(\mathcal{C})$.

- 잴 수 있는 집합: $\mathcal{C}\in \mathcal{R}$

1. $C_0,C_1,C_2\cdots \in \mathcal{R}$
2. $\mathcal{C}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_n={\cap }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n$ ($C_0,C_1,C_2,\dots$ 이 감소하는 집합열임을 이용)
3. 시그마필드 $\mathcal{R}$은 countable intersection에 닫혀있으므로 $\mathcal{C}\in \mathcal{R}$

- 르벡측도값(길이): $\lambda (\mathcal{C})=0$이다. 여기에서 $\lambda$은 르벡측도이다. 즉 칸토어집합의 길이는 0이다.

1. 칸토어 집합을 만드는 과정에서 제외되는 집합의 길이는 순서대로 $\frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{4}{27}\dots$ 이다.
2. 이것은 첫째항이 $\frac{1}{3}$이고 공비가 $\frac{2}{3}$인 등비수열이므로 무한등비급수의 합을 이용하면 제외되는 길이의 합은 $1$이 됨을 계산할 수 있다.

- 굉장히 오래전에 만들었던 표

집합	카디널리티	분류	르벡메져
$\{1,2,3\}$	3	가산집합	0
$\mathbb{N}$	${\mathrm{\aleph }}_0$	가산집합	0
$\mathbb{Z}$	${\mathrm{\aleph }}_0$	가산집합	0
$\mathbb{Q}$	${\mathrm{\aleph }}_0$	가산집합	0
$[0,1]$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	1
$[0,1]\cap \mathbb{Q}$	${\mathrm{\aleph }}_0$	가산집합	0
$[0,1]\cup \mathbb{Q}$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	1
$[0,1]\cap {\mathbb{Q}}^c$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	1
$[0,\mathrm{\infty })$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	$\mathrm{\infty }$
비탈리집합	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	NA
칸토어집합	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	0

강의설명 오류 정정

이부분의 설명에서 제가 “가산집합이면 대부분 르벡메져가 0이다” 라는 식으로 설명했는데요, 이는 잘못된 설명입니다. 대부분의 가산집합이 르벡메져가 0이 아니고 “모든 가산집합은 무조건 르벡메져가 0입니다.” 왜냐하면 임의의 가산집합 $A$는 아래와 같이 한점의 집합의 countable union으로

$$A={\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\{a_i\}$$

으로 표현가능한데요, 여기에 르벡메져를 취하면

$$\lambda (A)=\lambda ({\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\{a_i\})=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (\{a_i\})=0$$

와 같이 됩니다. 두번째 등호는 메져의 정의 ($\sigma$-additivity) 에 의하여 성립합니다. 강의오류에 발견에 도움을 준 김보람학생 감사합니다.

밀도함수 (density function)

정의

- (정의) $X$를 확률공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$에서 정의된 확률변수라고 하고 $F_X$를 $X$의 분포함수 라고 하자. 만약에 $F_X$가 아래와 같은 방식으로 표현된다면 $f_X$를 $X$를 밀도함수 (density function) 이라고 한다.

$$F_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(y)dy$$

- 저런 표현이 존재하지 않는다면 어쩌지?

• $F_X(x)$가 불연속인 경우: 미분 불가능
• $F_X(x)$가 연속인 경우: 미분가능할 수도 있고, 아닐 수도 있고

다양한 밀도함수 예시

- 교양: 함수 $F_X(x)$가 연속인 경우는 연속확률변수 $X$의 분포함수 (distribution fucntion) 혹은 CDF라고 하고 함수 $F_X(x)$가 jump만 존재하는 불연속인 경우는 이산확률변수의 분포함수 (distribution function) 혹은 CDF라고 한다.

(예제1) – 균등분포

아래와 같은 distribution function $F_X$을 가지는 확률변수 $X$를 고려하자.

$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ x& 0\le x\le 1\\ 1& 1<x\end{array}$$

이러한 함수 $F_X$의 density가 존재하는가?

체크: 일단 $F_x(x)$는 (1) 비감소하며 (2) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=F_X(0)=0$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=F_X(1)=1$ (3) 오른쪽연속 (그냥 연속임) 이므로 분포함수의 정의를 만족한다. 따라서 $F_X(x)$에 대응하는 확률변수 $X$가 있다.

(해설)

1. 대충 생각하면 (진짜 말 그대로 대충) 아래와 같이 생각할 수 있다.

$$f_X(x)=\frac{d}{dx}{F}_x(x)$$

2. 즉 $f_X(x)$는 $F_x(x)$의 도함수 같은 것으로 생각할 수 있다.
3. 문제는 $F_X(x)$는 연속이지만 $x=0$과 $x=1$에서 미분가능하지는 않다는 점이다.
4. 그래서 $F_X(x)$는 미분가능하지 않다.
5. 하지만 미분가능의 개념을 “함수”에 적용하는 것이 아니라 “하나의 포인트”에 적용한다면 어떨까?
6. $F_X(x)$는 $x=0$과 $x=1$을 제외한 모든 점에서 미분가능하며 그 도함수는 대략적으로 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ ??& x=0\\ 1& 0<x<1\\ ??& x=1\\ 0& 1<x\end{array}$$

7. 어차피 유한개의 점을 제외하여도 적분값에 영향이 없으므로 ??의 값은 아무값이나 넣어도 상관없다. 편의상 아래와 같은 $f_X(x)$를 고려하자.

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x\le 1\\ 0& o.w.\end{array}$$

8. 위와 같은 $f_X(x)$에 대하여 아래식이 성립한다고 볼 수 있다. $$F_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(y)dy$$

$F_X(x)$는 미분불가능하지만 또 어떠한 의미에서는 가능하다고 볼 수 도 있다.

(a) 균등분포의 cdf

(b) 균등분포의 pdf

그림2: 위키에서 긁어온 균등분포의 pdf, cdf 그림. 실제로는 $x=0,1$에서 $F_X^{\prime }(x)$의 값이 존재하지 않으나 편의상 정의함.

(예제1의 정답에 대한 의문)

만약에 누군가가 아래와 같은 $f_X(x)$들이 pdf라고 주장한다면?

1. $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0<x<1\\ 0& o.w.\end{array}$
2. $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x<1\\ 0& o.w.\end{array}$
3. $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0<x\le 1\\ 0& o.w.\end{array}$

별로 상관없을듯 하다. 어차피 $\lambda (\{0\})=\lambda (\{1\})=0$ 이므로 넓이에 영향이 없다. 위의 함수는 $x=0,1$을 제외한 모든곳에서는 함수값이 일치하므로 거의 같다고 보아도 무방하다. 즉 아래의 함수들은 거의 모든 곳에서 같다.

1. $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0<x<1\\ 0& o.w.\end{array}$
2. $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x<1\\ 0& o.w.\end{array}$
3. $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0<x\le 1\\ 0& o.w.\end{array}$
4. $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x\le 1\\ 0& o.w.\end{array}$

여기에서 두 함수 $f$, $g$가 거의 모든 곳에서 같다라는 표현은

$$\lambda (\{x:f(x)\ne g(x)\})=0$$

을 의미한다. 즉 함수값이 다른 집합의 르벡측도값이 0이라는 의미이다.

(예제2) – 혼합된 균등분포

아래와 같은 distribution function $F_X$을 가지는 확률변수 $X$를 고려하자.

$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ \frac{3}{2}x& 0\le x<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}x& \frac{1}{2}\le x<1\\ 1& 1\le x\end{array}$$

이러한 함수 $F_X$의 density가 존재하는가?

체크: 일단 $F_x(x)$는 (1) 비감소하며 (2) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=F_X(0)=0$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=F_X(1)=1$ (3) 오른쪽연속 (그냥 연속임) 이므로 분포함수의 정의를 만족한다. 따라서 $F_X(x)$에 대응하는 확률변수 $X$가 있다.

(해설)

함수 $F_X(x)$는 $x=0,\frac{1}{2},1$ 에서 미분불가능하지만 어차피 미분불가능한 점이 countable 하므로 여기에서는 무시하고 $f_X(x)$ 값을 편의상 정의하여도 무방하다. 따라서 아래와 같은 함수 $f_X(x)$가 pdf가 될 수 있다.

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}& 0\le x<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}<x<1\end{array}$$

그 외에도 $x=0,\frac{1}{2},1$에서의 함수값을 어떻게 정의하느냐에 따라서 여러개의 정답이 있을 수 있지만, 그러한 함수들은 $f_X(x)$와 거의 모든 곳에서 같은 함수이다.

여기서도 $F_X(x)$는 미분불가능하지만 또 어떠한 의미에서는 가능하다고 볼 수 도 있다.

- 주장: $F_X(x)$가 모든 곳에서 연속 이고 거의 모든 곳에서 미분가능하다고 가능하면 아래를 만족하는 (도함수 비스무리한) $f_X(x)$가 존재한다.

$$F_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(x)dx$$

이때 $F_X(x)$가 미분가능하지 않은 집합에 대하여서는 적분을 정의함에 있어서 제외하고 정의해도 무방하다.

엄청 그럴듯해보이지만 칸토어함수의 존재로 인하여 이 주장은 틀렸다.

칸토어함수, 칸토어분포

- 아래와 같은 과정으로 얻어지는 함수 $F_0,F_1,F_2,\dots$를 고려하자.

그림3: 위키에서 긁어온 칸토어함수의 생성예제

그림에서는 $f_0,f_1,f_2$ 와 같이 표현하였지만 우리는 편의상 $F_0,F_1,F_2$와 같이 표현하도록 하겠다.

- 이제 이러한 함수의 극한을 $F$라고 하자. 즉

$$F(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_n(x)$$

이다. 이것을 기호로 간단하기 $F_n\to F$ 와 같이 표현하기도 한다. 여기에서 $F_n\to F$의 의미는 $F_n$의 임의의 고정된 점 $x^{\star }$에 대하여 $F_n(x^{\star })\to F(x^{\star })$라는 의미이다.

- 함수 $F_n$의 정의역을 칸토르 집합 $\mathcal{C}$와 연계하여 이해하면 아래와 같은 사실을 관찰할 수 있다.

1. $F_0$은 $C_0$에서는 양의 기울기를 가지고 $[0,1]-C_0$ 에서는 기울기가 0이다.
2. $F_1$은 $C_1$에서는 양의 기울기를 가지고 $[0,1]-C_1$ 에서는 기울기가 0이다.
3. $F_2$은 $C_2$에서는 양의 기울기를 가지고 $[0,1]-C_2$ 에서는 기울기가 0이다.

따라서 아래의 사실을 유추할 수 있다.

• $F$는 $\mathcal{C}$에서는 양의 기울기를 가지고 $[0,1]-\mathcal{C}$ 에서는 기울기가 0이다.

- 함수 $F$를 칸토어 함수라고 부른다. 칸토어함수는 아래와 같은 특징이 있다.

1. 칸토어 함수는 모든 곳에서 연속이다.
2. 칸토어 집합의 외부 $[0,1]-\mathcal{C}$에서는 상수함수이다. 즉 칸토어집합의 외부에서는 기울기가 0이다. $m(\mathcal{C})=0$ 이므로 이 함수는 거의 모든 곳에서 기울기가 0이다.
3. $F$는 비감소함수이다.
4. $F(0)=0$ 이고 $F(1)=1$이다.

- 1,3,4에 의하여 $F$는 분포함수의 정의를 만족한다. 1에 의하여 $F$는 연속형확률변수의 분포함수가 된다. 칸토어 집합의 외부에서 (그러니까 [0,1]의 거의 모든 점에서) 도함수는 $0$ 이므로

$$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)=0,\mathsf{a}\mathsf{.}\mathsf{e}\mathsf{.}$$

이다. 하지만 $f(x)$는 pdf의 정의를 만족하지 않는다.

- 요약

• 칸토어함수 $F$는 분포함수의 정의를 만족한다. 따라서 $F$에 대응하는 확률변수 $X$가 반드시 있다.
• 심지어 칸토어함수는 연속함수이므로, $F$에 대응하는 확률변수 $X$는 연속형 확률변수가 된다.
• $F$는 거의 모든 점에서 도함수가 존재하지만 그 도함수의 적분이 아니다.
• 그래서 $X$의 pdf는 존재하지 않는다.

칸토어함수는 미적분학의 기본정리 성립하지 않는 반례를 찾기 위해 고안되었다. 즉 어떠한 함수 $F$가 거의 모든 곳에서 미분가능하며, 그 도함수를 $f$가 르벡적분 가능 할지라도 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(y)dy=F(x)$ 가 성립하지 않을 수 있다.

절대연속

- 모티브

1. $F_X$의 “도함수 비슷한 함수”를 일반화 할 수 없을까? $\Rightarrow$ 라돈니코딤 도함수
2. $F_X$의 1과 같이 도함수 비슷한 함수가 언제 존재하는지 조건을 알 수 있을까? $\Rightarrow$ 절대연속

함수	도함수	라돈니코딤 도함수
연속	X	X1
절대연속	X	O
미분가능	O	O

¹ 칸토어함수!!!

암기: 절대연속은 연속보다 강하고, 미분가능보다 약한 조건이다.

- 정의: 함수 $F_X(x)$가 분포함수의 정의를 만족한다고 가정하자.² $F_X(x)$에 대응하는 분포 ${\mu }_X:\mathcal{R}\to [0,1]$를 생각하자. $F_X(x)$가 절대연속이라는 뜻은 아래가 성립한다는 의미이다.

² 원래는 이러한 가정이 없음

$$\mathrm{\forall }B\in \mathcal{R}:\lambda (B)=0\Rightarrow {\mu }_X(B)=0$$

이럴 경우 아래와 같이 표현한다.

• A measure ${\mu }_X$ is abosolutely continous with respect to Lebesgue measure $\lambda$
• ${\mu }_X<<\lambda$

- 정의: 좀 더 일반적으로는 아래와 같이 정의할 수 있다. (Durrett 2019, p 470)

가측공간 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$를 고려하고 $\mu$, $\lambda$를 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$에서의 메져라고 하자. $\mu$가 absolutely continuous w.r.t. $\lambda$ 라는 의미는

$$\mathrm{\forall }B\in \mathcal{R}:\lambda (B)=0\Rightarrow \mu (B)=0$$

라는 의미이며 기호로는 $\mu <<\lambda$ 와 같이 나타낸다.

여기에서 공간 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$ 은 이해를 돕기위해서 제한한 것이며, 대부분 교재에서는 좀 더 일반적인 가측공간에서 절대연속을 정의한다.

- 절대연속의 예제를 살펴보기전에 필요한 예비학습

이런게 있었거든요.. // 7주차 강의노트

함수 $\mu$가 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$에서 정의된 메져라고 하자.

• $A_i\uparrow A$ $\Rightarrow$ $\mu (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (A_n)$
• $A_i\downarrow A$ with $\mu (A_1)<\mathrm{\infty }$ $\Rightarrow$ $\mu (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (A_n)$
• 감소하거나 증가하는 집합열에서는 $lim$을 넣거나 뺼 수 있다. (정확하지 않은 state, 그냥 기억을 위한 문장)

- 예제1: – 베르누이

아래와 같은 함수를 고려하자.

$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ \frac{1}{2}& 0\le x<1\\ 1& x\ge 1\end{array}$$

이 함수는 르벡메져에 대하여 absolutely continuous 하지 않다.

(해설1)

연속이 아니므로 절대연속이 아니다.

(해설2)

임의의 $\{x\}$에 대하여 ${\mu }_X(\{x\})$를 계산하기 위해서는 아래와 같이 하면 된다.

1. ${\mu }_X(\{x\})={\mu }_X(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x-\frac{1}{n},x])=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mu }_X((x-\frac{1}{n},x])$
2. $(x-\frac{1}{n},x]=(-\mathrm{\infty },x]-(-\mathrm{\infty },x-\frac{1}{n}]$
3. ${\mu }_X((x-\frac{1}{n},x])=F_X(x)-F_X(x-\frac{1}{n})$
4. ${\mu }_X(\{x\})=F_X(x)-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x-\frac{1}{n})$

이를 이용하면

• $\lambda (\{0\})=0\nRightarrow {\mu }_X(\{0\})=F_X(0)-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(-\frac{1}{n})=\frac{1}{2}-0$
• $\lambda (\{1\})=0\nRightarrow {\mu }_X(\{1\})=F_X(1)-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(1-\frac{1}{n})=1-\frac{1}{2}$
• $\lambda (\{0,1\})=0\nRightarrow {\mu }_X(\{0,1\})={\mu }_X(\{0\})+{\mu }_X(\{1\})=1$

위에서 언급한 경우 이외에서는 연속임. $\lambda (\{0.77\})=0\Rightarrow {\mu }_X(\{0.77\})=F_X(0.77)-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(0.77-\frac{1}{n})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$

- 예제2: – 균등분포

아래와 같은 함수를 고려하자.

$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ x& 0\le x\le 1\\ 1& x>1\end{array}$$

이 함수는 르벡메져에 대하여 absolutely continuous 하다.

(해설)

$\mathrm{\forall }B\in \mathcal{R}:{\mu }_X(B)\le \lambda (B)$ 이므로 자명함

- 예제3 – 혼합된 균등분포

아래와 같은 distribution function $F_X$을 가지는 확률변수 $X$를 고려하자.

$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ \frac{3}{2}x& 0\le x<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}x& \frac{1}{2}\le x<1\\ 1& 1\le x\end{array}$$

이러한 함수 $F_X$는 르벡메져에 대하여 absolutely continuous 한가?

(해설)

$\mathrm{\forall }B\in \mathcal{R}:{\mu }_X(B)\le \frac{3}{2}\lambda (B)$ 이므로 자명함.

예제2,3으로 관찰하고 착각할 수 있는 것: 그냥 연속이면 다 절대연속 아니야?

- 예제3 – 칸토어함수

칸토어함수 $F_X$는 르벡메져에 대하여 absolutely continuous 하지 않다.

(해설)

칸토어함수 $F_X$가 absolutely continuous 하다고 하자. 그러면 ${\mu }_X((a,b])={\mu }_X([a,b])$ 가 성립한다.

$n=0$:

• $C_0=[0,1]$
• ${\mu }_X(C_0)={\mu }_X((0,1])=F_X(1)-F_X(0)=1$

$n=1$:

• $C_1=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]$
• ${\mu }_X(C_1)={\mu }_X((0,\frac{1}{3}])+{\mu }_X((\frac{2}{3},1])=F_X(\frac{1}{3})-F_X(0)+F_X(1)-F_X(\frac{2}{3})=1$

정리하면 아래와 같다.

$n$	$C_n$	${\mu }_X(C_n)$
$0$	$[0,1]$	$1$
$1$	$[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]$	$1$
$2$	$[0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup [\frac{8}{9},1]$	$1$
$\dots$	$\dots$	$1$

그런데 $\lambda (\mathcal{C})=0$ 이지만 ${\mu }_X(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_n)={\mu }_X(\mathcal{C})=1$ 이므로 $\mu <<\lambda$에 모순이다.

라돈니코딤 정리

- 이론: 분포함수 $F_X:\mathbb{R}\to [0,1]$가 (르벡메져에 대하여) 절대연속이라면 아래를 만족하는 함수 $f_X:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$가 존재한다.

$$F_X={\int }_{(-\mathrm{\infty },x]}{f}_{X}d\lambda$$

여기에서 함수 $f_X$를 $F_X$의 밀도함수 (density function) 이라고 한다. 일반적으로 밀도함수 $f_X$는 유일하지 않지만, 르벡측도로 재었을때 0인 집합을 제외한 부분에서는 유일하게 결정된다. (요약: 분포함수 $F_X$가 절대연속이면 밀도함수 $f_X$가 존재하고, 거의 유일함)

위에서 “르벡측도로 재었을때 0인 집합을 제외한 부분에서는 유일하게 결정된다”라는 부분은 “르벡메져 $\lambda$에 대하여 거의 유일하다” 라고 이해해도 무방. 엄밀하게 쓰면 “분포함수 $F_X$가 있다면 밀도함수의 정의하는 만족하는 함수가 반드시 하나는 존재한다. 만약에 두 함수 $f$와 $g$가 모두 밀도함수의 정의를 만족한다면 ‘$f=g$ a.e. with respect to $\lambda$’ 가 성립한다.” 와 같은 식으로 쓸 수 있음.

위에서 $f$의 공역이 ${\mathbb{R}}^{+}$인 이유는 $F_X$가 증가함수라서..

- Thm (라돈니코딤 정리)(Durrett 2019, Thm A.4.8.): 가측공간 $(S,\mathcal{S})$를 고려하자. 그리고 $\mu$와 $\lambda$가 $(S,\mathcal{S})$에서의 $\sigma$-finite measure 라고 하자. 만약에 $\mu <<\lambda$ 이라면 아래를 만족하는 가측함수 $f:(S,\mathcal{S})\to ({\mathbb{R}}^{+},{\mathcal{R}}^{+})$가 거의 유일하게 (w.r.t. $\lambda$) 존재한다.

Durrett, Rick. 2019. Probability: Theory and Examples. Vol. 49. Cambridge university press.

$$\mathrm{\forall }B\in \mathcal{S}:\mu (B)={\int }_{B}fd\lambda .$$

여기에서 $f$를 Radon-Nikodym derivative of $\mu$ w.r.t. $\lambda$ 라고 하며, 이러한 의미에서 $f=\frac{d\mu }{d\lambda }$와 같이 표현하기도 한다.

강의 오류 정정

$f:(S,\mathcal{S})\to (S,\mathcal{S})$를 $f:(S,\mathcal{S})\to ({\mathbb{R}}^{+},{\mathcal{R}}^{+})$로 정정합니다.

- 예제1 – 균등분포

아래와 같은 함수를 고려하자.

$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ x& 0\le x\le 1\\ 1& x>1\end{array}$$

또한 아래와 같은 함수 $f_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 를 고려하자.

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x\le 1\\ 0& o.w.\end{array}$$

$f_X(x)$가 $F_X(x)$의 라돈니코딤 도함수임을 설명하라.

(해설)

1. ${\mu }_X$와 $\lambda$는 모두 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$에서 $\sigma$-finite 하다.
2. ${\mu }_X<<\lambda$이다. 따라서 적당한 $\mathcal{R}\to {\mathcal{R}}^{+}$ measurable function이 존재하여 라돈니코딤 도함수의 조건을 만족함을 알 수 있다.
3. 우리가 생각하는 후보는 $f_X$인데 이것이 만약에 (1) $\mathcal{R}\to {\mathcal{R}}^{+}$ 가측함수이고 (2) 라돈니코딤 도함수의 조건을 만족한다면 $f_X$는 $F_X$의 거의 유일한 (w.r.t. $\lambda$) 밀도함수라고 주장할 수 있다.
4. $f_X$는 simple function이므로 $\mathcal{R}\to {\mathcal{R}}^{+}$ 가측함수이다.
5. 임의의 $x$에 대하여 $F_X(x)={\mu }_X((-\mathrm{\infty },x])={\int }_{(-\mathrm{\infty },x]}{f}_{X}d\lambda$ 이 성립한다.
6. 5와 $\pi$-$\lambda$ thm을 이용하면 모든 $B\in \mathcal{R}$에 대하여 ${\mu }_X(B)={\int }_B{f}_{X}d\lambda$ 가 성립한다. (풀이참고)
7. 따라서 $f_X$는 $F_X$의 밀도함수이다.

- 예제2 – 베르누이 분포

아래와 같은 함수를 고려하자.

$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ \frac{1}{2}& 0\le x<1\\ 1& x\ge 1\end{array}$$

이 함수에 대응하는 ${\mu }_X$를 아래와 같이 정의하자.

• ${\mu }_X(\mathrm{\varnothing })=0$
• ${\mu }_X(\{0\})=\frac{1}{2}$
• ${\mu }_X(\{1\})=\frac{1}{2}$
• ${\mu }_X(\{0,1\})=1$
• ${\mu }_X(B)=0$ , $B\in \mathcal{R}-\{0,1\}-\{0\}-\{1\}$

${\mu }_X$는 $\lambda$에 대한 라돈니코딤 도함수를 가지지 않음을 보여라.

(해설) – 절대연속이 안되는걸?