15wk: 기말고사

1. 다음을 읽고 참거짓을 판단하라. (30점)

(1) 유리수집합 $\mathbb{Q}$는 가산집합이며 유리수집합을 르벡메져로 측정하면 그 길이가 0이다. 즉 $\lambda (\mathbb{Q})=0$ 이다.

True

True

(2) 르벡메져 $\lambda$는 $\mathbb{R}$의 모든 부분집합에 대하여 그 길이를 모순없이 정의가능하다. 즉 르벡메져는 $(\mathbb{R},2^{\mathbb{R}})$ 에서의 메져가 된다.

False # 비탈리집합

False

(3) 르벡메져 $\lambda$는 임의의 $B\in \mathcal{R}$의 길이를 모순없이 정의가능하다. 즉 르벡메져는 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$ 에서의 메져가 된다.

True

True

(4) 집합 $\mathrm{\Omega }$의 부분집합을 원소로 가지는 collection $\mathcal{F}$를 고려하자. 만약에 $\mathcal{F}$가 파이시스템이면서 동시에 람다시스템이라면 $\mathcal{F}$는 시그마필드이다.

True

True

(5) 아래와 같은 함수 $f$를 고려하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

위의 함수에 대한 르벡적분값은 무한대이다. 즉 ${\int }_{\mathbb{R}}fd\lambda =\mathrm{\infty }$ 이다.

False

False

(6) $X$가 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률변수라는 의미는 모든 $B\in \mathcal{B}$ 에 대하여 $\{\omega :X(\omega )\in B\}\in \mathcal{F}$ 를 만족한다는 의미이다.

None # 문제오류. ${\cal B}$가 아니라 ${\cal R}$ 

(7) $X$가 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률변수라면 $X$에 대응하는 분포(distribution) ${\mu }_X$가 반드시 존재하며 ${\mu }_X:=P\circ X^{-1}$로 정의가능하다.

True

True

(8) $X$가 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률변수이고, $X$에 대응하는 분포가 ${\mu }_X$라고 하자. ${\mu }_X$는 측도의 정의를 만족하지만 확률측도의 정의를 만족하지는 않는다.

False # 확률측도의 정의도 만족

False

(9) $X$가 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률변수이고, $X$에 대응하는 분포가 ${\mu }_X$라고 하자. ${\mu }_X$에 대응하는 분포함수 $F_X(x)={\mu }_X((-\mathrm{\infty },x])$는 항상 존재한다.

True

True

(10) $X$가 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률변수이고 $F_X$가 $X$에 대응하는 분포함수라고 하자. 분포함수 $F_X$가 절대연속이라면 대응하는 $X$는 연속형확률변수이며 그 밀도함수 $f_X$가 존재한다.

False

False

2. 확률 (40점)

(1) $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$ 이라고 하고 $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3,4\},\mathrm{\Omega }\}$ 이라고 하자. 함수 $\tilde{P}:\mathcal{A}\to [0,1]$를 아래와 같이 정의하자.

• $\tilde{P}(\mathrm{\varnothing })=0$
• $\tilde{P}(\{1\})=1/4$
• $\tilde{P}(\{2\})=1/2$
• $\tilde{P}(\{3,4\})=1/4$
• $\tilde{P}(\mathrm{\Omega })=1$

$\mathcal{A}$에서 $\tilde{P}$와 일치하는 확률메져 $P$가 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\sigma (\mathcal{A}))$ 에서 유일하게 존재하는가?

(풀이)

유일하게 존재한다. $\mathcal{F}:=\sigma (\mathcal{A})$라고 하고 아래와 같은 함수 $P:\mathcal{F}\to [0,1]$를 고려하자.

• $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{A}:P(A)=\tilde{P}(A)$
• $P(\{1,2\})=P(\{2,3,4\})=\frac{3}{4}$
• $P(\{1,3,4\})=\frac{1}{2}$

$P$는 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 prob-msr 이다. 이때 $\mathcal{A}$는 파이시스템이므로 $P$의 유일성이 보장된다.

(2) $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$ 이라고 하고 $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{2,3\},\mathrm{\Omega }\}$ 라고 하자. 함수 $\tilde{P}:\mathcal{A}\to [0,1]$를 아래와 같이 정의하자.

• $\tilde{P}(\mathrm{\varnothing })=0$
• $\tilde{P}(\{1,2\})=1/2$
• $\tilde{P}(\{2,3\})=1/2$
• $\tilde{P}(\mathrm{\Omega })=1$

$\mathcal{A}$에서 $\tilde{P}$와 일치하는 확률메져 $P$가 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\sigma (\mathcal{A}))$ 에서 유일하게 존재하는가?

(풀이)

$\mathcal{A}$가 파이시스템이 아니므로 유일성을 보장할 수 없다.

반례를 위해서 ${\mathcal{A}}^{\prime }=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{2,3\},\{2\},\mathrm{\Omega }\}$를 고려하자. ${\mathcal{A}}^{\prime }$은 세미알지브라가 되며, ${\mathcal{A}}^{\prime }$에서 정의된 아래와 같은 ${\tilde{P}}_1,{\tilde{P}}_2$를 고려하자.

• $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{A}:{\tilde{P}}_1(A)={\tilde{P}}_2(A)=\tilde{P}(A)$
• ${\tilde{P}}_1(\{2\})=a$ and ${\tilde{P}}_2(\{2\})=b$, where $a,b\in [0,1/2]$ and $a\ne b$.

${\tilde{P}}_1,{\tilde{P}}_2$는 모두 ${\mathcal{A}}^{\prime }$에서 finite msr 이고¹, add를 만족하므로² 카라테오도리의 확장정리에 의하여 ${\tilde{P}}_1$, ${\tilde{P}}_2$는 $(\mathrm{\Omega },\sigma (\mathcal{A}))$에서의 유일한 extension $P_1,P_2$를 가진다. 그리고 이러한 $P_1,P_2$는 분명 $A\in \mathcal{A}$에서는 일치하지만 $P_1(\{2\})\ne P_2(\{2\})$ 이다.

¹ 그래서 $\sigma$-finite 함

² finite 한 케이스이므로 additivity 가 $\sigma$-additive 를 imply함

3. 확률변수, 밀도함수, 기대값 (30점)

아래와 같은 확률공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$를 고려하라.

• $\mathrm{\Omega }=[0,2\pi )$
• $\mathcal{F}=\mathcal{R}\cap [0,2\pi ):=\{B\cap [0,2\pi ):B\in \mathcal{R}\}$
• $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{F}:P(A)=\frac{\lambda (A)}{2\pi }$

이것이 확률공간인 이유 (문제로 낼려다가..)

$(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$가 확률공간임을 보이기 위해서는 (1) $\mathcal{F}$가 $\sigma$-field 이고 (2) $P$가 prob-msr on $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$임을 보이면 된다.

(1) $\mathcal{F}$ is $\sigma$-filed of $\mathrm{\Omega }$

$\mathcal{F}$는 $\pi$-system 이고 $\lambda$-system 이므로 시그마필드이다. (6주차 Dynkin’s $\pi -\lambda$ theorem 증명을 위한 준비학습 참고)³

(2) $P$ is prob-msr on $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$

$\lambda$가 $\mathcal{F}$에서의 measure이므로, $P:=\frac{1}{2\pi }\lambda$ 역시 $\mathcal{F}$에서의 measure가 된다. 이때 $P$는 $P(\mathrm{\Omega })=1$을 만족하므로 prob-msr가 된다.

³ 혹은 정석대로 시그마필드의 정의에 넣고 따져도 된다. 그런데 보통 그거보다 파이시스템과 람다시스템을 따지는게 더 편리하다.

(1) 함수 $X:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$을 아래와 같이 정의할때

$$X(\omega )=\{\begin{array}{ll}0& \omega \in \mathrm{\Omega }\cap {\mathbb{Q}}^c\\ 1& \omega \in \mathrm{\Omega }\cap \mathbb{Q}\end{array}$$

$X$가 확률변수임을 보여라.

(풀이)

$X$는 simple function 이므로 확률변수이다.

(2) ${\mu }_X<<\nu$ 를 만족하는 $\sigma$-finite measure $\nu$ 를 가측공간 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$에서 정의하고, ${\mu }_X$의 Radon-Nikodym derivative (w.r.t. $\nu$)

$$f:=\frac{d{\mu }_X}{d\nu }$$

를 제시하라. 단, 여기에서 ${\mu }_X:P\circ X^{-1}$ 이다.

(풀이)

아래가 성립함을 관찰하라.

$$P(X=1)=P(\{\omega :X(\omega )=1\})=P(\mathrm{\Omega }\cap {\mathbb{Q}}^c)=1$$

따라서 $X$에 대응하는 ${\mu }_X$와 $F_x$는 아래와 같다.

• $\mathrm{\forall }B\in \mathcal{R}:{\mu }_X(B)=\{\begin{array}{ll}1& 0\in B\\ 0& o.w\end{array}$
• $F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ 1& x\ge 0\end{array}$

따라서 $\nu ={\mu }_X$ 으로 설정하면 ${\mu }_X<<\nu$ 가 성립하며 함수

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& x=0\\ 0& o.w\end{array}$$

는 $\nu ={\delta }_0$에 대한 ${\mu }_X$의 라돈니코딤 도함수이다. 즉 모든 $B\in \mathcal{R}$에 대하여

$${\mu }_X(B)={\int }_B{f}_X(x)d\nu$$

가 성립한다. (왜냐하면 $0\in B$ 인 경우 양변이 모두 1로 같으며 $0\notin B$ 인 경우 양변이 모두 0으로 같기 때문)

(3) $X$의 평균을 구하라. 즉 $\mathbb{E}(X)$를 계산하라.

(풀이)

$\mathbb{E}(X)=\int XdP={\int }_{\mathrm{\Omega }\cap {\mathbb{Q}}^c}0dP+{\int }_{\mathrm{\Omega }\cap \mathbb{Q}}1dP=0$