True15wk: 기말고사
1. 다음을 읽고 참거짓을 판단하라. (30점)
(1) 유리수집합 \(\mathbb{Q}\)는 가산집합이며 유리수집합을 르벡메져로 측정하면 그 길이가 0이다. 즉 \(\lambda(\mathbb{Q})=0\) 이다.
(2) 르벡메져 \(\lambda\)는 \(\mathbb{R}\)의 모든 부분집합에 대하여 그 길이를 모순없이 정의가능하다. 즉 르벡메져는 \((\mathbb{R},2^{\mathbb{R}})\) 에서의 메져가 된다.
(3) 르벡메져 \(\lambda\)는 임의의 \(B \in {\cal R}\)의 길이를 모순없이 정의가능하다. 즉 르벡메져는 \((\mathbb{R},{\cal R})\) 에서의 메져가 된다.
(4) 집합 \(\Omega\)의 부분집합을 원소로 가지는 collection \({\cal F}\)를 고려하자. 만약에 \({\cal F}\)가 파이시스템이면서 동시에 람다시스템이라면 \({\cal F}\)는 시그마필드이다.
(5) 아래와 같은 함수 \(f\)를 고려하자.
\[f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{cases}\]
위의 함수에 대한 르벡적분값은 무한대이다. 즉 \(\int_{\mathbb{R}} f d\lambda = \infty\) 이다.
(6) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수라는 의미는 모든 \(B \in {\cal B}\) 에 대하여 \(\{\omega: X(\omega) \in B\} \in {\cal F}\) 를 만족한다는 의미이다.
(7) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수라면 \(X\)에 대응하는 분포(distribution) \(\mu_X\)가 반드시 존재하며 \(\mu_X:=P \circ X^{-1}\)로 정의가능하다.
(8) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수이고, \(X\)에 대응하는 분포가 \(\mu_X\)라고 하자. \(\mu_X\)는 측도의 정의를 만족하지만 확률측도의 정의를 만족하지는 않는다.
(9) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수이고, \(X\)에 대응하는 분포가 \(\mu_X\)라고 하자. \(\mu_X\)에 대응하는 분포함수 \(F_X(x) = \mu_X((-\infty,x])\)는 항상 존재한다.
(10) \(X\)가 가측공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수이고 \(F_X\)가 \(X\)에 대응하는 분포함수라고 하자. 분포함수 \(F_X\)가 절대연속이라면 대응하는 \(X\)는 연속형확률변수이며 그 밀도함수 \(f_X\)가 존재한다.
2. 확률 (40점)
(1) \(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\},\Omega\}\) 이라고 하자. 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
\({\cal A}\)에서 \(\tilde{P}\)와 일치하는 확률메져 \(P\)가 가측공간 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\) 에서 유일하게 존재하는가?
(풀이)
유일하게 존재한다. \({\cal F}:=\sigma({\cal A})\)라고 하고 아래와 같은 함수 \(P: {\cal F} \to [0,1]\)를 고려하자.
- \(\forall A \in {\cal A}:~ P(A)=\tilde{P}(A)\)
- \(P(\{1,2\})=P(\{2,3,4\})=\frac{3}{4}\)
- \(P(\{1,3,4\})=\frac{1}{2}\)
\(P\)는 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 prob-msr 이다. 이때 \({\cal A}\)는 파이시스템이므로 \(P\)의 유일성이 보장된다.
(2) \(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자. 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
\({\cal A}\)에서 \(\tilde{P}\)와 일치하는 확률메져 \(P\)가 가측공간 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\) 에서 유일하게 존재하는가?
(풀이)
\({\cal A}\)가 파이시스템이 아니므로 유일성을 보장할 수 없다.
반례를 위해서 \({\cal A}'=\{\emptyset, \{1,2\}, \{2,3\},\{2\},\Omega\}\)를 고려하자. \({\cal A}'\)은 세미알지브라가 되며, \({\cal A}'\)에서 정의된 아래와 같은 \(\tilde{P}_1,\tilde{P}_2\)를 고려하자.
- \(\forall A \in {\cal A}:~\tilde{P}_1(A)=\tilde{P}_2(A)=\tilde{P}(A)\)
- \(\tilde{P}_1(\{2\})=a\) and \(\tilde{P}_2(\{2\})=b\), where \(a,b \in [0,1/2]\) and \(a\neq b\).
\(\tilde{P}_1, \tilde{P}_2\)는 모두 \({\cal A}'\)에서 finite msr 이고1, add를 만족하므로2 카라테오도리의 확장정리에 의하여 \(\tilde{P}_1\), \(\tilde{P}_2\)는 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\)에서의 유일한 extension \(P_1,P_2\)를 가진다. 그리고 이러한 \(P_1,P_2\)는 분명 \(A \in {\cal A}\)에서는 일치하지만 \(P_1(\{2\})\neq P_2(\{2\})\) 이다.
1 그래서 \(\sigma\)-finite 함
2 finite 한 케이스이므로 additivity 가 \(\sigma\)-additive 를 imply함
3. 확률변수, 밀도함수, 기대값 (30점)
아래와 같은 확률공간 \((\Omega,{\cal F},P)\)를 고려하라.
- \(\Omega=[0,2\pi)\)
- \({\cal F} = {\cal R}\cap [0,2\pi) := \{B\cap [0,2\pi): B \in {\cal R}\}\)
- \(\forall A \in {\cal F}:~ P(A)=\frac{\lambda (A)}{2\pi}\)
이것이 확률공간인 이유 (문제로 낼려다가..)
\((\Omega, {\cal F}, P)\)가 확률공간임을 보이기 위해서는 (1) \({\cal F}\)가 \(\sigma\)-field 이고 (2) \(P\)가 prob-msr on \((\Omega, {\cal F})\)임을 보이면 된다.
(1) \({\cal F}\) is \(\sigma\)-filed of \(\Omega\)
\({\cal F}\)는 \(\pi\)-system 이고 \(\lambda\)-system 이므로 시그마필드이다. (6주차 Dynkin’s \(\pi-\lambda\) theorem 증명을 위한 준비학습 참고)3
(2) \(P\) is prob-msr on \((\Omega, {\cal F})\)
\(\lambda\)가 \({\cal F}\)에서의 measure이므로, \(P:=\frac{1}{2\pi}\lambda\) 역시 \({\cal F}\)에서의 measure가 된다. 이때 \(P\)는 \(P(\Omega)=1\)을 만족하므로 prob-msr가 된다.
3 혹은 정석대로 시그마필드의 정의에 넣고 따져도 된다. 그런데 보통 그거보다 파이시스템과 람다시스템을 따지는게 더 편리하다.
(1) 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\)을 아래와 같이 정의할때
\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega \in \Omega \cap \mathbb{Q}^c \\ 1 & \omega \in \Omega \cap \mathbb{Q} \end{cases}\]
\(X\)가 확률변수임을 보여라.
(풀이)
\(X\)는 simple function 이므로 확률변수이다.
(2) \(\mu_X << \nu\) 를 만족하는 \(\sigma\)-finite measure \(\nu\) 를 가측공간 \((\mathbb{R}, {\cal R})\)에서 정의하고, \(\mu_X\)의 Radon-Nikodym derivative (w.r.t. \(\nu\))
\[f:=\frac{d\mu_X}{d\nu}\]
를 제시하라. 단, 여기에서 \(\mu_X : P \circ X^{-1}\) 이다.
(풀이)
아래가 성립함을 관찰하라.
\[P(X=1)=P(\{\omega: X(\omega) = 1\})=P(\Omega\cap \mathbb{Q}^c)=1\]
따라서 \(X\)에 대응하는 \(\mu_X\)와 \(F_x\)는 아래와 같다.
- \(\forall B \in {\cal R}:~\mu_X(B)=\begin{cases} 1 & 0 \in B \\ 0 & o.w \end{cases}\)
- \(F_X(x)= \begin{cases} 0 & x<0 \\ 1 & x\geq 0 \end{cases}\)
따라서 \(\nu=\mu_X\) 으로 설정하면 \(\mu_X<<\nu\) 가 성립하며 함수
\[f_X(x)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & o.w \end{cases}\]
는 \(\nu=\delta_0\)에 대한 \(\mu_X\)의 라돈니코딤 도함수이다. 즉 모든 \(B\in {\cal R}\)에 대하여
\[\mu_X(B)=\int_B f_X(x) d\nu\]
가 성립한다. (왜냐하면 \(0\in B\) 인 경우 양변이 모두 1로 같으며 \(0 \notin B\) 인 경우 양변이 모두 0으로 같기 때문)
(3) \(X\)의 평균을 구하라. 즉 \(\mathbb{E}(X)\)를 계산하라.
(풀이)
\(\mathbb{E}(X) = \int X dP = \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}^c} 0 dP + \int_{\Omega \cap \mathbb{Q}} 1dP =0\)