05wk: 측도론 (1)

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-xOLs7lnyb8ZjM3KB-N2u7I

언젠가 필요할까?

- 이론: $|x|<ϵ,\mathrm{\forall }ϵ>0\iff x=0$

(증명)

“$\Leftarrow$” 자명함.

“$\Rightarrow$”

SUPPOSE: |x| > 0$ – 귀류법

CHOOSE: $ϵ=\frac{1}{2}|x|$

$\Rightarrow$ $0<\frac{1}{2}|x|<|x|$

$\Rightarrow$ 모순

- 이론: $|x|<\frac{1}{n},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\iff x=0$

(증명)

“$\Leftarrow$” 자명함.

“$\Rightarrow$”

SUPPOSE: $|x|>0$ – 귀류법

CHOOSE: $ϵ=\frac{1}{2}|x|$

$\Rightarrow$ $0<ϵ<|x|$

$\Rightarrow$ $\mathrm{\exists }n:0<\frac{1}{n}<ϵ<|x|$ ($\because$ 아르키메데스의 성질)

$\Rightarrow$ 모순

수학과의 표현

수학과의 기호

- 아래는 기호는 몇 가지 영어단어의 축약형이다.

• for all: $\mathrm{\forall }$
• exists: $\mathrm{\exists }$
• such that, satisfying: $\mathsf{s}\mathsf{.}\mathsf{t}\mathsf{.}$, $\mathsf{s}\mathsf{t}$
• if-then, implies, therefore: $\Rightarrow$
• if and only if: $\iff$
• because: $\because$
• therefore: $\therefore$
• quod erat: $◻$, $◼$

- 예시1: 모든 실수 $x$에 대하여, $x^2$은 양수이다.

언어

• for any $x$ in $\mathbb{R}$, $x^2\ge 0$.
• for arbitrary $x\in \mathbb{R}$, $x^2\ge 0$.
• for any choice of $x\in \mathbb{R}$, $x^2\ge 0$.
• for all $x\in \mathbb{R}$, $x^2\ge 0$.
• if $x\in \mathbb{R}$, then $x^2\ge 0$.

기호

• $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$: $x^2\ge 0$.
• $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$, $x^2\ge 0$.
• $x^2\ge 0$, for all $x\in \mathbb{R}$.
• $x^2\ge 0$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
• $x\in \mathbb{R}\Rightarrow x^2\ge 0$.

거의 쓰는 사람 마음임, 그런데 뉘앙스가 조금씩 다름.

- 예시2: $\mathrm{\Omega }$의 임의의 부분집합 $A$,$B$에 대하여, $A=B$ 일 필요충분조건은 $A\subset B$ 이고 $B\subset A$ 이어야 한다.

언어

• for all $A,B\subset \mathrm{\Omega }$, $A=B$ if and only if (1) $A\subset B$ and (2) $B\subset A$.

기호

• $A=B\iff A\subset B\text{ and }B\subset A,\mathrm{\forall }A,B\in \mathrm{\Omega }$.
• $A=B\iff (A\subset B\text{ and }B\subset A),\mathrm{\forall }A,B\in \mathrm{\Omega }$.
• $\mathrm{\forall }A,B\subset \mathrm{\Omega }$: $A=B\iff (A\subset B\text{ and }B\subset A)$

의미가 때로는 모호할때가 있지만 눈치껏 알아먹어야 한다.

- 예시3: 임의의 양수 $ϵ>0$에 대하여 $|x|\le ϵ$이라면 $x=0$일 수 밖에 없다.

언어

• If $|x|<ϵ$ for all $ϵ>0$, then $x=0$.
• If $|x|<ϵ$, $\mathrm{\forall }ϵ>0$, then $x=0$.
• For all $ϵ>0$, $|x|<ϵ$ implies $x=0$. – 틀린표현

기호

• $|x|<ϵ,\mathrm{\forall }ϵ>0\Rightarrow x=0$
• $\mathrm{\forall }ϵ>0:|x|<ϵ\Rightarrow x=0$ – 애매하다?
• $(\mathrm{\forall }ϵ>0:|x|<ϵ)\Rightarrow x=0$
• $(\mathrm{\forall }ϵ>0)(|x|<ϵ\Rightarrow x=0)$ – 틀린표현

기타 약어 및 상투적인 표현

- 약어

• $\mathsf{W}\mathsf{L}\mathsf{O}\mathsf{G}$: Without Loss Of Generality
• $\mathsf{W}\mathsf{T}\mathsf{S}$: What/Want To Show
• $\mathsf{i}\mathsf{f}\mathsf{f}$: if and only if
• $\mathsf{Q}\mathsf{.}\mathsf{E}\mathsf{.}\mathsf{D}\mathsf{.}$: 증명완료 (쓰지마..)
• $\mathsf{L}\mathsf{H}\mathsf{S}$: Left Hand Side
• $\mathsf{R}\mathsf{H}\mathsf{S}$: Right Hand Side

- 상투적인 표현

• It suffices to show that, It is sufficient to show that

Classes of sets

Before

- 아래의 기호를 약속

• 전체집합: $\mathrm{\Omega }$
• 관심있는 집합의 모임: $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$

- $\mathrm{\Omega }\ne \mathrm{\varnothing }$, $\mathcal{A}\ne \mathrm{\varnothing }$ 를 가정.

- 약속: 집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$에 대하여 아래와 같은 용어를 약속하자.

• $\cap$-closed (closed under intersection) or a $\pi$-system: $\mathrm{\forall }A,B\in \mathcal{A}:A\cap B\in \mathcal{A}$
• $\sigma$-$\cap$-closed (closed under countable interserction): $\mathrm{\forall }\{A_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset \mathcal{A}:{\cap }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in \mathcal{A}$
• $\cup$-closed (closed under unions): $\mathrm{\forall }A,B\in \mathcal{A}:A\cup B\in \mathcal{A}$
• $\sigma$-$\cup$-closed (closed under countable unois): $\mathrm{\forall }\{A_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset \mathcal{A}:{\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in \mathcal{A}$
• ＼-closed (closed under differences): $\mathrm{\forall }A,B\in \mathcal{A}:A-B\in \mathcal{A}$
• ${}^c$-closed (closed under complements): $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{A}:A^c\in \mathcal{A}$

- 우리만의 약속:

• 앞으로 서로소인 집합들에 대한 합집합은 기호로 $\uplus$라고 표현하겠다.
• 따라서 앞으로 $B_1\uplus B_2$의 의미는 (1) $B_1\cup B_2$ (2) $B_1\cap B_2=\mathrm{\varnothing }$ 을 의미한다고 정의하겠다. (꼭 서로소임을 명시하지 않아도)
• $\sigma$-$\uplus$-closed 의 의미는 ${\uplus }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\in \mathcal{A},\mathrm{\forall }\{B_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset \mathcal{A}:$ 의 의미이다.

- 이론: $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$ 가 여집합에 닫혀있다면, 아래가 성립한다.

• $\mathcal{A}$가 교집합¹에 닫혀있음. $\iff$ $\mathcal{A}$가 합집합²에 닫혀있음.
• $\mathcal{A}$가 가산교집합³에 닫혀있음. $\iff$ $\mathcal{A}$가 가산합집합⁴에 닫혀있음.

¹ finite

² finite

³ countable infinite

⁴ countable infite

(증명) 생략

- 이론: $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 차집합에 닫혀있다면, 아래가 성립한다.

• $\mathcal{A}$는 교집합에 닫혀있다.
• $\mathcal{A}$가 가산합집합에 닫혀있다. $\Rightarrow$ $\mathcal{A}$가 가산교집합에 닫혀있다.
• $\mathrm{\forall }\{A_i\}\subset \mathcal{A},\mathrm{\exists }\{B_i\}\subset \mathcal{A}$ such that ${\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i={\uplus }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i$.⁵

⁵ 이건 차집합에 반쯤 닫혀있어도 성립함

(증명)

• Note: $A\cap B=A-(A-B)$.
• Note: ${\cap }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i={\cap }_{i=2}^n(A_1\cap A_i)={\cap }_{i=2}^n(A_1-(A_1-A_i))=A_1-{\cup }_{i=2}^n(A_1-A_i)$.
• Note: ${\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A_1\uplus (A_2-A_1)\uplus ((A_3-A_1)-A_2)\uplus (((A_4-A_1)-A_2)-A_3)\uplus \cdots$

차집합에 닫혀있다는 것은 매우 좋은 성질임.

시그마필드 ($\star \star \star$)

- 정의: 시그마필드 ($\sigma$-field, $\sigma$-algebra)

집합 $\mathcal{F}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{F}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 시그마필드라고 부른다.

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{F}$.
2. $\mathcal{F}$는 여집합에 닫혀있다.
3. $\mathcal{F}$는 가산합집합에 닫혀있다.

- 시그마필드의 정의에서 1을 생략하기도 한다. 이럴 경우는 특별히 $\mathcal{F}\ne \mathrm{\varnothing }$임을 강조한다. 1을 생략할 수 있는 논리는 아래와 같다.

• $\mathcal{F}$는 공집합이 아니므로 최소한 하나의 집합 $A$는 포함해야 한다. 즉 $A\in \mathcal{F}$.
• 2번 원리에 의하여 $A^c\in \mathcal{F}$.
• 시그마필드는 합집합에 닫혀있으므로 $A\cup A^c\in \mathcal{F}$.

알지브라, 필드 ($\star$)

- 정의1: 알지브라, 필드 (algebra, field)

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 대수라고 부른다.

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$.
2. $\mathcal{A}$는 차집합에 닫혀있다.
3. $\mathcal{A}$는 합집합에 닫혀있다.

- 알지브라 역시 1의 조건을 생략하기도 한다.

- 전체집합을 포함 $\Rightarrow$ (차집합에 닫혀있음 $\Rightarrow$ 여집합에 닫혀있음) $\Rightarrow$ 따라서 대수는 여집합에 닫혀있다.

- 차집합에 닫혀있음 $\Rightarrow$ 교집합에 닫혀있게 된다.

• 혹은 (여집합에 닫혀있음 & 합집합에 닫혀있음) $\Rightarrow$ 교집합에 닫혀있음.

- 정의2: 알지브라의 또 다른 정의

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 대수라고 부른다.

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$.
2. $\mathcal{A}$는 교집합에 닫혀있다.
3. $\mathcal{A}$는 여집합에 닫혀있다.

- 여집합에 닫혀있음 $\Rightarrow$ (합집합에 닫혀있음 $\iff$ 교집합에 닫혀있음) $\Rightarrow$ 2번 조건을 합집합으로 바꿔도 무방

- 정의3: 알지브라의 또 또 다른 정의 (교재의 정의)

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 대수라고 부른다.

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$.
2. $\mathcal{A}$는 여집합에 닫혀있다.
3. $\mathcal{A}$는 합집합에 닫혀있다.

- 알지브라의 예시

• $\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$, $\mathcal{A}=2^{\mathrm{\Omega }}$ 일때, $\mathcal{A}$는 알지브라이다. ($|\mathrm{\Omega }|<\mathrm{\infty }$ 이라면 “시그마필드 = 알지브라(필드)” 이다.)

링

- 정의: 링 (ring)

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 링이라고 부른다.

1. $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{A}$.
2. $\mathcal{A}$는 차집합에 닫혀있다.
3. $\mathcal{A}$는 합집합에 닫혀있다.

- 여기에서 1의 조건을 생략할 수 있다. (이럴경우 특별히 $\mathcal{A}\ne \mathrm{\varnothing }$ 임을 강조한다.)

• $\mathcal{A}$는 공집합이 아니므로 최소한 하나의 원소 $A$는 가져야 한다.
  
• 조건2에 의하여 $A-A$ 역시 $\mathcal{A}$의 원소이다.

- 링은 차집합에 닫혀있음 $\Rightarrow$ 링은 교집합에도 닫혀있음 $\Rightarrow$ 링은 교집합과 합집합 모두에 닫혀 있다.

- 링과 알지브라의 차이는 전체집합이 포함되느냐 마느냐임 $\Rightarrow$ 그런데 이 차이로 인해 알지브라는 여집합에 닫혀있지만 링은 여집합에 닫혀있지 않게 된다.

시그마링

- 정의: 시그마링 ($\sigma$-ring)

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 링이라고 부른다.

1. $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{A}$.
2. $\mathcal{A}$는 차집합에 닫혀있다.
3. $\mathcal{A}$는 가산합집합에 닫혀있다.

- 여기에서 1의 조건을 생략할 수 있다.

세미알지브라 ($\star \star \star$)

- 정의1: 세미알지브라 (semi-algebra) // ref : 위키북스

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 세미알지브라 라고 부른다.

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$.
2. $\mathcal{A}$는 교집합에 닫혀있다.
3. $\mathrm{\forall }A,B\in \mathcal{A},\mathrm{\exists }\{B_i{\}}_{i=1}^n\subset \mathcal{A}$ such that $$A-B={\uplus }_{i=1}^n{B}_i.$$

3번을 $\mathcal{A}$가 차집합에 반쯤 닫혀있다고 표현한다. 즉 차집합 자체가 $\mathcal{A}$에 들어가는건 아니지만 차집합의 disjoint한 조각들은 모두 $\mathcal{A}$에 들어간다.

- 세미알지브라는 공집합을 포함한다. (이때 $\mathcal{A}\ne \mathrm{\varnothing }$임을 강조함)

• $\mathcal{A}$는 공집합이 아니므로 최소한 하나의 집합 $A$는 포함해야 한다. 즉 $A\in \mathcal{A}$.
• $A\in \mathcal{A}$이면 조건3에 의하여 $\mathrm{\varnothing }$⁶을 $\mathcal{A}$의 원소들의 countable union으로 만들 수 있어야 한다. 이 조건을 만족하기 위해서는 $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{A}$이어야만 한다.

⁶ $A-A$

- 정의2: 세미알지브라의 또 다른 정의 // ref: 세미링의 위키에서 언급, Durret의 정의.

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 세미알지브라 라고 부른다.

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$
2. $\mathcal{A}$는 교집합에 닫혀있다.
3. $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{A},\mathrm{\exists }\{B_i{\}}_{i=1}^n\subset \mathcal{A}$ such that $$A^c={\uplus }_{i=1}^n{B}_i.$$

3번을 $\mathcal{A}$가 여집합에 반쯤 닫혀있다고 표현한다. 즉 여집합 자체가 $\mathcal{A}$에 들어가는건 아니지만 차집합의 disjoint한 조각들은 모두 $\mathcal{A}$에 들어간다.

- 이 정의에서도 세미알지브라는 공집합을 포함한다. (이때 $\mathcal{A}\ne \mathrm{\varnothing }$임을 강조함)

• $\mathcal{A}$는 공집합이 아니므로 최소한 하나의 집합 $A$는 포함해야 한다. 즉 $A\in \mathcal{A}$.
• 3에 의하여 $A^c={\uplus }_{i=1}^n{B}_i$를 만족하는 $B_1,\dots ,B_n$ 역시 $\mathcal{A}$에 포함되어야 한다.
• 2에 의하여 $A\cap B_1=\mathrm{\varnothing }$ 역시 $\mathcal{A}$에 포함되어야 한다.

- Note: 정의2의 3번조건은 정의1의 3번조건보다 강한 조건이다. (정의2의 조건3 $\Rightarrow$ 정의1의 조건3)

• 증명은 세미링/위키 에서 스스로 확인

- 교재의 정의: 정의2에서 $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$이 생략되어 있음.

• 왜 생략할 수 있는지 모르겠음. (교재가 틀렸을 수도 있음)

- 세미알지브라의 예시: 아래의 $\mathcal{A}$는 모두 $\mathrm{\Omega }$에 대한 세미알지브라이다.

• 예시1: $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$, $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b,c,d\},\mathrm{\Omega }\}$
• 예시2: $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$, $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{c,d\},\mathrm{\Omega }\}$
• 예시3: $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$, $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b,c\},\{d\},\mathrm{\Omega }\}$
• 예시4: $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$, $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\mathrm{\Omega }\}$
• 예시5: $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$, $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{a,b\},\{b,c\},\mathrm{\Omega }\}$

세미알지브라는 전체집합이 몇개의 파티션으로 쪼개져서 원소로 들어가는 느낌이 있음.

- 세미알지브라의 예시$(\star )$: 아래의 $\mathcal{A}$는 모두 $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$에 대한 세미알지브라이다.

• 예시1: $\mathcal{A}=\{(a,b]:-\mathrm{\infty }\le a<b\le \mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$
• 예시2: $\mathcal{A}=\{[a,b):-\mathrm{\infty }\le a<b\le \mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$

- 세미알지브라가 아닌 예시: 아래의 $\mathcal{A}$는 $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$에 대한 세미알지브라가 아니다.

• 예시1: $\mathcal{A}=\{(a,b):-\mathrm{\infty }\le a<b\le \mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$
• 예시2: $\mathcal{A}=\{[a,b]:-\mathrm{\infty }\le a<b\le \mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$

- 교재의 언급 (p3)

그림1: 교재에서의 세미알지브라 설명

세미링 $(\star \star \star )$

- 정의: 세미링

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 세미링이라고 부른다.

1. $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{A}$.
2. $\mathcal{A}$는 교집합에 닫혀있다.
3. $\mathcal{A}$는 차집합에 반쯤 닫혀있다.

- 세미링에서도 공집합포함 조건을 생략할 수 있다.

- 세미링의 예시: 아래의 $\mathcal{A}$는 모두 $\mathrm{\Omega }$에 대한 세미링이다.

• 예시1: $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d,e,f\}$, $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b,c,d\}\}$
• 예시2: $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d,e,f\}$, $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{c,d\}\}$
• 예시3: $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d,e,f\}$, $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{a,b,c\},\{b,c,d\},\{a\},\{b,c\},\{d\}\}$

전체집합이 포함될 필요가 없는 세미알지브라 느낌임.

- 세미링의 예시: 아래의 $\mathcal{A}$는 모두 $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$에 대한 세미링이다.

• 예시1: $\mathcal{A}=\{(a,b]:-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$
• 예시2: $\mathcal{A}=\{[a,b):-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$

- 세미링이 아닌 예시: 아래의 $\mathcal{A}$는 $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$에 대한 세미링이 아니다.

• 예시1: $\mathcal{A}=\{(a,b):-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$
• 예시2: $\mathcal{A}=\{[a,b]:-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$

파이시스템 ($\star \star$)

- 정의: $\pi$-system

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 파이스시템 이라고 부른다.

1. $\mathcal{A}$는 교집합에 닫혀있다.

- 파이시스템임을 강조하기 위해서 $\mathcal{A}$ 대신에 $\mathcal{P}$ 라고 교재에서 표현하기도 한다.

- 파이시스템의 예시: 아래는 모두 $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$에 대한 파이시스템이다.

• 예시1: $\mathcal{A}=\{(a,b]:-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\}$
• 예시2: $\mathcal{A}=\{[a,b):-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\}$
• 예시3: $\mathcal{A}=\{(a,b):-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\}$
• 예시4: $\mathcal{A}=\{[a,b]:-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\}$

람다시스템 ($\star \star$)

- 정의1: $\lambda$-system

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 람다시스템 이라고 부른다.

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$
2. $\mathrm{\forall }A,B\in \mathcal{A}:A\subset B\Rightarrow B-A\in \mathcal{A}$
3. $\mathrm{\forall }{B}_1,B_2,\cdots \in \mathcal{A}$ such that $B_1,B_2\dots$ are disjoint: $${\uplus }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\in \mathcal{A}$$

람다시스템은 1. 전체집합이 포함되고 2. 두 집합이 포함관계에 있는 경우 차집합에 닫혀있으며 3. 서로소인 가산합집합에 닫혀있다.

- 람다시스템은 여집합에 닫혀있다. 그리고 람다시스템은 공집합을 포함한다.

- 람다시스템의 느낌: 3주차 시그마필의 motivation에서 소개한 거의 모든 예제는 사실 람다시스템이다.

• 람다시스템의 원칙1,2,3은 사실 확률의 공리와 깊게 관련되어있음.
• 내 생각: 딘킨은 확률의 공리에 착안해서 람다시스템을 만들지 않았을까?

- 아래는 모두 람다시스템의 예시이다.

• $\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$, $\mathcal{L}=\{\mathrm{\varnothing },\{H\},\{T\},\mathrm{\Omega }\}$ – 3주차 예제1
• $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$, $\mathcal{L}=2^{\mathrm{\Omega }}$ – 3주차 예제4
• $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$, $\mathcal{L}=\{\mathrm{\varnothing },\{6\},\{1,2,3,4,5\},\mathrm{\Omega }\}$ – 3주차 예제5
• $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$, $\mathcal{L}=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2,3\},\{3,4,5\},\mathrm{\Omega }\}$ – 3주차 예제6
• $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$, $\mathcal{L}=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$ – 3주차 예제8
• $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$, $\mathcal{L}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2\},\mathrm{\Omega }\}$ – 3주차 예제9,10
• $\mathrm{\Omega }=(0,2\pi ]$, $\mathcal{L}=\sigma (\mathcal{A})$ where $\mathcal{A}=\{\{x\}:x\in \mathbb{Q}\cap \mathrm{\Omega }\}$ – 3주차 예제11
• $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$, $\mathcal{L}=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\mathrm{\Omega }\}$ – 3주차 예제12에서 교집합 안넣은 버전

- 정의2: $\lambda$-system (교재의 정의)

집합 $\mathcal{A}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$가 아래의 조건을 만족하면 $\mathcal{A}$를 $\mathrm{\Omega }$에 대한 람다시스템 이라고 부른다.

1. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$
2. $\mathrm{\forall }A,B\in \mathcal{A}:A\subset B\Rightarrow B-A\in \mathcal{A}$
3. $\mathrm{\forall }{A}_1,A_2,\cdots \in \mathcal{A}$ such that $A_1\subset A_2\subset \dots$: $${\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in \mathcal{A}$$

- Note: 정의1의 3번조건과 정의2의 3번조건은 서로 동치관계이다.

- 교재에서의 파이시스템, 람다시스템 설명

그림2: 교재에서의 파이시스템과 람다시스템

위의 정의에서 기호 $A_n\uparrow A$의 의미는 “$A_1\subset A_2\subset \dots$ and ${\cup }_i^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A$”를 뜻하는 축약표현이다.

정리

- 정리표 (hw): 물음표를 채워라

	$A\cap B$	$\mathrm{\varnothing }$	$A-B$	${\cup }_i{A}_i\to {\uplus }_i{B}_i$	$\mathrm{\Omega }$	$A^c$	$A\cup B$	${\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$	${\uplus }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i$	${\cap }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$
$\pi$-system	$O$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
semi-ring	$O$	$O$	$\mathrm{\Delta }$	$O$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$	$X$
semi-algebra	$O$	$O$	$\mathrm{\Delta }$	$O$	$O$	$\mathrm{\Delta }$	$X$	$X$	$X$	$X$
ring	$O$	$O$	$O$	$O$	$X$	$X$	$O$	$X$	$X$	$X$
algebra	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$X$	$X$	$X$
$\sigma$-ring	$O$	$O$	$O$	$O$	$X$	$X$	$O$	$O$	$O$	$O$
$\lambda$-system	$X$	$O$	$\mathrm{\Delta }$’	$X$	$O$	$O$	$X$	$X$	$O$	$X$
$\sigma$-field	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$

- 다이어그램 (포함관계)

- 다이어그램 (이해용) – 그림은 더럽지만..