03wk: 측도론 intro (3)

Author

최규빈

Published

March 21, 2023

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-yJdGySrpN1x55Vs6SRntEX

셀 수 있는

- 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합.

countable: finite, countable many
uncountable: uncountable many

- 예시1: countable set, uncountable set

$\{1,2,3,4,5\}$는 셀 수 있는 집합이다.
$\mathbb{N}$은 셀 수 있는 집합이다.
$\mathbb{Z}$는 셀 수 있는 집합이다.
$\mathbb{Q}$는 셀 수 있는 집합이다.
$\mathbb{R}$은 셀 수 없는 집합이다.

- 예시2: countable sum: 아래는 모두 countable sum을 의미한다.

$\sum_{i=1}^{n}a_i$.
$\sum_{i \in I} a_i$, where $I=\{1,2,3,\dots,10\}$.
$\sum_{i=1}^{\infty} a_i$, $\sum_{i=0}^{\infty} a_i$.
$\sum_{i \in \mathbb{N}}a_i$.
$\sum_{x \in \mathbb{Q}}m(\{x\})$, where $m$ is Lebesgue measure

- 예시3: countable union: 아래는 countalbe union을 의미한다.

$\cup_{i=1}^n A_i$
$\cup_{i=1}^{\infty} A_i$
$\cup_{x \in \mathbb{Q}} \{x\}$

- 예시4: 아래는 uncountable sum을 의미한다.

$\sum_{x \in [0,1]}m(\{x\})$, where $m$ is Lebesgue measure

- 예시5: 아래는 uncountable union을 의미한다.

$\cup_{x \in [0,1]} \{x\}$

보충학습: 집합정리

집합	카디널리티	분류	르벡메져
$\{1,2,3\}$	3	가산집합	0
$\mathbb{N}$	$\aleph_0$	가산집합	0
$\mathbb{Z}$	$\aleph_0$	가산집합	0
$\mathbb{Q}$	$\aleph_0$	가산집합	0
$[0,1]$	$2^{\aleph_0}$	비가산집합	1
$[0,1]\cap \mathbb{Q}$	$\aleph_0$	가산집합	0
$[0,1]\cup \mathbb{Q}$	$2^{\aleph_0}$	비가산집합	1
$[0,1]\cap \mathbb{Q}^c$	$2^{\aleph_0}$	비가산집합	1
$[0,\infty)$	$2^{\aleph_0}$	비가산집합	$\infty$
비탈리집합	$2^{\aleph_0}$	비가산집합	NA
칸토어집합	$2^{\aleph_0}$	비가산집합	0

지금까지의 스토리

- 지금까지의 이야기.

$\Omega$의 모든 부분집합에 대해서 확률을 “무모순”으로 정의하는게 엄청 쉬운일 인줄 알았는데,¹
사실은 그렇지가 않았다.² 확률을 정의하는건 매우 까다로운 일이었다.
이러한 까다로움을 해결하기 위해서 “르벡메져”라는 새로운 도구를 사용했다. 이 도구는 몇 가지 까다로운 집합에 대하여 확률을 무모순으로 정의할 수 있었다.
르벡메져는 구간 $[0,2\pi)$의 모든 유리수 집합의 길이와 구간 $[0,2\pi)$의 모든 무리수 집합의 길이를 다르게 정의하는 신기한 방식을 사용하는데, 이러한 방식을 납득하기 위한 최소한의 노력으로 “셀 수 있는 무한”과 “셀 수 없는 무한”의 개념을 공부했다.
하지만 르벡메져를 통해서도 $\Omega$의 모든 부분집합에 대하여 길이를 잴 수 없는 집합³이 존재함이 밝혀졌다.
따라서 $\Omega$의 모든 부분집합에 대해서 확률을 “무모순”으로 정의하는 일은 포기하였다.
대신에 $\Omega$의 부분집합 중, 잴 수 있는 집합들에 대해서만 확률을 “무모순”으로 정의하는 일을 시도하고자 한다.

¹ 동전예제

² 바늘이 하나 있는 시계예제

³ 비탈리집합

- 앞으로 $\Omega$의 부분집합 중, 잴 수 있는 집합들의 모임을 “$\Omega$에 대한 시그마필드” 라고 하고 기호로는 ${\cal F}$로 정의한다.

- 그런데 “잴 수 있는 집합”이 뭐지????

시그마필드 motivation

(예제1) – 잴 수 있는 집합의 모임

$\Omega=\{H,T\}$라고 하자. 아래집합들은 모두 확률을 정의할 수 있는 집합들이다.

\[\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\]

따라서 ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다면 묶음 ${\cal F}$가 합리적일 것이다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\big\}\]

이때 ${\cal F}$는 집합들의 집합인데, 이러한 집합을 collection 이라고 한다.

(예제2) – 집합 $A$를 잴 수 있다면, 집합 $A^c$도 잴 수 있어~

$\Omega=\{H,T\}$라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다면 묶음 ${\cal F}$는 합리적이지 않다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \Omega\big\}\]

(해설1)

이러한 묶음이 의미하는건 “앞면이 나올 확률은 모순없이 정의할 수 있지만, 뒷면이 나오는 확률은 모순없이 정의하는게 불가능해~” 라는 뜻이다. 그런데 뒷면이 나올 확률은 “1-앞면이 나올 확률” 로 모순없이 정의할 수 있으므로 “앞면이 나올 확률이 모순없이 정의되면서” 동시에 “뒷면이 나올 확률이 모순없이 정의되지 않는” 상황은 없다.

(해설2)

$\Omega$의 어떠한 부분집합 $A$에 확률이 모순없이 정의된다면 그 집합의 여집합인 $A^c$에 대하여서도 확률이 모순없이 정의되어야 한다.

$\Leftrightarrow$ $\forall A \subset {\Omega}: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$

(예제3) – 전체집합이 잴 수 있는 집합이니까 공집합도 잴 수 있는 집합이야

$\Omega=\{H,T\}$라고 하자. ${\cal F}$를 아래와 같이 정의한다면 묶음 ${\cal F}$는 합리적이지 않다.

\[{\cal F}=\big\{ \{H\}, \{T\}, \Omega\big\}\]

(해설)

전체집합의 확률은 $P(\Omega)=1$로 정의할 수 있다. 그런데 전체집합의 여집합인 공집합의 확률을 정의할 수 없는건 말이 안되므로 공집합은 $\cal F$에 포함되어야 한다.

(예제4) – 원소의 수가 유한한 경우 ${\cal F}=2^\Omega$은 잴 수 있는 집합의 모임이야.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음은 ${\cal F}$은 합리적이다.

\[{\cal F}=\text{all subset of $\Omega$}= 2^\Omega = \big\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \dots, \{6\}, \dots, \{1,2,3,4,5\} \dots \Omega\big\}\]

(해설)

$\Omega$의 모든 부분집합에 대하여 확률을 모순없이 정의할 수 있다. 예를들면

$P(\Omega)=1$, $P(\emptyset)=0$
$P(\{1\})=\frac{1}{6}$
$P(\{1,2,4\})=\frac{3}{6}$
$P(\{2,3,4,5,6\})=\frac{5}{6}$
$\dots$

이런식으로 정의할 수 있다.

(예제5) – 동일한 $\Omega$에 대하여 잴 수 있는 집합의 모임 ${\cal F}$는 유니크하지 않음.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{6\}, \{1,2,3,4,5\},\Omega \big\}\]

(해설)

어떠한 특수한 상황을 가정하자. 주사위를 던져야하는데 6이 나오면 살수 있고 6이 나오지 않으면 죽는다고 하자. 따라서 던지는 사람 입장에서는 주사위를 던져서 6이 나오는지 안나오는지만 관심있을 것이다. 이 사람의 머리속에서 순간적으로 떠오르는 확률들은 아래와 같다.⁴

⁴ 공평한 주사위라고 하자..

살수있다 $\to$ 1/6
죽는다 $\to$ 5/6
살거나 죽는다 $\to$ 1
살지도 죽지도 않는다 $\to$ 0

이러한 확률은 합리적이다. 즉 아래의 집합들만 확률을 정의한다고 해도, 확률을 잘 정의할 수 있을 것 같다.

\[\emptyset, \{6\}, \{1,2,3,4,5\}, \Omega\]

(예제6) – $\Omega$를 어떠한 사건의 집합으로 보느냐에 따라서 ${\cal F}$를 달리 구성할 수 있다.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{1,3,5\}, \{2,4,6\},\Omega \big\}\]

(해설)

전체사건을 “주사위를 던져서 짝이 나오는 사건”, “주사위를 던져서 홀이 나오는 사건” 정도만 구분하겠다는 의미

(예제7) – $A\in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이지 않다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{1,3,5\}, \Omega \big\}\]

(해설)

“주사위를 던져서 홀수가 나올 사건”에 대한 확률을 정의할 수 있는데, 짝수가 나올 사건에 대한 확률을 정의할 수 없다는건 말이 안되는 소리임.

(예제8) – trivial $\sigma$-field

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이다.

\[{\cal F}=\{\emptyset, \Omega \}\]

(해설)

이렇게 잡으면 모순이 일어나진 않음. (쓸모가 없겠지)

(예제9) – 서로소인 두 집합의 합, 포함관계에 있는 집합의 차

$\Omega=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 어떠한 필요에 따라서 1이 나올 확률과 2가 나올 확률에만 관심이 있고 나머지는 별로 관심이 없다고 하자. 그래서 ${\cal F}$을 아래와 같이 정의했다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이지 않다.

\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \}\]

(해설1)

${\cal F}$은 전체집합과 공집합을 포함하고 여집합에 닫혀있으므로 언뜻 생각해보면 합리적인듯 보이지만 그렇지 않다. 왜냐하면 $\{1,2\}$이 빠졌기 때문이다. 1이 나올 확률 $P(\{1\})$와 2가 나올 확률 $P(\{2\})$를 각각 정의할 수 있는데, 1 또는 2가 나올 확률 $P(\{1,2\})$을 정의할 때 모순이 발생한다는 것은 합리적이지 못하다. 왜냐하면 $\{1\} \cap \{2\} = \emptyset$ 이므로

\[P(\{1\} \cup \{2\})=P(\{1\}) + P(\{2\})\]

와 같이 정의가능하기 때문이다. 따라서 집합이 아래와 같이 수정되어야 한다.

\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\} \}\]

(해설2)

생각해보니까 $\{2\}$는 $\{2,3,4\}$의 부분집합이다. 그런데 $P(\{2\})$와 $P(\{2,3,4\})$를 각각 정의할 수 있는데

\[P(\{2,3,4\} - \{2\}) = P(\{3,4\})\]

를 정의할 수 없는건 말이 안된다. 따라서 ${\cal F}$를 아래와 같이 수정해야 한다.

\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{3,4\}, \{1,2\} \}\]

(해설3)

$\Omega$의 어떠한 두 부분집합 $A$, $B$가 서로소라고 상상하자. 집합 $A$, $B$에 대한 확률이 각각 무모순으로 정의된다면, 집합 $A\cup B$에 대한 확률도 무모순으로 정의되어야 한다.

$\Leftrightarrow$ $\forall A,B \subset \Omega$ such that $A \cap B =\emptyset$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}$

또한 $\Omega$의 임의의 두 부분집합이 $A \subset B$와 같은 포함관계가 성립할때, 집합 $A$, $B$에 대한 확률이 각각 무모순으로 정의된다면, 집합 $B-A$에 대한 확률로 무모순으로 정의되어야 한다.

$\Leftrightarrow$ $\forall A,B \subset \Omega$ such that $A \subset B$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}$

(예제10) – ${\cal A}=\{\{1\},\{2\}\}$ 일때, $\sigma({\cal A})$ 를 구하는 문제

$\Omega=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 내가 관심이 있는 확률은 $P(\{1\})$, $P(\{2\})$ 밖에 없다고 하자. 이러한 확률들이 무모순으로 정의되기 위한 최소한의 ${\cal F}$를 정의하라.

(해설) – 좀 귀찮네..?

0차수정: ${\cal A} = \big\{\{1\}, \{2\}\big\}$

1차수정: $\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \Omega \big\}$

2차수정: $\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \big\}$

3차수정: $\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\} \big\}$

사실 우리가 관심 있는건 ${\cal A} = \{ \{1\}, \{2\} \}$ 뿐 이었음. 그런데 뭔가 $P(\{1\})$와 $P(\{2\})$를 합리적으로 정의하기 위해서 필연적으로 발생하는 어떠한 집합들을 모두 생각하는건 매우 피곤하고 귀찮은 일임. 그래서 “아 모르겠고, $\{1\}$ 와 $\{2\}$를 포함하고 확률의 뜻에 모순되지 않게 만드는 최소한의 ${\cal F}$가 있을텐데, 거기서만 확률을 정의할래!” 라고 쉽게 생각하고 싶은 사람들이 생김. 그러한 공간을 $\sigma({\cal A})$라는 기호로 약속하고 smallest $\sigma$-field containing ${\cal A}$ 라는 용어로 부름.

생각의 시간1

우리가 잴 수 있는 집합의 모임들 ${\cal F}$라는 것은 답을 구체적으로 쓸 수는 없으나 현재까지 파악한 직관에 한정하여 아래와 같은 조건⁵들을 만족하는 collection이라고 “일단은” 생각할 수 있다.

⁵ 이 조건들은 수정 및 보완 될 예정임

$\Omega, \emptyset \in {\cal F}$
$\forall A \subset \Omega: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$
$\forall A,B \subset \Omega$ such that $A\cap B =\emptyset$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}$
$\forall A,B \subset \Omega$ such that $A \subset B$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}$

이것은 우리가 “확률”이라는 개념을 올바르게 정의하기 위해서 필요한 최소한의 합의⁶이다.

⁶ 모든 사람들이 인정할 수 밖에 없는 합의

여기에서 우리가 따져볼 것은 (1) 시그마필드의 조건으로 1~4이면 충분한지 (더 많은 조건들이 필요한건 아닌지) 그리고 (2) 우리가 있었으면 하는 조건들이 꼭 필요한 조건은 맞는지 (예를들면 한두개의 조건이 다른조건을 암시하는건 아닌지) 이다.

(충분할까?) 조건 1,2,3,4 정도를 만족하는 집합으로 시그마필드를 정의해도 충분할까? 좀 더 많은 조건들이 필요한건 아닐까? 예를들면 아래와 같은 조건들이 필요한건 아닌가?

$\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cap B \in {\cal F}$
$\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cup B \in {\cal F}$
$\forall B_1,B_2,\dots \subset \Omega$ such that $B_1, B_2,\dots$ are disjoint: $B_1,B_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal F}$
$\forall A_1,A_2,\dots \subset \Omega$: $A_1,A_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal F}$

여기에서 잠시 7의 의미를 살펴보자.

3의 확장버전이라고 볼 수 있다. 3은 “각 집합을 잴 수 있다면 서로소인 집합을 유한번 더한 집합도 잴 수 있어야 한다” 라는 의미가 된다. 7은 “각 집합을 잴 수 있다면 서로소인 집합을 셀 수 있는 무한번 더한 집합도 잴 수 있어야 한다” 라는 의미가 된다.

(예제11) – 람다시스템

$\Omega=(0,2\pi]$ 라고 하자. ${\cal A} = \{\{x\}: x\in \mathbb{Q} \cap \Omega \}$ 이라고 할 때 아래가 성립할까?

\[\mathbb{Q} \cap \Omega \in \sigma({\cal A})\]

즉 각각의 유리수 한점씩을 잴 수 있을 때⁷ 유리수 전체의 집합 역시 잴 수 있을까?

⁷ $P(\{0\})$, $P(\{0.21\})$, $\dots$를 각각 정의가능할 때

(해설1)

유리수는 셀 수 있는 무한이므로 집합 $\mathbb{Q} \cap \Omega$의 길이나 확률 따위는 잴 수 있다.

(해설2)

확률의 공리중 3을 살펴보면 이미 서로소인 집합의 countable union은 잴 수 있는 대상이라고 생각하고 있다. 이건 마치 “확률은 양수”이어야 한다든가, “전체확률은 1이어야” 한다는 사실처럼 당연한 사실이다.⁸

⁸ 사실 일반인에게 당연하지 않을 수도 있지만 최소한 수학자들은 당연하게 생각한다. 그래서 우리도 그냥 당연하게 생각하자.

사실 납득이 되는건 아님. 그렇지만 일단은 “수학자들이 합의해서 이런건 잴 수 있다고 했어. 그러니까 잴 수 있어” 라고 이해하고 넘어가자.

생각의 시간2

이제 5,6의 성질을 살펴보자.

$\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cap B \in {\cal F}$
$\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cup B \in {\cal F}$

6의 경우는 $A$와 $B$가 서로소가 아니더라고 $A \cup B$를 잴 수 있느냐? 라는 것이다. (결국 이는 교집합을 잴 수 있느냐? 라는 물음과 같아서 5와 6은 같은 질문이다.)

(예제12) – 교집합을 넣을까 말까

$\Omega=\{1,2,3,4\}$라고 하자. 아래와 같은 ${\cal F}$는 합리적일까?

\[{\cal F}= \big\{ \emptyset, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}, \Omega\big\}\]

(해설1) – 틀린해설

이러한 집합은 원칙 1-4,7 에 위배되지 않는다.

1. $\Omega, \emptyset \in {\cal F}$

2. $\forall A \subset \Omega: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$

3. $\forall A,B \subset \Omega$ such that $A\cap B =\emptyset$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}$

4. $\forall A,B \subset \Omega$ such that $A \subset B$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}$

7. $\forall B_1,B_2,\dots \subset \Omega$ such that $B_1, B_2,\dots$ are disjoint: $B_1,B_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal F}$

그런데 이 집합은

\[\{1,2\} \cap \{1,3\} = \{1\}\]

와 같은 집합이라든가,

\[\{1,2\} \cup \{1,3\} = \{1,3,4\}\]

와 같은 집합의 길이를 잴 수 없다. 따라서 아래와 같이 우리가 고등학교때 부터 써왔던 공식을 쓸 수 없다. (ref, Further consequences)

\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]

이것은 불편하니까 $A,B$가 잴 수 있다면, $A,B$의 교집합이나 합집합따위도 잴 수 있다고 정하자.

(해설1의 반론)

약속하지 않으면 “불편”하니까 약속하자라는 논리는 말이 되지 않음. 그 논리대로라면 $\Omega$의 모든 집합에 대하여 확률을 정의할 수 없다고 하면 “불편”하니까 약속하자라는 논리가 됨. 잴 수 있는 집합의 합집합이나 교집합을 잴 수 있다라는 근거는 없음.

(해설1의 반론의 반론) – 참고용으로만..

사실 근거가 있긴함. 즉 $A$와 $B$를 각각 잴 수 있다면 $A$, $B$의 교집합도 잴 수 있음. (그렇다면 자동으로 합집합도 잴 수 있게 됨.) 이것을 지금 수준에서 엄밀하게 따지기 위해서는 “잴 수 있는 집합”의 정의를 해야하는데 지금 수준에서는 까다로움.

(해설2) – 엄밀한 해설 X

잴 수 있는 집합을 우리는 지금 까지 당연하게

확률을 잴 수 있는 집합들

로 생각했음, 그런데 원래 잴 수 있는 집합이라는 개념은 “선분의 길이” 따위를 모순없이 정의할 수 있는가? 즉 수직선 $\mathbb{R}$의 모든 부분집합의 길이라는 개념을 정의할 수 있는가? 에서 출발하였음. 즉 원래 잴 수 있는 집합이라는 의미는

수직선에서 길이를 잴 수 있는 집합들

이라고 생각해야함. 그렇다면 “길이”라는 개념을 다시 추상화 해야하는데 “길이”라는 개념은 아래의 원칙에 위배되면 안될 것 같음.

그림2: 위키에서 긁어온 그림. 길이는 1-4의 성질이 있어야 할 것으로 판단됨

교집합을 잴 수 없다는 논리라면, 구간 $[a_1,b_1]$의 길이는 잴 수 있고 구간 $[a_2,b_2]$의 길이는 잴 수 있지만 구간 $[a_1,b_1] \cap [a_2,b_2]$의 길이는 잴 수 없다는 말인데 이는 말이되지 않음.

결론 (엄밀한 해설은 아님): “잴 수 있다” 라는 개념은 확률, 길이에 모두 적용할 수 있어야 한다. 잴 수 있는 대상을 확률로 상상하면 $A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$ 인것이 당연하듯이 잴 수 있는 대상을 길이로 상상하면 $A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}$ 임은 당연하다.

생각의 시간3

따라서 아래의 성질들은 모두 시그마필드가 가져아할 규칙들로 인정할 수 있다.

$\Omega, \emptyset \in {\cal F}$
$\forall A \subset \Omega: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$
$\forall A,B \subset \Omega$ such that $A\cap B =\emptyset$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}$
$\forall A,B \subset \Omega$ such that $A \subset B$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}$
$\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cap B \in {\cal F}$
$\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cup B \in {\cal F}$
$\forall B_1,B_2,\dots \subset \Omega$ such that $B_1, B_2,\dots$ are disjoint: $B_1,B_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal F}$

남은건 8번의 규칙이다.

$\forall A_1,A_2,\dots \subset \Omega$: $A_1,A_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal F}$

이 8⁹번 규칙은 사실 5¹⁰, 7¹¹번 잘 조합하면 자동으로 이끌어진다. 즉 $(5), (7) \Rightarrow (8)$. 그 외에도 “있었으면 싶은” 규칙은 모두 1-7중 적당한 것을 섞으면 만들 수 있다. 예를들어 아래와 같은 규칙을 고려하자.

⁹ countable union

¹⁰ 교집합

¹¹ 서로소의 countable union

$\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} \Rightarrow A-B \in {\cal F}$
$\forall A,B,C \subset \Omega: A,B,C \in {\cal F} \Rightarrow A\cup B \cup C \in {\cal F}$
$\forall A_1,A_2,\dots \subset \Omega$: $A_1,A_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cap_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal F}$

규칙9는 규칙2¹²와 5¹³로 임플라이 할 수 있고, 규칙10은 규칙6¹⁴의 확장으로 임플라이 할 수 있고, 규칙11은 규칙 2¹⁵와 7¹⁶로 임플라이 할 수 있다.

¹² 여집합

¹³ 교집합

¹⁴ 2개 집합의 합집합

¹⁵ 여집합

¹⁶ 서로소의 countable union

결론: 규칙 1-8으로 시그마필드를 표현하기에 충분하다.

생각의 시간4

규칙 1-8중 필요없는 규칙을 제거하자.

1. 규칙2¹⁷가 있다면, 규칙1에서 공집합은 빼도 될 것 같다.

¹⁷ 여집합

¹⁸ countable union

¹⁹ disjoint union of two sets

²⁰ 2개의 합집합

²¹ countable union of disjoint sets

2. 규칙8¹⁸이 있다면, 규칙3¹⁹, 규칙6²⁰, 규칙7²¹은 필요 없다. 즉 규칙8은 규칙3,6,7의 효과를 모두 가진다.

3. 규칙2²²와 규칙6²³이 있다면, 규칙5²⁴는 필요없다. 따라서 규칙2²⁵와 규칙8²⁶이 있어도 규칙5는 필요없다.

²² 여집합

²³ 합집합

²⁴ 교집합

²⁵ 여집합

²⁶ countable union

²⁷ 여집합

²⁸ 교집합

²⁹ 포함관계의 차집합

³⁰ countable union

4. 규칙2²⁷와 규칙5²⁸가 있다면 규칙4²⁹는 필요없다. 그런데 규칙5는 규칙2와 규칙8³⁰이 임플라이 하므로 결국 규칙2와 규칙8이 있다면 규칙4가 필요없다.

5. 결론: 규칙1에서 공집합을 제외한 버전, 그리고 규칙2, 규칙8만 있으면 된다.

시그마필드의 정의

- 시그마필드, 즉 $\Omega$의 부분집합 중 “잴 수 있는 집합의 모임”은 Durret 교재에 의하여 아래와 같이 정의된다.

- 교재에는 $\Omega \in {\cal F}$이라는 조건이 빠져있는데, $\Omega \in {\cal F}$이라는 조건을 포함하여 기억하는 것이 편리하다. (위키등에서 일반적으로 정의할때는 $\Omega \in {\cal F}$ 조건을 포함한다) 즉 위키와 Durret을 적당히 혼합하여 아래와 같이 정의하고 기억하는게 좋다.

(Def) Let $\Omega$ be some set, and let $2^{\Omega}$ represent its power set. Then a subset ${\cal F} \subset 2^\Omega$ is called a $\sigma$-field if it satisfies the following three properties:

$\Omega \in {\cal F}$
$A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$
$A_1,A_2,A_3\dots \in {\cal F}$ $\Rightarrow$ $\cup_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal F}$

- 좀 더 편리하게 아래와 같이 기억하면 좋다.

시그마필드는 잴 수 있는 집합의 모임인데 아래와 같은 규칙을 만족해야 한다. (1) 전체집합을 포함한다. (2) 여집합에 닫혀있다. (3) 가산합집합에 닫혀있다.

- 참고1: 시그마필드라는 것은 유일하게 정의되지 않는다. 즉 동일한 $\Omega$에 대하여 정의할 수 있는 잴수있는 집합의 모임 ${\cal F}$는 유일하지 않다.

- 참고2: 시그마필드는 $\Omega$없이 단독으로 정의되지 않는다. 즉

\[{\cal F}=\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}\]

는 단지 그냥 시그마필드라고 주장하기 보다 $\Omega=\{H,T\}$에 대한 시그마필드라고 해야 정확한 표현이다.

- 참고3: 참고2에 따라서 ${\cal F}$ 단독으로 표기하는 것 보다 $\Omega$를 붙여서 $(\Omega,{\cal F})$와 같이 쌍으로 표기하는게 더 합리적이다. 앞으로는 이러한 쌍을 measurable space 라고 부른다.

집합	카디널리티	분류	르벡메져
\(\{1,2,3\}\)	3	가산집합	0
\(\mathbb{N}\)	\(\aleph_0\)	가산집합	0
\(\mathbb{Z}\)	\(\aleph_0\)	가산집합	0
\(\mathbb{Q}\)	\(\aleph_0\)	가산집합	0
\([0,1]\)	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	1
\([0,1]\cap \mathbb{Q}\)	\(\aleph_0\)	가산집합	0
\([0,1]\cup \mathbb{Q}\)	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	1
\([0,1]\cap \mathbb{Q}^c\)	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	1
\([0,\infty)\)	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	\(\infty\)
비탈리집합	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	NA
칸토어집합	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	0