01wk: 측도론 intro (1)

강의영상

https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-yPGeQuQgZaqhpUJujTtP4g

예제1: 동전

- $\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$: sample space

- $P(\{H\})=P(\{T\})=\frac{1}{2}$: prob

- 질문: $\mathrm{\Omega }$의 임의의(=모든) 부분 집합 ${\mathrm{\Omega }}^{\ast }$에 대하여 $P({\mathrm{\Omega }}^{\ast })$를 모순없이 정의할 수 있을까?

• 당연한거 아냐?
• 이게 왜 안돼?

- 질문에 대한 대답

1. $\mathrm{\Omega }$의 부분집합: $\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega },\{H\},\{T\}$
2. $P(\{H\})=\frac{1}{2}$, $P(\{T\})=\frac{1}{2}$, $P(\mathrm{\Omega })=P(\{H,T\})=1$, $P(\mathrm{\varnothing })=0$

- 모순없이의 의미?

• 우리가 상식적으로 확률에 적용가능한 어떠한 연산들이 있음. (확률의 공리 + 기본성질) // 네이버검색
• 이러한 연산을 적용해도 상식적인 수준에서 납득이 가야함

(상식적인 연산 적용 예시1)

$\{H\}\subset \mathrm{\Omega }\Rightarrow P(\{H\})<P(\mathrm{\Omega })$

• 집합 $\{H\}$은 집합 $\mathrm{\Omega }$보다 작은 집합임
• 상식적으로 작은집합이 일어날 확률이 큰 집합이 일어날 확률보다 클 수 없음
• 동전 예제의 경우 모든 $A,B\subset \mathrm{\Omega }$ 에 대하여, $A\subset B$ 이라면 $P(A)<P(B)$ 가 성립함

(상식적인 연산 적용 예시2)

$\{H\}\cap \{T\}=\mathrm{\varnothing }\Rightarrow P(\{H\}\cup \{T\})=P(\{H\})+P(\{T\})=1$

• 우리의 상식에 따르면 $A,B$가 서로소인 사건이라면 $P(A)+P(B)$이어야 함.¹
• 이 예제는 실제로 그러함.
• 사실 이 예제의 경우 $P(\{H\}\cup \{T\})=P(\mathrm{\Omega })=1$ 와 같이 계산할 수도 있음.
• 하지만 어떠한 방식으로 계산해도 모순이 없음.

¹ 확률의 공리

예제2: 바늘이 하나만 있는 시계

- $\mathrm{\Omega }=[0,2\pi )$

• 시계바늘을 돌려서 나오는 각도를 재는일 $\iff$ $[0,2\pi )$사이의 숫자중에 하나를 뽑는 일

- 질문: 바늘을 랜덤으로 돌렸을때 12시-6시 사이에 바늘이 있을 확률? $\frac{1}{2}$

• ${\mathrm{\Omega }}^{\ast }=[0,\pi )$
• $P({\mathrm{\Omega }}^{\ast })=\frac{1}{2}$

- 계산하는 방법? 아래와 같이 계산하면 가능!!

$$\mathrm{\forall }{\mathrm{\Omega }}^{\ast }\subset \mathrm{\Omega },P({\mathrm{\Omega }}^{\ast })=\frac{m({\mathrm{\Omega }}^{\ast })}{m(\mathrm{\Omega })}$$

단 여기에서 $m$은 구간의 길이를 재는 함수라고 하자.

연습: $m$의 사용

• $m(\mathrm{\Omega })=m([0,2\pi ))=2\pi$
• $m({\mathrm{\Omega }}^{\ast })=m([0,\pi ))=\pi$

- 위와 같은 방식으로 확률을 정의하면 잘 정의될까? 이게 쉽지 않음. 왜냐하면 확률을 잘 정의하기 위해서는

$\mathrm{\Omega }$의 모든 부분집합 ${\mathrm{\Omega }}^{\ast }$에 대하여 $P({\mathrm{\Omega }}^{\ast })$를 모순없이

정의할 수 있어야 하는데, 이게 쉬운일이 아님.

(질문0) 그냥 몸풀기 용 질문

${\mathrm{\Omega }}^{\ast }=\mathrm{\varnothing }$ 일 확률이 얼마인가?

(답변)

• 0 이야²

² 이걸 좀 더 엄밀하게 따질수도 있는데 일단 직관적으로 0이라 생각하고 넘어가자

(질문1) 첫번째 도전적인 질문

${\mathrm{\Omega }}^{\ast }=\{0\}$일 확률이 얼마인가?

(답변)

• 즉 바늘침이 정확하게 12시를 가르킬 확률이 얼마냐는 것
• 한 점으로 이루어진 집합 $\{0\}$은 분명히 $\mathrm{\Omega }=[0,2\pi )$의 부분집합 이므로 앞서 논의한대로라면 이러한 집합에 대한 확률을 명확하게, 모순없이 정의할 수 있어야 함
• 많은 사람들이 이 질문에 대한 답은 $0$ 이라고 알고 있고 그 이유를 “점의 길이는 0 이니까” 라고 이해하고 있음.³

³ 이해 안되면 약속이라고 생각하자.

⁴ 자연어에서는 “확률=0” 와 “불가능” 은 동일하지만 여기서는 아니다.

답변이 사실 좀 찝찝해. 바늘침이 정확하게 12시를 가르키는 것은 우리가 분명 하루에 한번씩은 경험하는 사건임. 그런데 그 사건이 일어날 확률은 0이다?⁴

(참견질문) 생각해보니까 이런게 있었잖아?

$$A\subset B\Rightarrow P(A)<P(B)$$

그런데 $\mathrm{\varnothing }\subset \{0\}$ 인데 $P(\mathrm{\varnothing })=P(\{0\})$ 이다..?

(답변)

• 원래식 $A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$ 이 성립함
• 즉 $A$가 $B$의 진 부분집합이더라도 $P(A)=P(B)$인 경우가 존재함.

(질문2) 두번째 질문은 아래와 같다.

그렇다면 사건 $\{0,\pi \}$가 일어날 확률은 얼마인가?

(답변)

• 질문을 다시 풀어쓰면 바늘침이 정확하게 12시를 가르키거나 혹은 정확하게 6시를 가르킬 확률이 얼마냐는 것
• 따라서 이 질문에 대한 대답은 $0+0=0$ 이므로 $0$이라고 주장할 수 있음.

(질문3) 세번째 질문은 아래와 같다.

구간 $[0,2\pi )$는 무수히 많은 점들이 모여서 만들어지는 집합이다. 그런데 점 하나의 길이는 0이다. 0을 무수히 더해도 0이다. 그러므로 구간 $[0,2\pi )$의 길이도 0이 되어야 한다. 이것은 모순아닌가?

(답변)

• 까다롭다.
• $m([0,2\pi ))=0$ 임을 인정하면 전체확률은 1이어야 한다는 기본상식⁵에 어긋나 모순이 생김.
• 질문의 논리는 타당해보임. 이 논리의 약점은 딱히 없어보임. 굳이 약점이 있다면 “무한”이라는 개념?
• 어쩔수없이 직관에 근거한 약간의 약속을 또 다시 해야할 것 같음. 예를들면 “점들을 유한번 합치면 그냥 많은 점들이지만 무한히 합치면 이것은 선분이 된다. 따라서 길이가 생긴다.” 와 같이.
• 우리는 이 약속을 “무한번의 기적”이라고 칭하자.

⁵ 심지어 이건 확률의 공리

(질문4) 그렇다면 아래의 질문은 어떻게 대답할 수 있을까?

$[0,\pi )$ 에서 유리수만 뽑아낸 집합이 있다고 생각하자. 편의상 이 집합을 $\mathbb{Q}$ 라고 하자. 이 집합은 분명히 무한개의 점을 포함하고 있다. 그렇다면 이 집합도 길이가 있는가? 있다면 얼마인가?

(답변)

• 이미 점들의 길이를 무한번 더하면 길이가 생긴다고 주장한 상태이므로 (무한번의 기적) 길이가 0이라고 주장할 수 없다. 따라서 길이가 있다고 주장해야 한다.
• $\pi$말고 딱히 떠오르는 수가 없는데 단순히 길이가 $\pi$라고 주장한다면 바로 모순에 빠짐을 알 수 있다.⁶
• 길이는 일단 0보다 커야하고 $\pi$보다 작아야함은 자명하므로 그 사이에 있는 어떤 값이 길이라고 주장하자.⁷
• 따라서 (질문4)에 대한 답은 ‘’구체적으로 얼마인지는 모르겠지만 길이가 분명 존재하고 그 길이는 0 보다 크고 $\pi$ 보다는 작은 어떠한 값 $a$이다.’’ 정도로 정리할 수 있다.
• 즉 $m(\mathbb{Q})=a$.

⁶ 왜 모순에 빠지냐면 $[0,\pi )$에서 무리수만 뽑아낸 집합의 길이가 뭐냐고 물을경우 0이라고 말해야함

⁷ 구체적으로 어떤값인지는 모른다고 하자.

(질문5) – 외통수

질문4로부터 만들어지는 논리는 빌드업1-3으로 이어지는 콤보질문을 적절하게 대답하지 못한다. (질문이 좀 길어서 나누어서 설명합니다)

(빌드업1) – 평행이동은 길이를 변화시키지 않아, 그렇지?

• $\mathbb{Q}$의 모든점에 $\sqrt{2}$를 더한다. 이 점들로 집합을 만들어 ${\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}}$를 만든다.
• 여기에서 ${\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}}$는 $\mathrm{\Omega }$의 부분집합 $\Rightarrow$ ${\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}}$는 길이를 명확하고 모순없이 정의할 수 있어야 함
• ${\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}}$의 길이는 사실 쉽게 $a$라고 정의할 수 있음⁸. 즉, $m({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}})=a$.

⁸ 평행이동은 길이를 변화시킬 수 없으니까

(빌드업2) – 겹치지 않게 평행이동 시킨다음에 길이를 더한다면?

이제 ${\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}},{\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2},{\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3}$를 생각하자. 아래의 성질을 관찰할 수 있다.

1. ${\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}},{\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2},{\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3}$는 모두 $\mathrm{\Omega }$의 부분집합 $\Rightarrow$ 따라서 길이를 명확하고 모순없이 정의할 수 있어야 함
2. ${\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}},{\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2},{\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3}$의 길이는 각각 $a$로 정의할 수 있다.⁹
3. $P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}}\cup {\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2}\cup {\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3})=P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}})+P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2})+P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3})$¹⁰

⁹ 평행이동은 길이를 변화시키지 않으니까

¹⁰ ${\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}},{\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2},{\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3}$는 모두 서로소 임을 이용

굳이 $P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}})+P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2})+P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3})$를 계산하면 아래와 같이 계산할 수 있겠다.

$$P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}})+P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2})+P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3})=\frac{a}{2\pi }+\frac{a}{2\pi }+\frac{a}{2\pi }=3\times \frac{a}{2\pi }$$

(빌드업3) – 그런데 난 겹치지않게 평행이동시킬 방법을 무한대로 알고 있는데?

눈 여겨볼 점은 아래 식이 성립해야 한다는 것이다. ($\because$ 확률의 공리)¹¹

¹¹ 첫 등호는 서로소인 사건에 대한 공리, 그다음 부등호는 확률의 총합은 1보다 같거나 작다라는 공리

$$P({\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}}\cup {\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/2}\cup {\mathbb{Q}}_{\sqrt{2}/3})=3\times \frac{a}{2\pi }\le 1\cdots (\star )$$

• 그런데 $(\star )$에서 좌변의 값은 편의에 따라서 값을 임의로 키울 수 있다.
• 이렇게 임의로 키워진 좌변의 값이라도 항상 그 값은 1보다 작아야 하는데 (확률의 공리), 이게 가능하려면 $\alpha =0$인 경우 말고 없다.
• 그런데 $\alpha =0$ 이 된다면 “무한번 더해서 일어나는 기적”은 허구가 되므로 질문3 의 대답에 모순이 된다.

그런데 임의로 좌변의 값을 키워도 항상 그 값은 1보다 작아야 하는데 이러한 $\alpha$는 0이외에 불가능하다.

그런데 $\alpha =0$ 이 된다면 “무한번 더해서 일어나는 기적”은 허구가 되므로 질문3 의 대답에 모순이 된다.

르벡메져

- 예제2에서의 마지막 질문은 지금까지 제시한 논리로 방어가 불가능. 이처럼 논리적인 모순없는 체계를 만드는 것은 매우 어려운 일임.

- 결론적으로 말하면 길이를 재는 함수 $m$을 아래와 가정하면 위의 모든 질문에 대한 대답을 논리적 모순없이 설계할 수 있다.

1. 한 점에 대한 길이는 $0$ 이다.

2. $[0,2\pi )$ 사이의 모든 유리수를 더한 집합은 그 길이가 $0$이다.

3. $[0,2\pi )$ 사이의 모든 무리수를 더한 집합은 그 길이가 $2\pi$이다.

참고로 르벡측도(Lebesgue measure)를 사용하면 위의 성질을 만족한다.¹² 따라서 르벡측도를 활용하여 확률을 정의하는 것이 모순을 최대한 피할 수 있다.

¹² 물론 르벡측도의 정의가 위와 같지는 않다