12wk: 적분 (2)

강의영상

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적분

- ref: Durrett (2019), Sec 1.4

- 개론: 두 개의 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$, $(\mathbb{R},\mathcal{R})$을 고려하자. 함수 $\mu :\mathcal{F}\to [0,\mathrm{\infty }]$을 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$에서 정의된 $\sigma$-finite measure 라고 하자. 또한 함수 $f$를 $\mathcal{F}-\mathcal{R}$ measurable fucntion 이라고 하자. 이러한 공간에서 아래와 같은 표현

$$\int fd\mu$$

을 정의하고자 한다.

simple function

- 정의: $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$가 잴 수 있는 공간이라고 하자. 함수 $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$가 아래와 같이 표현된다면 $f$를 simple function 이라고 한다.

$$f(\omega )=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\mathbb{1}}_{A_i}(\omega )$$

여기에서 $A_1,A_2,\dots ,A_n\in \mathcal{F}$ 은 서로소인 집합열, ${\mathbb{1}}_{A_1}=\{\begin{array}{ll}1& \omega \in A_1\\ 0& \omega \notin A_1\end{array}$, 그리고 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\in \mathbb{R}$ 이다. 보통은 위를 간단하게 아래와 같이 사용한다.

$$f=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\mathbb{1}}_{A_i}$$

- 이론: $f$는 $\mathcal{F}-\mathcal{R}$ measurable map 이다.

- Note: 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$에서 정의된 가측함수 $f$가 finite한 치역을 가진다면 $f$는 simple function 이다.

- 정의: $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$가 잴 수 있는 공간이라고 하자. 함수 $\mu :\mathcal{F}\to [0,\mathrm{\infty }]$을 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$에서 정의된 $\sigma$-finite measure 라고 하자. 또한 함수 $f$를 $\mathcal{F}-\mathcal{R}$ measurable fucntion 이라고 하자. 만약 $f$가 아래와 같이 표현된다면

$$f=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\mathbb{1}}_{A_i}$$

즉, $f$가 simple function 이라면 “$f$의 $\mu$에 대한 적분 (intergral of $f$ w.r.t. $\mu$)”을 아래와 같이 정의한다.

$$\int fd\mu =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\mu (A_i)$$

- 참고: 동일한 simple function $f$에 대한 표현 $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\mu (A_i)$ 는 유일하지 않다. (왜냐하면 ${\alpha }_i$가 서로 다른값이라는 가정을 한 것은 아니므로) 아래를 관찰하면 그 이유를 쉽게 알 수 있다.

$$\alpha {\mathbb{1}}_{(0,2]}=\alpha {\mathbb{1}}_{(0,1]}+\alpha {\mathbb{1}}_{(1,2]}$$

하지만 앞으로의 논리전개에서 이러한 점은 별로 문제되지 않는다. 찝찝하다면 아래의 이론을 확인하고 넘어가도 무방.

- 이론: $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$가 잴 수 있는 공간이라고 하자. 함수 $\mu :\mathcal{F}\to [0,\mathrm{\infty }]$을 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$에서 정의된 $\sigma$-finite measure 라고 하자. 또한 함수 $f$를 $\mathcal{F}-\mathcal{R}$ measurable fucntion 이라고 하자. 만약 $f$를 아래와 같은 두가지 방법으로 표현 가능하다면

$$f=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{\mathbb{1}}_{A_i}=\sum _{j=1}^n{\beta }_j{\mathbb{1}}_{B_j}$$

아래가 성립한다.

$$\sum _{i=1}^m{\alpha }_i\mu (A_i)=\sum _{j=1}^n{\beta }_j\mu (B_j)$$

즉 $f$가 서로 다른 형태의 simple function으로 표현될 수 있으나 $\int fd\mu$가 지칭하는 값은 같다.

- 하여튼 $f$가 simple function일 경우는 $\int fd\mu$ 가 의미하는 것이 아주 명확하다는 의미.

- (예제1) – 사각형의 넓이

두개의 잴 수 있는 공간 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$와 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$을 고려하자. $\lambda :\mathcal{R}\to [0,\mathrm{\infty }]$를 르벡메져라고 하자. 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$를 아래와 같이 표현하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x\le 1\\ 0& o.w.\end{array}$$

$\int fd\lambda$ 는 잘 정의되는가? 만약 그렇다면 $\int fd\lambda$의 값은 어떻게 계산할 수 있는가?

note: 현재는 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})=(\mathbb{R},\mathcal{R})$인 상황이다.

(해설)

1. $\lambda$는 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$에서의 시그마유한측도이다.
2. $A=[0,1]$ 일때 함수 $f$는 $f(x)=1\times {\mathbb{1}}_A(x)$ 이므로 $f$는 simple function 이고 따라서 $\mathcal{R}-\mathcal{R}$ 가측함수이다.
3. 1-2에 의하여 우선 $f$와 $\lambda$는 $\int fd\lambda$라는 기호를 논의할 자격이 있다.
4. $f$가 simple function 일 경우는 $\int fd\lambda$ 의 값이 잘 정의되며 그 값은 $\lambda (A)=1$이다.

- (예제2) –

두개의 잴 수 있는 공간 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$와 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$을 고려하자. $\lambda :\mathcal{R}\to [0,\mathrm{\infty }]$를 르벡메져라고 하자. 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$를 아래와 같이 표현하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in [0,1]\cap \mathbb{Q}\\ 2& x\in [0,1]\cap {\mathbb{Q}}^c\\ 0& o.w.\end{array}$$

$\int fd\lambda$ 는 잘 정의되는가? 만약 그렇다면 $\int fd\lambda$의 값은 어떻게 계산할 수 있는가?

(해설)

1. $\lambda$는 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$에서의 시그마유한측도이다.
2. $A_1=[0,1]\cap \mathbb{Q}$, $A_2=[0,1]\cap {\mathbb{Q}}^c$ 일때 함수 $f$는 $f(x)=1\times {\mathbb{1}}_{A_1}(x)+2\times {\mathbb{1}}_{A_2}(x)$ 이므로 $f$는 simple function 이고 따라서 $\mathcal{R}-\mathcal{R}$ 가측함수이다.
3. 1-2에 의하여 우선 $f$와 $\lambda$는 $\int fd\lambda$라는 기호를 논의할 자격이 있다.
4. $f$가 simple function 일 경우는 $\int fd\lambda$ 의 값이 잘 정의되며 그 값은 $\lambda (A_1)+2\lambda (A_2)=2$이다.

- 앞으로의 논리전개: $f$를 simple function을 이용하여 근사할 수 있을 경우 르벡적분값 $\int fd\mu$가 모순없이 잘 정의됨.

non-negative function

- 정의: $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$가 잴 수 있는 공간이라고 하자. 함수 $\mu :\mathcal{F}\to [0,\mathrm{\infty }]$을 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$에서 정의된 $\sigma$-finite measure 라고 하자. 또한 함수 $f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$ non-negative (w.r.t. $\mu$) function 이라고 하고 $\phi :(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$ simple function이라고 하자. 그러면 “$f$의 $\mu$에 대한 적분 (intergral of $f$ w.r.t. $\mu$)”을 아래와 같이 정의할 수 있다.

$$\int fd\mu :=sup\{\int \phi d\mu :0\le \phi \le f,\text{a.e. with respect to }\mu \}$$

- 정의상 $\int fd\mu$는 무한대의 값을 가질 수 있다. 이 경우에도 $\int fd\mu$의 값은 모순 없이 잘 정의된다.

- (예제1)

두개의 잴 수 있는 공간 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$와 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$을 고려하자. $\lambda :\mathcal{R}\to [0,\mathrm{\infty }]$를 르벡메져라고 하자. 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$를 아래와 같이 표현하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& x\in [0,1]\\ 0& o.w.\end{array}$$

$\int fd\lambda$ 는 잘 정의되는가? 만약 그렇다면 $\int fd\lambda$의 값은 어떻게 계산할 수 있는가?

(해설)

1. $\lambda$는 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$에서의 시그마유한측도이다.
2. $f(x)$는 가측함수이다.
3. 따라서 $\int fd\mu$라는 기호를 논의할 자격은 있다.
4. 1에서 0으로 등간격으로 감소하고 길이가 $n$인 적당한 수열 $a_1,\dots ,a_n$에 대하여 서로소인 집합열 $A_n=\{x:f(x)>a_n\}-A_{n-1}$ 를 설정하자. 단 $A_0=\mathrm{\varnothing }$.
5. 함수 ${\phi }_n(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k\times {\mathbb{1}}_{A_k}(x)$를 고려하자.
6. 이때 $0\le {\phi }_n(x)\le f$ a.e. w.r.t. $\lambda$.
7. 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\int {\phi }_{n}d\lambda$의 값은 잘 정의된다. (simple function 이므로)
8. 따라서 집합 $\{\int {\phi }_n(x)d\lambda \}$ 역시 잘 정의되며 $sup\{\int {\phi }_n(x)d\lambda \}=\frac{1}{2}$ 역시 잘 정의된다.

- 임의의 양의함수에 대하여서도 아래와 같은 방식으로 근사할 수 있다.

위키에서 긁은 그림: 구불구불한 $f$를 simple function의 합으로 근사할 수 있다.

measurable function

- 지금까지의 스토리: $\sigma$-finite measurable space $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mu )$ 를 고려하자. 아래의 경우 $\int fd\mu$ 의 값이 모순없이 잘 정의되었다.

1. $f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$인 simple function
2. $f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$인 non-negative (w.r.t. $\mu$) function

이제 일반적인 $f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$ 에 대하여 $\int fd\mu$ 의 값이 모순없이 잘 정의되는 조건을 살펴보겠다.

- 임의의 함수 $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$에 대하여 아래와 같은 함수를 관찰하자.

• $f^{+}=max(0,f)$
• $f^{-}=max(0,-f)$

함수 $f^{+}$ 와 $f^{-}$는 아래의 성질이 성립한다.

1. $f^{+},f^{-}$ 는 모두 양수이다.
2. $|f|=f^{+}+f^{-}$
3. $f=f^{+}-f^{-}$

- 이론 만약에 $f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$ 이면

• $f^{+}:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$
• $f^{:}(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$

이다.

- 정의: $\sigma$-finite measurable space $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mu )$ 를 고려하자. 일반적인 가측함수 $f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$의 $\mu$에 대한 적분 (intergral of $f$ w.r.t. $\mu$) 은 아래와 같이 생각할 수 있다.

$$\int fd\mu :=\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu$$

이 값은 잘 정의될 수도 있고, 그렇지 않을 수도 있다. 구체적으로 아래와 같다.

1. $\int f^{+}d\mu <\mathrm{\infty }$ and $\int f^{-}d\mu <\mathrm{\infty }$ $\Rightarrow$ $\int fd\mu =\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu$ 로 정의
2. $\int f^{+}d\mu =\mathrm{\infty }$ and $\int f^{-}d\mu <\mathrm{\infty }$ $\Rightarrow$ $\int fd\mu =\mathrm{\infty }$ 로 정의
3. $\int f^{+}d\mu <\mathrm{\infty }$ and $\int f^{-}d\mu =\mathrm{\infty }$ $\Rightarrow$ $\int fd\mu =-\mathrm{\infty }$ 로 정의
4. $\int f^{+}d\mu =\mathrm{\infty }$ and $\int f^{-}d\mu =\mathrm{\infty }$ $\Rightarrow$ $\int fd\mu$ 는 정의할 수 없음.

이중에서 1,2,3에 해당하는 경우는 “$\int fd\mu$가 존재한다 (exist)” 고 표현하며, 4의 경우는 “$\int fd\mu$ 가 존재하지 않는다”고 표현한다. 이때 1의 경우를 특별하게 “$f$ is integrable w.r.t. $\mu$” 라고 표현한다.

헷갈려: 언뜻 생각하면 “$f$가 $\mu$에 대하여 적분가능하지 않다”라는 의미가 “$\int fd\mu$ 의 값을 모순없이 잘 정의할 수 없다” 라는 의미로 이해할 수 있는데 그렇지 않다.

- 위의 정의에서 $\int f^{+}d\mu$ 혹은 $\int f^{-}d\mu$ 라는 표현이 잘 정의되는 이유는 $f^{+},f^{-}$이 모두 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to \mathbb{R},\mathcal{R})$인 non-negative (w.r.t. $\mu$) function 이기 때문이다.

NOTATIONS ($\star \star \star \star \star$)

- $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mu )$ 가 $(\mathbb{R},\mathcal{R},\lambda )$ 이면

1. $\int f(x)dx=\int fd\lambda$
2. ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{E}fd\lambda$

와 같이 사용한다. 단, 여기에서 $E=[a,b]$. (Durrett 2019, p 23)

- ${\int }_{E}fd\lambda$는 종종

• ${\int }_{E}f(x)\lambda (dx)={\int }_{E}f(x)d\lambda (x)$
• ${\int }_{E}f(y)\lambda (dy)={\int }_{E}f(y)d\lambda (y)$

와 같이 표현하기도 한다. 이러한 표현은 때때로 유용하다. 예를들어

• ${\int }_{(0,1)}{x}^y\lambda (dx)={\int }_{(0,1)}{x}^{y}d\lambda (x)$ 는 함수 $x\mapsto x^y$ 에 대한 적분을
• ${\int }_{(0,1)}{x}^y\lambda (dy)={\int }_{(0,1)}{x}^{y}d\lambda (y)$ 는 함수 $y\mapsto x^y$ 에 대한 적분을

의미한다. (Makarov and Podkorytov 2013, p 125), (Durrett 2019, p 32, p 38)

Makarov, Boris, and Anatolii Podkorytov. 2013. Real Analysis: Measures, Integrals and Applications. Springer Science & Business Media.

- $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mu )$ 가 $(\mathbb{R},\mathcal{R},{\mu }_X)$ 이고 $F_X={\mu }_X((-\mathrm{\infty },x])$ 라면

• $\int gd{\mu }_X=\int gd{F}_X=\int g(x)d{F}_X(x)$

와 같이 사용할 수 있다. 만약에 $F_X(x)$가 density function $f_X(x)$를 가진다면

• $\int g(x)d{F}_X(x)=\int g(x)f_X(x)dx$

와 같이 사용할 수 있다. 표현 $\int g(x)d{F}_X(x)$ 와 $\int g(x)f_X(x)dx$ 는 모두 $\mathbb{E}[g(X)]$ 를 의미하지만 $\int g(x)d{F}_X(x)$는 확률변수 $X$의 density가 존재하지 않을 때에도 표현가능하다는 장점이 있다. (Durrett 2019, p 23)

- $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mu )$ 에서

1. $\mathrm{\Omega }$: a countable set
2. $\mathcal{F}$: $2^{\mathrm{\Omega }}$
3. $\mathrm{\#}$: counting measure

라고 하자. 그러면

• $\int fd\mathrm{\#}=\sum _{i\in \mathrm{\Omega }}f(i)$

이 성립한다. (Durrett 2019, p 23)

Durrett, Rick. 2019. Probability: Theory and Examples. Vol. 49. Cambridge university press.

- 예시1: $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},\mathrm{\#})$ 를 고려하자. 여기에서 $\mathrm{\#}$는 counting measure 이다. 그렇다면

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}1/2^n=\int 1/2^{n}d\mathrm{\#}$$

와 같이 표현할 수 있다. 이는 이전에 수행하였던 르벡적분이

1. 치역을 쪼갠다.
2. 쪼개진 치역에 대한 정의역의 길이를 측정한다.
3. 1과 2를 곱한뒤 모두 더한다

의 과정을 수행한다는 사실을 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다.

- 가장 중요한 응용: $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mu )$가 확률공간일 경우!

시벤코정리

- ref: Approximation by Superpositions of a Sigmoidal Function (Cybenko 1989)

Cybenko, George. 1989. “Approximation by Superpositions of a Sigmoidal Function.” Mathematics of Control, Signals and Systems 2 (4): 303–14.

- meaure, measurable function, ${\int }_{E}f(x)d\mu (x)$ 의 표현이 등장

- 임의의 연속함수 $f$를 sigmoidal function의 가중합으로 근사가능하다는 의미