11wk: 적분 (1)

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-wE3YLAgBkDd80KhdCztqy4

약속

기호에 대한 암묵적 약속

- 르벡메져: 르벡메져는 지금까지 $m$으로 표현 $\Rightarrow$ 앞으로는 $\lambda$로 표현.

- 메져: $\mu ,\nu$ 등으로 표현.

- 분포, 분포함수, 밀도함수: 확률공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$에서 정의된 확률변수 $X$에 대응하는 분포는 ${\mu }_X$, 그에 대응하는 분포함수는 $F_X$, 그에 대응하는 밀도함수는 $f_X$라고 표현.

- 일반적인 교재의 표기법

• 르벡메져: $\mu$, $\lambda$, $m$
• 메져: $\mu$, $\nu$, $m$
• 분포: $\mu$
• 분포함수: $F$, $F_X$
• 밀도함수: $f$, $f_X$

- 잴 수 있는 함수의 표현 (아래는 모두 같은말)

• 두 개의 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$, $(S,\mathcal{S})$을 고려하자. 함수 $f:\mathrm{\Omega }\to S$는 $\mathrm{\forall }B\in \mathcal{S}:\{\omega :f(\omega )\in B\}\in \mathcal{F}$ 을 만족한다.
• 두 개의 가측공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$, $(S,\mathcal{S})$을 고려하자. $f:\mathrm{\Omega }\to S$는 잴 수 있는 함수이다.
• $f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (S,\mathcal{S})$
• $f$는 $\mathcal{F}-\mathcal{S}$ measurable 하다.
• $f\in \mathcal{F}$, 이 표기법은 $(S,\mathcal{S})=(\mathbb{R},\mathcal{R})$일 경우에 한정하여 사용할 수 있음.
• $f$는 $S$-valued measurable map

확장된 실수공간

- 교재에 따라서 확장된 실수공간 $\overline{\mathbb{R}}$를 고려하기도 한다. (Durrett 2019, p 14)

$$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\infty }\}$$

- 또한 확장된 실수공간에 대응하는 보렐셋을 정의하기도 한다.

$$\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})=\overline{\mathcal{R}}$$

- $\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }$는 실수가 아니다. 따라서 $x\in \mathbb{R}$ 인 경우는 $x$를 real-valued 라고 표현하지만 $x\in \overline{\mathbb{R}}$ 인 경우는 $x$를 $\overline{\mathbb{R}}$-valued 라고 표현한다.

로드맵

- 목표: 밀도함수에 대한 소개

- 로드맵: (적분, 칸토어집합) $\to$ 밀도함수

예비학습

$({\mathbb{R}}^d,{\mathcal{R}}^d)$

- 정의: 두개의 집합 $A$, $B$가 있을때 두집합의 곱집합 (cartesian product) $A\times B$를 아래와 같이 정의한다.

$$A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}$$

- 정의: 수직선상의 두 열린구간 $(a_1,b_1)$, $(a_2,b_2)$ 의 곱집합

$$(\mathit{a},\mathit{b})=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathbf{\times }}}(a_i,b_i)=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)$$

을 open rantangle 이라고 한다. 비슷한 논리전개로 $(\mathit{a},\mathit{b}],[\mathit{a},\mathit{b}),[\mathit{a},\mathit{b}]$ 역시 정의할 수 있다.

- 이론: 아래와 같은 집합들의 모임 $\mathcal{A}$를 생각하자.

$$\mathcal{A}=\{(\mathit{a},\mathit{b}]:\mathit{a}<\mathit{b},\mathit{a},\mathit{b}\in {\mathbb{R}}^2\}$$

여기에서 $\mathit{a}<\mathit{b}$는 “$a_1<b_1$ and $a_2<b_2$” 를 의미한다.

1. 시그마필드 $\sigma (\mathcal{A})$는 잘 정의된다. (귀찮아서 만든 이론1)
2. $\sigma (\mathcal{A})$은 $\mathcal{R}$의 2차원버전이라 해석할 수 있다.
3. 이러한 의미에서 ${\mathcal{R}}^2=\sigma (\mathcal{A})$라는 기호를 쓰기도 한다.
4. $({\mathbb{R}}^2,{\mathcal{R}}^2)$ 는 잴 수 있는 공간이다.
5. 함수 $\tilde{\lambda }:\mathcal{A}\to [0,\mathrm{\infty }]$를 아래와 같이 정의하자. 카라테오도리의 확장정리에 의하여 $\tilde{\lambda }$는 $({\mathbb{R}}^2,{\mathcal{R}}^2)$ 에서의 메져가 된다. $$\tilde{\lambda }((\mathit{a},\mathit{b}])=\prod _{i=1}^2(b_i-a_i)$$
6. 08주차에 정리된 모든 ${\mathcal{A}}_i$에 대하여, $\sigma ({\mathcal{A}}_i)={\mathcal{R}}^2$ 을 만족한다.

- 체크: $({\mathbb{R}}^2,{\mathcal{R}}^2)$ 와 동일한 논리전개가 $({\mathbb{R}}^d,{\mathcal{R}}^d)$ 에서도 성립한다.

sup, inf

- 집합 $A=\{1,2,3\}$에 대하여 아래의 표현을 살펴보자.

• $maxA=3$
• $minA=1$

- 집합 $A=[0,2]$에 대하여 아래의 표현을 살펴보자.

• $maxA=2$
• $minA=0$

- 집합 $A=(0,2)$라면?

• $maxA=???$¹
• $minA=???$²
• $supA=2$
• $infA=0$

¹ 2라고 하고싶은데 2라고 할 수 없다. (즉 정의할 수 없다.)

² 0이라 하고싶은데 0이라고 할 수 없다. (즉 정의할 수 없다.)

- 가짜정의: 어떠한 집합 $A$가 있다고 할떄 $supA$와 $infA$는 각각 $maxA$와 $minA$의 개념을 좀 더 업그레이드 한것이다. $maxA$는 $A$의 원소중 최대값을 의미하는데 이러한 $max$의 정의는 구간 $[0,2)$의 최대값은 $2$라고 주장할 수 없어 쓰기에 불편할 때가 있다. $min$ 역시 마찬가지의 불편함이 있다. 이를 보완하기 위해 등장한 개념이 $sup$과 $inf$이다.

- 트릭: 증가하는 수열 $a_n$의 경우 $sup\{a_n\}$은 수열 $\{a_n\}$의 극한을 의미하기도 한다. 반대로 감소하는 수열 $\{a_n\}$의 경우 $inf\{a_n\}$이 $\{a_n\}$의 극한을 의미하기도 한다.

잘못된 사용

1. 집합들의 집합에서 $inf,sup$의 잘못된 사용: 부등호 $<$를 $\subset$으로 해석

• 예시1: $inf\{(-\frac{1}{n},0]:n\in \mathbb{N}\}=\{0\}$ // 틀린표현
• 예시2: $sup\{[0,1-\frac{1}{n}]:n\in \mathbb{N}\}=[0,1)$ // 틀린표현

2 함수들의 집합에서 $inf,sup$의 잘못된 사용: 부등호 $f<g$ 를 “$\mathrm{\forall }x:f(x)<g(x)$” 로 해석

• 예시1: $f(x)=x$ 일때, $sup\{f_n:f_n(x)=x-\frac{1}{n},n\in \mathbb{n}\}=f$ // 틀린표현

잴 수 있는 함수들

- 이론: 두 개의 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$, $(\mathbb{R},\mathcal{R})$을 고려하자. $\mathcal{F}$-measurable 한 집합 $A$에 대하여³ 함수 $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$을 아래와 같이 정의한다고 하자.

³ $A\in \mathcal{F}$이라는 뜻

$$f(\omega )=\{\begin{array}{ll}1& \omega \in A\\ 0& \omega \notin A\end{array}$$

함수 $f$는 $\mathcal{F}-\mathcal{R}$ measurable function 이다.

(해설)

1. $B\in \mathcal{R}$를 고정하자.
2. 만약에 $\{1,0\}\not\subset B$ 이라면 $\{\omega :f(\omega )\in B\}=\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{F}$ 이다.
3. 만약에 $\{1\}\subset B,\{0\}\not\subset B$ 이라면 $B=\{1\}\cup (B-\{1\})$ 와 같이 분해한다.
4. $f$는 함수이므로 $f^{-1}(B)=f^{-1}(\{1\})\cup f^{-1}(B-\{1\})$를 만족한다.
5. $f^{-1}(\{1\})=A$이고 $f^{-1}(B-\{1\})=\mathrm{\varnothing }$ 이므로 $f^{-1}(B)=A\in \mathcal{F}$ 를 만족한다.
6. 3-5의 논의가 $\{0\}\subset B,\{1\}\not\subset B$ 에 대해서도 성립한다.
7. $\{0,1\}\subset B$ 인 경우에는 $f^{-1}(B)=\mathrm{\Omega }$가 되므로 $f^{-1}(B)\in \mathcal{F}$ 를 만족한다.
8. 1-7의 논의가 임의의 $B$에 대하여 모두 성립하므로 $\mathrm{\forall }B\in \mathcal{R}:f^{-1}(B)\in \mathcal{F}$ 이다.
9. 따라서 $f$는 $\mathcal{F}-\mathcal{R}$ measurable function 이다.

- 이론: 두 개의 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$, $(\mathbb{R},\mathcal{R})$을 고려하자. 함수 $f$가 $\mathbb{R}$-valued measurable function 이라면 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대하여 함수

$$g(\omega )=\alpha f(\omega )$$

역시 $\mathbb{R}$-valued measurable function 이다.

(해설)

1. $\alpha =0$ 이라면, 자명하게 성립. 따라서 $\alpha \ne 0$ 일 경우만 증명하면 된다.
2. $B\in \mathcal{R}$를 고정하자.
3. $g^{-1}(B)=f^{-1}(\frac{1}{\alpha }B)$ 가 성립한다. 여기에서 $\frac{1}{\alpha }B=:\{x:x=\frac{y}{\alpha },y\in B\}$.
4. $f$는 $\mathbb{R}$-valued measurable map 이므로 $f^{-1}(\frac{1}{\alpha }B)\in \mathcal{F}$.
5. 임의의 $B$에 대하여 2-4의 논의가 성립하므로 $g$ 역시 $\mathcal{F}-\mathcal{R}$ measurable 이다.

- Thm (Durrett 2019, Thm 1.3.2): 세 개의 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$, $(S,\mathcal{S})$, $(T,\mathcal{T})$를 고려하자. $f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (S,\mathcal{S})$ 이고 $g:(S,\mathcal{S})\to (T,\mathcal{T})$ 이면 $g\circ f:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (T,\mathcal{T})$ 이다.

- 이론: 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 연속함수라면 $f:(\mathbb{R},\mathcal{R})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$ 이다.

(해설) – 연속함수의 정의 + (Durrett 2019, Thm 1.3.1) 를 알면 이해하기 쉬운데…

- 이론: 두 개의 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$, $(\mathbb{R},\mathcal{R})$을 고려하자. 함수 $f,g$가 $\mathbb{R}$-valued measurable function 이라고 하자. 아래는 모두 $\mathbb{R}$-valued measurable function 이다.

1. $h:=f+g$
2. $h:=f-g$
3. $h:=max(f,g)$, where $h:\omega \mapsto max(f(\omega ),g(\omega ))$
4. $h:=min(f,g)$, where $h:\omega \mapsto min(f(\omega ),g(\omega ))$

- 이론 (Durrett 2019, Thm 1.3.5): 두 개의 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$, $(\mathbb{R},\mathcal{R})$을 고려하자. 함수열 $\{f_n:n\in \mathbb{N}\}$의 모든 원소가 $\mathbb{R}$-valued measurable function 이라고 하자. 그렇다면 아래는 모두 $\mathcal{F}-\mathcal{R}$ measurable 한 함수이다.

Durrett, Rick. 2019. Probability: Theory and Examples. Vol. 49. Cambridge university press.

• $h:=inf{f}_n$, where $h:\omega \mapsto inf\{f_1(\omega ),f_2(\omega ),\dots \}$
• $h:=sup{f}_n$, where $h:\omega \mapsto sup\{f_1(\omega ),f_2(\omega ),\dots \}$

적분 intro

르벡적분 맛보기

- (예제1) – 사각형의 넓이

아래와 같은 함수의 밑면적을 계산해보자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x\le 1\\ 0& o.w.\end{array}$$

답은 1이다. 이것을 적분을 이용하여 구하는 과정을 서술해라.

(서술1)

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}dx=1$$

(서술2)

그런데 이 예제의 경우 구간 $[0,1]$에서 함수 $f(x)$의 값이 모두 $f(x)=1$로 같고 그 외의 구간에서는 모두 $f(x)=0$이므로 아래와 같이 수식을 쓰는 것도 가능하다.

$$\lambda ([0,1])\times 1=1$$

- (예제2) – 사각형의 넓이 (2)

이제 아래와 같은 함수의 밑면적을 고려하자.

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0<x<1\\ 0& o.w.\end{array}$$

이것을 적분을 이용하여 구하는 과정을 서술하고 기호를 살펴보자.

(틀린서술)

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x)dx={\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^{1}dx=1$$

– 틀린이유? ${\int }_0^1$은 폐구간 $[0,1]$를 의미함. 이러한 구간에서는 $g(x)$의 값이 일괄적으로 1이라고 주장할 수 없다.

(서술1)

구간 $[0,1]$에서 $g(x)$의 밑면적은 구간 $[0,1]$에서 $f(x)$의 밑면적과 같으므로 1이다.

(서술2)

이 예제의 경우 구간 $(0,1)$에서 함수 $g(x)$의 값이 모두 $g(x)=1$로 같고 그 외의 구간에서는 모두 $g(x)=0$이므로 아래와 같이 수식을 쓸 수 있다.

$$\lambda ((0,1))\times 1=1$$

- (예제3) – 사각형의 넓이 (3)

이제 아래와 같은 함수 $f(x)$에 대한 밑면적을 계산하고 싶다고 생각해보자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0<x<1/2\\ 2& 1/2\le x<1\\ \frac{1}{3}& 1<x<3\\ 0& o.w\end{array}$$

예제1,2에서 소개한 서술1,2에 근거하여 $f$의 밑면적을 구하는 방법을 논의하라.

(서술1)

$f$의 밑면적 $S$를 적분으로 나타내면

$$S={\int }_0^{\frac{1}{2}}dx+{\int }_{\frac{1}{2}}^{1}2dx+{\int }_1^3\frac{1}{3}dx$$

사실 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 와 같은 형태는 일반적으로 함수가 $f$가 폐구간 $[a,b]$ 에서 정의된다고 가정하고 사용하므로 위의 기호는 정확하지 않다.

1. $x=\frac{1}{2},1,3$에 해당하는 영역은 중복혜서 계산된다.
2. $x=\frac{1}{2}$에 해당하는 영역은 함수값을 1로 보기도 하고 2로 보기도 한다.
3. $x=1$에 해당하는 영역은 함수값을 2로 보기도 하고 3으로 보기도 한다.
4. $x=0$에 해당하는 영역은 실제로는 함수값이 0이지만 계산상으로는 1로 생각한다.
5. $x=1$에 해당하는 영역은 실제로는 함수값이 0이지만 계산상으로는 2 혹은 $\frac{1}{3}$로 생각한다.
6. $x=3$에 해당하는 영역은 실제로는 함수값이 0이지만 계산상으로는 $\frac{1}{3}$로 생각한다.

하지만 이러한 사소한점을 무시해도 계산결과는 여전히 $S$이다.

(서술2)

함수 $f$의 면적 $S$는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$S=1\times \lambda (A_1)+2\times \lambda (A_2)+\frac{1}{3}\lambda (A_3)$$

단, 여기에서 $A_1=(0,\frac{1}{2}),A_2=[\frac{1}{2},1),A_3=(1,3)$ 이다.

(소감)

르벡메져를 이용하여 넓이를 정의하니까 애매한 점 없이 매우 깔끔하다. 단지 $A_1,A_2,A_3$이 르벡측도로 잴 수 있는 집합이어야 하므로 $A_1,A_2,A_3\in \mathcal{R}$ 정도만 체크해주면 될 것 같다.

- (예제4) – 리만적분 vs 르벡적분

이제 아래와 같은 함수 $f$의 밑면적을 계산하는 방식을 고려하여 보자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in [0,1]\cap \mathbb{Q}\\ 2& x\in [0,1]\cap {\mathbb{Q}}^c\\ 0& o.w.\end{array}$$

(서술1) – 리만적분

적분이 불가능하다. 그 이유를 엄밀하지 않게 서술하면 아래와 같다.

1. 우리가 알고 있는 “적분”이라는 것은 본래 $x$축을 잘게 쪼개서 아주 작은 구간을 만든뒤에 그 구간에서 $f(x)$의 값들이 비슷함을 이용하여 $f(x)$의 밑면적을 사각형넓이들의 합으로 근사시키는 방식이다.
2. 이것은 아주 작은 구간에서는 $f(x)$의 값이 다른값을 가져봤자 그 차이는 미미하고 그래서 거의 상수처럼 생각할 수 있다는 직관을 이용하는 것이다.
3. 일반적인 함수는 구간의 크기를 작게 만들수록 $f(x)$의 값은 점점 상수화되고 그 결과 사각형들의 합으로 근사된 넓이는 함수 $f$의 밑면적으로 수렴한다.
4. 그런데 이 예제의 경우 아무리 작은 구간을 잡아도 그 사이에는 수많은 유리수와 수많은 무리수가 있으므로 함수값 $f(x)$은 안정화 되지 않으며 1과 2사이를 “널뛴다.”
5. 따라서 적분값은 안정화되지 않는다.

구간에서의 $f(x)$의 대표값을 양 끝점중 하나로 설정한다고 하자. 만약 구간의 양끝점을 유리수로만 설정하면 넓이는 1로 계산되고, 무리수로만 설정하면넓이는 2로 계산될 것이다.

(서술2) – 르벡적분

함수 $f$의 면적 $S$는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$S=1\times \lambda (A_1)+2\times \lambda (A_2)$$

단, 여기에서 $A_1=[0,1]\cap \mathbb{Q},A_2=[0,1]\cap {\mathbb{Q}}^c$ 이다. 집합 $A_1,A_2$ 는 모두 $\mathcal{R}$-measurable 하므로 $\lambda (A_1),\lambda (A_2)$의 값이 각각 0과 1로 잘 정의된다. 따라서 $S=2$로 계산할 수 있다.

그림을 통한 이해

- 느낌: 리만적분은 정의역을 잘게 쪼개는 느낌이지만, 르벡적분은 치역을 잘게 쪼개는 느낌이다. (리만적분을 밑넓이를 세로나누어 계산하고, 르벡적분은 가로로 나누어 계산한다.)

위키에서 긁은 그림: 왼쪽이 리만적분, 오른쪽이 르벡적분

위키에서 긁은 그림: 위쪽이 리만적분, 아래가 르벡적분

$dx$ 대신 $d\lambda$를

- 리만적분($dx$)과 르벡적분($d\lambda$)를 연결하여 보자.

- 참고: 아래와 같은 함수 $f(x)$를 고려하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\alpha & x\in [0,1]\\ o.w\end{array}$$

그리고 $\lambda$를 르벡메져라고 하자. 아래는 모두 같은 표현이다.

1. ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$
2. ${\int }_0^{1}f(x)dx$
3. ${\int }_0^1\alpha dx$
4. $\alpha {\int }_0^{1}dx$
5. $\alpha \lambda (A)$
6. $\alpha {\int }_{A}d\lambda$
7. ${\int }_A\alpha d\lambda$
8. ${\int }_{A}fd\lambda$
9. $\int fd\lambda$

$d\lambda$ 대신 $d\mu$를

- 위의 표현들에서 $d\lambda$와 같은 표현은 르벡메져가 아닌 일반적인 메져에서도 표현가능하다. 만약 가측공간 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$에 아래와 같은 메져 $\nu$가 존재한다고 하자.

$$\nu =2\lambda$$

여기에서 $\lambda$는 르벡메져이다. 그렇다면, 임의의 $A\in \mathcal{R}$에 대하여 아래가 성립한다.

$${\int }_{A}d\nu =2{\int }_{A}d\lambda$$

모든 곳에서, 거의 모든 곳에서

- 르벡측도 0인 곳을 제외하고는 어떠한 명제가 성립할때 거의 모든 곳에서 라는 수식어를 붙인다. 영어로는 almost everywhere 라고 하며 기호로는 a.e. 라고 표현한다.

- 예시1: 아래와 같은 함수 $f$를 고려하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

이 함수는 거의 모든 곳에서 0이다.

기호로는 $f\stackrel{a.e.}{=}0$ 혹은 $f\stackrel{a.e.}{=}0$ w.r.t. $\lambda$ 와 같이 표현한다.

- 예시2: 아래와 같은 함수 $f,g$를 고려하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}2& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

함수 $f$와 $g$는 거의 모든 곳에서 같다.

기호로는 $f\stackrel{a.e.}{=}g$ 혹은 $f\stackrel{a.e.}{=}g$ w.r.t. $\lambda$ 와 같이 표현한다.

- 예시3: 아래와 같은 함수 $f,g$를 고려하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\in \mathbb{Q}\\ 1& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

함수 $f$는 거의 모든 곳에서 양수이다.

기호로는 $f\stackrel{a.e.}{>}0$ 혹은 $f\stackrel{a.e.}{>}g$ w.r.t. $\lambda$ 와 같이 표현한다.

- 예시4: 아래와 같은 함수 $f,g$를 고려하자.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\in \mathbb{Q}\\ 1& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\in \mathbb{Q}\\ 2& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

함수 $f$는 거의 모든 곳에서 $g$보다 작다.

기호로는 $f\stackrel{a.e.}{<}g$ 혹은 $f\stackrel{a.e.}{<}g$ w.r.t. $\lambda$ 와 같이 표현한다.

- 예시4: 만약에 아래와 같은 함수 $f,g$가 있다면

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$$

함수 $f$와 $g$는 모든 곳에서 같다라고 할 수 있겠다. (보통 그냥 같다라고 하죠..)