07wk: 측도론 (3)

Author

최규빈

Published

April 18, 2023

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-yQ5IXoRW0pW0Gyd8MnRwaW

예비학습

헷갈리는 표현: $\infty$ 의 포함

- 자연수집합 $N$ 은 ${\infty}$ 를 포함하지 않는다. 마찬가지로 실수집합 $R$ 역시 ${- \infty}, {\infty}$ 를 포함하지 않는다. 만약에 이를 포함하고 싶을 경우는 아래와 같이 표현한다.

$R \cup {- \infty} \cup {\infty} = \bar{R}$
$N \cup {- \infty}$

여기에서 $\bar{R}$ 은 확장된 실수라고 부르는데 교재에따라 사용하기도 하고 사용하지 않기도 한다.

- 만약에 $N$ 이 ${\infty}$ 를 포함한다면

$\forall n \in N : 0 < \frac{1}{n} \leq 1$

와 같은 표현은 불가능할 것이다.

- 구간에 대한 표현들: 구간에 대한 몇가지 표현을 정리하면 아래와 같다.

$(- \infty, b] = {x : x \leq b, x, b \in R}$
$(- \infty, b) = {x : x < b, x, b \in R}$

- 구긴에 대한 표현 응용: 아래와 같은 표현을 고려하자. (교재의 예제 1.1.8과 비슷한 표현)

$A = {(a, b] : - \infty \leq a < b \leq \infty}$

$A$ 의 원소의 형태는

${x : a < x \leq b, a, x, b \in R}$
${x : a < x, a, x \in R}$
${x : x \leq b, x, b \in R}$
${x : x \in R}$

이다.

약간 무식하게 생각하면 $[- \infty, b) = (- \infty, b)$ 로 해석하면 된다. 즉 ${- \infty} \notin [- \infty, b)$ 이라는 의미! 보는것 처럼 $[- \infty, b)$ 와 같은 표현은 엄청난 혼란을 불러오는 표현이므로 사용을 자제한다.

메져의 종류와 성질

- 메져의 종류와 성질 요약

분류	$m (\emptyset) = 0$	$σ$ -add	$A_{i} ↑ Ω$ , $m (A_{i}) < \infty$	$m (Ω) < \infty$	$m (Ω) = 1$	$.$	monotone	$σ$ -subadd	conti-below	conti-above
msr	$O$	$O$	$X$	$X$	$X$	$.$	$O$	$O$	$O$	$Δ$
$σ$ -finite-msr	$O$	$O$	$O$	$X$	$X$	$.$	$O$	$O$	$O$	$Δ$
finite-msr	$O$	$O$	$O$	$O$	$X$	$.$	$O$	$O$	$O$	$O$
prob-msr	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$.$	$O$	$O$	$O$	$O$

- 용어들

$σ$ -additive: $m (⊎_{i = 1}^{\infty} B_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} m (B_{i})$
monotone: $A \subset B \Rightarrow m (A) \subset m (B)$
$σ$ -subadditive: $m (\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{\infty} m (A_{i})$
continuous from below: $A_{i} ↑ A$ $\Rightarrow$ $m (lim_{n \to \infty} A_{i}) = lim_{n \to \infty} m (A_{i})$
continuous from above: (1) $A_{i} ↓ A$ and (2) $m (A_{1}) < \infty$ $\Rightarrow$ $m (lim_{n \to \infty} A_{i}) = lim_{n \to \infty} m (A_{i})$

- 교재의 언급 (p2. Thm 1.1.1)

- $σ$ -finite msr 에 대한 동치조건: $m$ 이 $(Ω, F)$ 에서의 msr이라면, 아래는 동치이다. (ref: https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-finite_measure)

언어버전

The set $Ω$ can be covered with at most countably many measurable sets with finite measure.
The set $Ω$ can be covered with at most countably many measurable disjoint sets with finite measure.
The set $Ω$ can be covered with monotone sequence of measurable sets with finite measure.

수식버전

There are sets $A_{1}, A_{2}, \dots \in A$ with $m (A_{i}) < \infty$ such that $\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i} = Ω$
There are sets $B_{1}, B_{2}, \dots \in A$ with $m (B_{i}) < \infty$ and $B_{1}, B_{2} \dots$ are disjoints such that $⊎_{i = 1}^{\infty} B_{i} = Ω$
There are sets $C_{1}, C_{2}, \dots \in A$ with $m (C_{i}) < \infty$ and $C_1 C_2 $ such that $\cup_{i = 1}^{\infty} C_{i} = Ω$

파이시스템에서의 확장이론 (메져버전)

복습 & Motivating EX

- 귀찮아서 만든 이론2: 운이 좋다면, $A$ 에서 확률의 공리를 만족하는 적당한 함수 $\tilde{P} : A \to [0, 1]$ 를 $(Ω, σ (A))$ 에서의 확률측도 $P$ 로 업그레이드 할 수 있으며 업그레이드 결과는 유일하다.

- 이론: $(Ω, σ (A), P)$ 를 확률공간이라고 하자. 여기에서 $A$ 는 파이시스템이라고 가정하자. 그렇다면 확률측도 $P : σ (A) \to [0, 1]$ 의 값은 $P : A \to [0, 1]$ 의 값에 의하여 유일하게 결정된다.

- 이 이론은 확률측도일 경우만 성립하고 측도일 경우는 실패했었다.

(예제1) – 통계학과라서 행복했던 예제

$Ω = {a, b}$ 이라고 하고 $A = {{a}}$ 라고 하자. 가측공간 $(Ω, σ (A))$ 에서 정의가능한 모든 확률측도 $P$ 는 $A$ 에서의 값으로 유일하게 결정됨을 확인하였다. 하지만 가측공간 $(Ω, σ (A))$ 에서 정의가능한 측도 $m$ 은 $A$ 에서의 값으로 유일하게 결정되지 않는다.

	$m_{1}$	$m_{2}$
${a}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$-$	$-$	$-$
$\emptyset$	$0$	$0$
${b}$	$\frac{1}{2}$	$1$
$Ω$	$1$	$\frac{3}{2}$

- 직관: 그냥 $A$ 에 $Ω$ 가 있었다면 되는거 아닌가? 예를들어 아래와 같이 설정한다면?

	$m_{1}$	$m_{2}$
${a}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$Ω$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$
$-$	$-$	$-$
$\emptyset$	$0$	$0$
${b}$	$1$	$1$

$m_{1} ({b}) = m_{2} ({b}) = 1$ 일 수밖에 없지 않을까?

- 혹시 아래와 같이 이론을 수정하면 되지 않을까?

$(Ω, σ (A))$ 을 잴 수 있는 공간이라고 하고, $m$ 을 이 공간에서의 메져라고 하자. 만약에 $A$ 가 “전체집합을 포함하는 파이시스템” 이라면 메져 $m : σ (A) \to [0, 1]$ 의 값은 $m : A \to [0, 1]$ 의 값에 의하여 유일하게 결정된다. (거의 맞는데 한 조건이 빠져서 틀렸음)

(예제2)

$Ω = {a, b, c}$ 이라고 하고 $A = {{a}, Ω}$ 라고 하자. 여기에서 $A$ 는 “ $Ω$ 가 포함된 파이시스템”이다. 가측공간 $(Ω, σ (A))$ 에서 정의가능한측도 $m$ 은 $A$ 에서의 값으로 유일하게 결정될까?

(풀이) 아래의 반례가 존재함.

	$m_{1}$	$m_{2}$
${a}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$Ω$	$\infty$	$\infty$
$-$	$-$	$-$
$\emptyset$	$0$	$0$
${b}$	$1$	$\infty$
${c}$	$\infty$	$5$
${a, b}$	$\frac{3}{2}$	$\infty$
${a, c}$	$\infty$	$\frac{11}{2}$
${b, c}$	$\infty$	$\infty$

- 이론: $(Ω, σ (A))$ 을 잴 수 있는 공간이라고 하고, $m$ 을 이 공간에서의 유한측도라고 하자. 그리고 $A$ 는 전제집합을 포함하는 파이시스템이라고 하자. 그렇다면 메져 $m : σ (A) \to [0, M]$ 의 값은 $m : A \to [0, M]$ 의 값에 의하여 유일하게 결정된다. (단, $M = m (Ω) < \infty$ )

(예제3) – $A$ 가 $Ω$ 를 포함하지 않는데, 메져가 유일하게 결정될 것 같은 예제

$Ω = Z$ 이라고 하자. $Ω$ 의 부분집합들로 이루어진 수열 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 를 아래와 같이 정의하자.

$A_{1} = [- \frac{1}{2}, \frac{2}{2}] \cap Z = {0, 1}$
$A_{2} = [- \frac{2}{2}, \frac{3}{2}] \cap Z = {- 1, 0, 1}$
$A_{3} = [- \frac{3}{2}, \frac{4}{2}] \cap Z = {- 1, 0, 1, 2}$
$A_{4} = [- \frac{4}{2}, \frac{5}{2}] \cap Z = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$
$A_{5} = [- \frac{5}{2}, \frac{6}{2}] \cap Z = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$
$\dots$

관심있는 집합들의 모임은 $A = {A_{n} : n \in N}$ 로 정의하자. 가측공간 $(Ω, σ (A))$ 에서 정의가능한 측도 $m$ 은 $A$ 의 값으로 유일하게 결정될까?

(관찰)

풀이에 앞서서 아래의 사실을 관찰해보자.

$A$ 는 파이시스템이다.
집합열 $A_{n}$ 의 극한은 $Ω$ 이다. 집합열 $A_{n}$ 은 증가하는 수열이므로 이 경우 $A_{n} ↑ Ω$ 라고 표현할 수 있다.
모든 $A_{n}$ 이 $A$ 의 멤버라고 했으나 $A_{n}$ 의 극한 $Ω$ 가 $A$ 의 멤버라고 한 적은 없다. 따라서 $A$ 는 전체집합을 포함하지는 않는 파이시스템이다.

(풀이)

가측공간 $(Ω, σ (A))$ 에서 정의가능한 측도 $m$ 은 $A$ 의 값으로 유일하게 결정하는 것이 가능할 것 같다. (실제로 가능해) 왜냐하면

$m (A_{1}), m (A_{2}), m (A_{3}) \dots$ 의 값이 결정 $\Rightarrow$ $m ({0, 1})$ , $m ({- 1})$ , $m ({2})$ , $\dots$ 의 값이 결정

이므로, 0과 1을 제외한 $Z$ 의 모든 원소의 길이가 유일하게 결정되니까.

생각의 시간

아래의 이론을 다시 관찰하자.

이론: $(Ω, σ (A))$ 을 잴 수 있는 공간이라고 하고, $m$ 을 이 공간에서의 유한측도라고 하자. 그리고 $A$ 는 전제집합을 포함하는 파이시스템이라고 하자. 그렇다면 메져 $m : σ (A) \to [0, M]$ 의 값은 $m : A \to [0, M]$ 의 값에 의하여 유일하게 결정된다. (단, $M = m (Ω) < \infty$ )

(의문1)

$A$ 가 꼭 전체집합을 포함할 필요는 없어보인다. 즉 조건 $Ω \in A$ 는 굳이 필요 없어보인다. 이 조건은 더 약한 아래의 조건으로 대치가능하다.

$\exists A_{1}, A_{2}, \dots \in A$ such that $A_{i} ↑ Ω$

만약에 $Ω \in A$ 인 경우는 $A_{1} = Ω$ 로 잡으면 위 조건이 그냥 성립한다. 따라서 위의 조건은 $Ω \in A$ 보다 약한 조건이다. 그리고 심지어 위의 조건은 다시 아래의 더 약한 조건으로 바꿀 수 있다.

$\exists A_{1}, A_{2}, \dots \in A$ such that $\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i} = Ω$

(의문2)

심지어 $m (Ω) = \infty$ 이어도 상관없다.¹ 이 예제에서

¹ 그리고 애초에 $Ω \notin A$ 이므로, $A$ 에서는 $m (Ω)$ 의 값도 정의하지 않음.

$m ({0, 1}) = 2$
$m ({- 1}) = 1$
$m ({2}) = 1$
$\dots$

이라고 하면 $m$ 은 잴 수 있는 공간 $(Ω, σ (A))$ 에서의 카운팅메져가 되고, 그 $m$ 은 $A \in A$ 에서의 값으로 유일하게 결정된다. 문제가 생길만한 것은

$m ({0, 1}) = 2$
$m ({- 1}) = 1$
$m ({2}) = \infty$ <– 이러면 곤란
$\dots$

와 같은 경우이므로, 이 경우만 제약하면 된다. 즉 $m$ 이 시그마유한측도라고 제한하면 될 것 같다.

state

- Thm: $(Ω, σ (A), m)$ 을 시그마유한측도공간( $σ$ -finite measure space)이라고 하자. $A$ 은 아래를 만족하는 파이시스템이라고 하자.

$\exists A_{1}, A_{2}, \dots \in A$ such that $\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i} = Ω$
$\forall i \in N : m (A_{i}) < \infty$

그렇다면 메져 $m : σ (A) \to [0, \infty]$ 의 값은 $m : A \to [0, \infty]$ 의 값에 의하여 유일하게 결정된다.

조건 1,2는 결국 $m$ 을 시그마유한측도로 만들어주는 그 집합열이 $σ (A) - A$ 가 아니라 $A$ 에 있어야 한다는 의미임.

증명

- 노트: supp_7wk.pdf

- 교재의 증명: 교재의 증명은 좀 더 강한 조건에서 했음. (“ $A_{1}, A_{2}, \dots, A$ with $m (A_{i}) < \infty$ such that $A_{i} ↑ Ω$ ” 를 가정함.)

카라데오도리 확장정리

- 귀찮아서 만든 이론2: 운이 좋다면, $A$ 에서 확률비슷한 적당한 함수 $\tilde{P} : A \to [0, 1]$ 를 잘 정의한다면, 이 함수 $\tilde{P}$ 는 $(Ω, σ (A))$ 에서의 확률측도 $P$ 로 업그레이드 할 수 있으며 업그레이드 결과는 유일하다.

state

- Thm: $A$ 가 $Ω$ 에 대한 semiring이라고 하자. 함수 $\tilde{m} : A \to [0, \infty]$ 가

$\tilde{m} (\emptyset) = 0$
$\tilde{m} (⊎_{i = 1}^{n} B_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \tilde{m} (B_{i})$
$\tilde{m} (\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \tilde{m} (A_{i})$
$\exists A_{1}, A_{2} \dots \in A$ with $m (A_{i}) < \infty$ such that $\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i} = Ω$

를 만족한다면 $\tilde{m}$ 은 $(Ω, σ (A)$ 에서의 측도 $m$ 으로 업그레이드 가능하며, 이 업그레이드 결과는 유일하다.

이 결과를 ver1로 생각하자.

- 교재의 state (ver2, ver3)

ver1과의 비교: $A$ 가 알지브라라는 것은 세미링보다 훨씬 강한 조건이다. 또한 measure on an algebra $A$ 란 것은 1,2,3 조건을 다 합친것 보다 강한 조건이다. $σ$ -finite이라는 조건은 $A$ 의 차이를 제외하면 동일하다.

ver1과의 비교: $A$ 가 세미알지브라라는 조건은 세미링보다 강한 조건이다. (i), (ii)의 $A$ 의 차이만 있을 뿐 거의 동일하다. 4의 조건도 $A$ 의 차이를 제외하고는 동일하다.

예제: 3월28일 (4wk) 예제들

(예제1) – motivating EX

- $Ω = {1, 2, 3, 4}$ 이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모음은 아래와 같다.

$A = {\emptyset, {1}, {2}, {3, 4}, Ω}$

- 소망: 그래도 그냥 $A$ 에서만 확률 비슷한 함수 $\tilde{P}$ 를 잘 정의하면 $(Ω, σ (A))$ 에서의 확률측도로 업그레이드 가능하고 업그레이드 결과가 유일할까?

$\tilde{P} (\emptyset) = 0$
$\tilde{P} ({1}) = 1 / 4$
$\tilde{P} ({2}) = 1 / 2$
$\tilde{P} ({3, 4}) = 1 / 4$
$\tilde{P} (Ω) = 1$

- 조건체크

$A$ 는 세미알지브라(그러므로 세미링)이다.
$A$ 는 전체집합을 포함하고 있으며 $\tilde{P} (Ω) = 1$ 이다. $\Rightarrow$ 조건 (4)가 만족.
$\tilde{P}$ 는 (1) $\tilde{P} (\emptyset) = 0$ 이고 (2) add 를 만족하며 (3) $σ$ -subadd 를 만족한다.

참고: 이 예제의 경우 $| Ω | < \infty$ 이므로 $σ$ -subadd 는 subadd 와 같은 성질이다. 그리고 add 는 subadd를 imply 하므로 사실상 (2) 만 체크하면 끝난다.²

² (1)이랑 (4)는 너무 체크하기 쉬움

(예제2) – motivating EX (2)

- $Ω = {1, 2, 3, 4}$ 이라고 하고 $A = {\emptyset, {1}, {2}, {3, 4}, Ω}$ 라고 하자. 그리고 아래와 같은 $σ (A)$ 를 다시 상상하자.

$σ (A) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, Ω}$

- 위의 시그마필드에서 확률을 예제1과 다른 방식으로 정의할 수 도 있다. 예를들면 아래와 같은 방식으로 정의가능하다.

	$P_{1}$	${\tilde{P}}_{1}$
$\emptyset$	$0$	$0$
${1}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
${2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
${3, 4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$Ω$	$1$	$1$
$-$	$-$	$-$
${1, 2}$	$\frac{2}{3}$	None
${1, 3, 4}$	$\frac{2}{3}$	None
${2, 3, 4}$	$\frac{2}{3}$	None

또한 아래와 같은 방식도 가능하다.

	$P_{2}$	${\tilde{P}}_{2}$
$\emptyset$	$0$	$0$
${1}$	$0$	$0$
${2}$	$0$	$0$
${3, 4}$	$1$	$1$
$Ω$	$1$	$1$
$-$	$-$	$-$
${1, 2}$	$0$	None
${1, 3, 4}$	$1$	None
${2, 3, 4}$	$1$	None

어떠한 방식으로 정의하든 $A$ 에서 확률 비슷한 것 ${\tilde{P}}_{1}, {\tilde{P}}_{2}$ 를 잘 정의하기만 $σ (A)$ 에서의 확률 $P$ 로 적절하게 확장할 수 있다. 심지어 이런 확장은 유일한 듯 하다.

- 당연함. 예제1과 동일하게 $\tilde{P_{1}}$ 과 $\tilde{P_{2}}$ 가 add 성질만 만족한다는 사실을 체크하면 끝난다.

(예제3) – 운이 안 좋은 경우

- $Ω = {1, 2, 3}$ 이라고 하고 $A = {\emptyset, {1, 2}, {2, 3}, Ω}$ 라고 하자.

- 아래와 같은 확률 비슷한 함수 $\tilde{P} : A \to [0, 1]$ 를 정의하자.

$\tilde{P} (\emptyset) = 0$
$\tilde{P} ({1, 2}) = 0$
$\tilde{P} ({2, 3}) = 0$
$\tilde{P} (Ω) = 1$

- 체크: 일단 $A$ 는 세미링이 아니다. 따라서 확장 불가능. 세미링이 맞다고 하여도 subadd가 성립하지 않는다.

(예제4) – 운이 안 좋은 경우

- $Ω = {1, 2, 3, 4}$ 이라고 하고 $A = {\emptyset, {1, 2}, {2, 3}, Ω}$ 라고 하자.

- 아래와 같은 확률 비슷한 함수 $\tilde{P} : A \to [0, 1]$ 를 정의하자.

$\tilde{P} (\emptyset) = 0$
$\tilde{P} ({1, 2}) = 1 / 2$
$\tilde{P} ({2, 3}) = 1 / 2$
$\tilde{P} (Ω) = 1$

- 체크: $\tilde{P}$ 는 괜찮게 정의되었다. (1)-(4)가 모두 성립한다. (위의 예제와는 다르게 subadd 역시 성립함!!) 하지만 $A$ 가 세미링이 아니어서 탈락.

강의영상

예비학습

헷갈리는 표현: ∞의 포함

메져의 종류와 성질

파이시스템에서의 확장이론 (메져버전)

복습 & Motivating EX

state

증명

카라데오도리 확장정리

state

예제: 3월28일 (4wk) 예제들

헷갈리는 표현: $\infty$ 의 포함