04wk: 측도론 intro (4)

강의영상

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지금까지의 스토리

- 지금까지의 이야기.

• $\mathrm{\Omega }$의 모든 부분집합에 대해서 확률을 “무모순”으로 정의하는게 엄청 쉬운일 인줄 알았는데,¹
• 사실은 그렇지가 않았다.² 확률을 정의하는건 매우 까다로운 일이었다.
• 이러한 까다로움을 해결하기 위해서 “르벡메져”라는 새로운 도구를 사용했다. 이 도구는 몇 가지 까다로운 집합에 대하여 확률을 무모순으로 정의할 수 있었다.
• 르벡메져는 구간 $[0,2\pi )$의 모든 유리수 집합의 길이와 구간 $[0,2\pi )$의 모든 무리수 집합의 길이를 다르게 정의하는 신기한 방식을 사용하는데, 이러한 방식을 납득하기 위한 최소한의 노력으로 “셀 수 있는 무한”과 “셀 수 없는 무한”의 개념을 공부했다.
• 하지만 르벡메져를 통해서도 $\mathrm{\Omega }$의 모든 부분집합에 대하여 길이를 잴 수 없는 집합³이 존재함이 밝혀졌다.
• 따라서 $\mathrm{\Omega }$의 모든 부분집합에 대해서 확률을 “무모순”으로 정의하는 일은 포기하였다.
• 대신에 $\mathrm{\Omega }$의 부분집합 중, 잴 수 있는 집합들에 대해서만 확률을 “무모순”으로 정의하는 일을 시도했다.
• 이 잴 수 있는 집합들의 모임을 시그마필드라 칭하고 기호로는 $\mathcal{F}$라고 정의하였다.

¹ 동전예제

² 바늘이 하나 있는 시계예제

³ 비탈리집합

- 이제 하고 싶은 것

시그마필드에서 확률을 정의하자! $\iff$ 시그마필드를 정의역으로 하는 “확률”이라는 이름의 함수를 정의하자.

확률측도 motivation

(예제1) – 시그마필드에서만 확률정의가능

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$ 라고 하고 $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{H\},\mathrm{\Omega }\}$ 이라고 하자. 아래와 같은 함수 $P$를 고려하고 이것을 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$
• $P(\{H\})=\frac{1}{2}$
• $P(\mathrm{\Omega })=1$

(해설1) $\mathcal{F}$는 시그마필드가 아니므로 이 위에서는 애초에 확률을 정의할 수 없음.

(해설2) 확률을 잘 정의하기 위해서는 우선 잘 정의된 “잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$” 가 필요하다.

(예제2) – 잘 정의된 확률

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$ 라고 하고 $\mathcal{F}=2^{\mathrm{\Omega }}$ 이다. 아래와 같은 함수 $P$를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$
• $P(\{H\})=\frac{1}{100}$
• $P(\{T\})=\frac{99}{100}$
• $P(\mathrm{\Omega })=1$

(해설) 합리적임.

(예제3) – 확률은 0보다 커야해.

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$ 라고 하고 $\mathcal{F}=2^{\mathrm{\Omega }}$ 이다. 아래와 같은 함수 $P$를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$
• $P(\{H\})=-\frac{1}{2}$
• $P(\{T\})=\frac{1}{2}$
• $P(\mathrm{\Omega })=1$

(해설) 확률은 음수가 나오면 안되므로 합리적이지 않음.

(예제4) – 전체확률은 1이어야 함.

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$ 라고 하고 $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$ 이다. 아래와 같은 함수 $P:\mathcal{F}\to [0,1]$를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$
• $P(\mathrm{\Omega })=0.5$

(해설) 전체확률은 1이어야 하므로 합리적이지 않음.

(예제5) – 공집합의 확률은 0이어야 함.

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$ 라고 하고 $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$ 이다. 아래와 같은 함수 $P:\mathcal{F}\to [0,1]$를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?

• $P(\mathrm{\varnothing })=0.5$
• $P(\mathrm{\Omega })=1$

(해설) 공집합의 확률은 0이어야 하므로 합리적이지 않음.

(예제6) – 서로소인 집합을 합친 확률, 여집합의 확률

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$ 라고 하고 $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{H\},\{T\},\mathrm{\Omega }\}$ 이다. 아래와 같은 함수 $P:\mathcal{F}\to [0,1]$를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$
• $P(\{H\})=1/3$
• $P(\{T\})=1/3$
• $P(\mathrm{\Omega })=1$

(해설1) 합리적이지 않음. 왜냐하면

• $P(\{H\}\cup \{T\})=P(\mathrm{\Omega })=1$
• $P(\{H\}\cup \{T\})=P(\{H\})+P(\{T\})=2/3$

이므로 모순임.

(해설2) 합리적이지 않음. 왜냐하면

• $P(\mathrm{\Omega }-\{H\})=P(\{T\})=1/3$
• $P(\mathrm{\Omega }-\{H\})=1-P(\{H\})=2/3$

이므로 모순임.

(예제7) – 포함관계에 있는 집합의 확률

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3\}$ 라고 하고

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\mathrm{\Omega }\}$$

라고 하자. 아래와 같은 함수 $P:\mathcal{F}\to [0,1]$를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$
• $P(\{1\})=1/4$
• $P(\{2\})=1/4$
• $P(\{3\})=2/4$
• $P(\{1,2\})=2/4$
• $P(\{1,3\})=3/4$
• $P(\{2,3\})=1/4$
• $P(\mathrm{\Omega })=1$

(해설1) 합리적이지 않음. 왜냐하면

• $P(\{2\}\cup \{3\})=P(\{2,3\})=1/4$
• $P(\{2\}\cup \{3\})=P(\{2\})+P(\{3\})=3/4$

이므로 모순임.

(해설2) 합리적이지 않음. 왜냐하면

• $\{3\}\subset \{2,3\}$
• $P(\{3\})\ge P(\{2,3\})$

이므로 $A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$ 가 성립하지 않음.

(기타등등 해설)

$P(\{2,3{\}}^c)$, $P(\{1\}\cup \{2,3\})$ 따위를 계산해도 모순임

생각의 시간

- 확률이라는 것을 구체적으로 정의하지는 않았지만 적어도 현재까지 파악한 직관에 의하면 아래와 같은 조건을 만족하는 함수라고 “일단은” 생각할 수 있다.

1. 확률 $P$는 시그마필드에서 정의되어야 한다. 따라서 확률이라는 말을 하기 전에 우선 “$\mathrm{\Omega }$에 대한 $\mathcal{F}$”를 정의하거나 “잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$”을 정의해야 한다.
2. 확률 $P$는 0보다 크고 1보다 작아야 한다.
3. 전체확률은 항상 1이어야 한다. 즉 $P(\mathrm{\Omega })=1$ 이어야 한다. // (이게 5번과 결합하면 공집합일 확률이 0이어야 한다는 것을 암시한다)
4. 서로소인 두 집합 $A,B$에 대하여 확률 $P(A\cup B)$는 $P(A)+P(B)$와 같이 계산 되어야 한다.
5. $P(A^c)=1-P(A)$ 가 성립해야 한다.
6. 포함관계에 있는 두 집합 $A\subset B$에 대하여 $P(A)\le P(B)$가 항상 성립해야 한다.

- 또한 아래와 같은 성질도 있어야 할 것 같다. (혹은 있었으면 좋겠다)

7. 서로소인 집합열 $B_1,B_2,\dots$ 에 대하여 $P({\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(B_i)$ 가 성립하면 좋겠다. (4번의 업그레이드 버전)
8. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 등을 포함한 기타 잡스러운 성질들도 모두 성립하면 좋겠다.

- 이제 우리가 따져봐야 할 것은 (1) 확률을 정의하기 위한 조건으로 1-8이면 충분한지 (혹시 더 많은 조건들이 필요한건 아닌지) (2) 위에서 리스팅한 조건들이 꼭 모두 다 필요한지? (예를 들면 한 두개의 조건이 다른조건을 암시하는건 아닌지) 이다.

- 결론적으로는 말하면 1,2,3,7만 있으면 충분하다.

- 연습1: $(3),(4)\Rightarrow (5)$ 임을 보여라.

- 연습2: $(2),(4)\Rightarrow (6)$ 임을 보여라.

확률측도의 정의

- 확률의 정의: 메져(measure)는 길이따위를 일반화한 개념이다. 확률은 메져의 특수한 형태이다.⁴메져와 확률은 아래와 같이 정의한다.

⁴ 메져의 조건에서 전체집합의 길이가 1이라는 제약만 있음

그림1: Durret책에서 정의한 measure와 probability measure의 정의, 드래그한 부분이 정의임.

- 교재의 정의 약간 설명

• 교재에서는 일반적인 측도 $\mu$를 설명하고 전체집합의 길이가 1인 측도를 확률측도 $P$라고 한다고 설명하고 있다. 따라서 교재의 $\mu$는 문맥상 $P$로 바꾸어 이해해도 무방함.
• 교재에서 $\mu$는 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F}$에서 정의한다고 서술하고 있으며 이는 우리가 이미 살펴본 조건 1과 일치한다.
• 교재에서 $\mu :\mathcal{F}\to \mathbb{R}$이라고 서술되어 있는데 우리의 경우는 $P:\mathcal{F}\to [0,1]$로 바꾸어 이해하면 된다.

- 사실 잘 따져보면 이것은 우리가 위키에서 찾아본 확률의 공리도 결국 같은 소리를 하고 있다.

그림2: 확률의 공리

- 확률의 정의: 확률은 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$가 전제되었을 경우 정의 할 수 있는 일종의 함수 $P:\mathcal{F}\to [0,1]$ 인데, 아래의 조건을 만족해야 한다. // 위키버전

1. 확률은 항상 양수이어야 하며,
2. 전체 확률은 1이어야 하며, (그리고 이것은 공집합일 확률이 0임을 암시함)
3. $\sigma$-additivity가 성립해야 한다.

- 메져의 정의: 메져는 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$가 전제되었을 경우 정의 할 수 있는 일종의 함수 $m:\mathcal{F}\to [0,\mathrm{\infty }]$인데, 아래의 조건을 만족해야 한다.

1. 메저는 항상 양수이어야 하며,
2. 공집합은 메져가 0이어야 하며,
3. $\sigma$-additivity가 성립해야 한다.

귀찮아서 만든 이론들 ($\star$)

상황1: 시그마필드 구하기 귀찮아

(예제1)

- $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 내가 관심있는 event의 모음은 아래와 같다.

$$\mathcal{A}=\{\{1\},\{2\}\}$$

- 당연히 이러한 이벤트에 대해서만 적절한 확률을 정의하면 좋겠는데, 이는 불가능 하다. 왜냐하면 $\mathcal{A}$는 시그마필드가 아니기 때문이다.

- 따라서 할 수 없이 아래와 같은 방식으로 시그마필드를 구해야 했다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},\mathrm{\Omega }\}$$

- 이러한 $\mathcal{F}$를 구하기는 것은 귀찮은 일인데, 이를 편리하게 해결하기 위해서 $\sigma (\mathcal{A})$라는 기호를 도입하고 이를 “$\{1\}$, $\{2\}$를 원소로 가지는 최소한의 $\mathcal{F}$” 라고 생각 하기로 하였다. 즉 앞으로는

$$\sigma (\mathcal{A})$$

라고만 써도 위에서 명시한 $\mathcal{F}$를 의미한다고 알아서 생각하면 된다는 것이다.

걱정: 문제는 이러한 논리전개가 항상 가능하냐는 것이다.

귀찮아서 만든 이론1: 걱정할 필요 없다. 언제나 $\sigma (\mathcal{A})$라는 표현은 가능하다. 즉 $\mathrm{\Omega }$의 임의의 부분집합에 대하여 우리가 관심있는 집합만 모은 것을 $\mathcal{A}$라고 할때, $\mathcal{A}$의 모든 원소를 포함하고 시그마필드의 정의를 만족하는 최소한의 시그마필드 $\sigma (\mathcal{A})$는 항상 존재한다.

(예제2)

$\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$ 이라고 하자. 이중에서 우리가 관심있는 집합들은 르벡메져로 길이를 명확하게 잴 수 있는 아래와 같은 형태이다.

$$[a,b]$$

여기에서 $a,b\in \mathbb{R}$, $a<b$ 이라고 하자. 따라서 이 경우 $\mathcal{A}$를 아래와 같이 설정할 수 있다.

$$\mathcal{A}=\{[a,b]:a,b\in \mathbb{R},a<b\}$$

이제 $\sigma (\mathcal{A})$를 상상하자. 이는 $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$에서 잴 수 있는 집합들의 모임이다. 편의상 $\sigma (\mathcal{A}):=\mathcal{R}$로 정의하자. 여기에서 $\mathcal{R}$ 상당히 많은 케이스를 포함하는 집합이다. 예를들면 아래와 같은 집합들은 모두 $\mathcal{R}$의 원소이다. (즉 아래의 집합은 $[a,b]$를 잴 수 있다고 할때, 당연히 잴 수 있다고 여겨지는 집합들이다.)

• $[0,2)$
• $\{2\}$
• $(0,2)$
• $[0,\mathrm{\infty })$, $(0,\mathrm{\infty })$
• $(-\mathrm{\infty },0)$, $(-\mathrm{\infty },0]$
• $[1,2]\cup [3,4]$
• $(1,2]\cup [3,4)$
• $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
• $[0,2]\cap \mathbb{Q}$

사실상 $\mathcal{R}=\sigma (\mathcal{A})$와 같은 기호가 없다면 $\mathbb{R}$에서 잴 수 있는 집합들의 모임은 명시적으로 쓰는 것 자체가 불가능함.

상황2: 확률 정의하기 귀찮아

(예제1) – motivating EX

- $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모음은 아래와 같다.

$$\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3,4\},\mathrm{\Omega }\}$$

- 여기에서 $\mathcal{A}$는 시그마필드가 아니다. 따라서 $\mathcal{A}$에서는 확률을 정의할 수 없다. 확률을 정의하려면 $\sigma (\mathcal{A})$에서 정의해야 한다.

- 소망: 그래도 그냥 $\mathcal{A}$에서만 확률 비슷한걸⁵ 잘 정의하면 안될까?

⁵ 정의역이 시그마필드가 아니므로 확률이라고 말할 수 없다

- 희망: 이게 될 것 같다. 예를들면 함수 $\tilde{P}:\mathcal{A}\to [0,1]$를 아래와 같이 정의하자.

• $\tilde{P}(\mathrm{\varnothing })=0$
• $\tilde{P}(\{1\})=1/4$
• $\tilde{P}(\{2\})=1/2$
• $\tilde{P}(\{3,4\})=1/4$
• $\tilde{P}(\mathrm{\Omega })=1$

이 정도만 정의해보자. $\tilde{P}$는 정의역이 시그마필드가 아니라는 점만 제외하면 확률의 공리 1,2,3을 따른다. 이렇게 함수 $\tilde{P}$를 정의하게 되면

$$\sigma (\mathcal{A})=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},\mathrm{\Omega }\}$$

에서의 확률 $P:\sigma (\mathcal{A})\to [0,1]$는 확률 비슷한 함수 $\tilde{P}$를 “알아서, 잘, 센스있게” 확장하여 정의할 수 있다. 구체적으로는 아래와 같이 된다.

	$P$	$\tilde{P}$
$\mathrm{\varnothing }$	$0$	$0$
$\{1\}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
$\{2\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\{3,4\}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
$\mathrm{\Omega }$	$1$	$1$
$-$	$-$	$-$
$\{1,2\}$	$\frac{3}{4}$	None
$\{1,3,4\}$	$\frac{1}{2}$	None
$\{2,3,4\}$	$\frac{3}{4}$	None

(예제2) – motivating EX (2)

- $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$이라고 하고 $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3,4\},\mathrm{\Omega }\}$ 라고 하자. 그리고 아래와 같은 $\sigma (\mathcal{A})$를 다시 상상하자.

$$\sigma (\mathcal{A})=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},\mathrm{\Omega }\}$$

- 위의 시그마필드에서 확률을 예제1과 다른 방식으로 정의할 수 도 있다. 예를들면 아래와 같은 방식으로 정의가능하다.

	$P_1$	${\tilde{P}}_1$
$\mathrm{\varnothing }$	$0$	$0$
$\{1\}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$\{2\}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$\{3,4\}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$\mathrm{\Omega }$	$1$	$1$
$-$	$-$	$-$
$\{1,2\}$	$\frac{2}{3}$	None
$\{1,3,4\}$	$\frac{2}{3}$	None
$\{2,3,4\}$	$\frac{2}{3}$	None

또한 아래와 같은 방식도 가능하다.

	$P_2$	${\tilde{P}}_2$
$\mathrm{\varnothing }$	$0$	$0$
$\{1\}$	$0$	$0$
$\{2\}$	$0$	$0$
$\{3,4\}$	$1$	$1$
$\mathrm{\Omega }$	$1$	$1$
$-$	$-$	$-$
$\{1,2\}$	$0$	None
$\{1,3,4\}$	$1$	None
$\{2,3,4\}$	$1$	None

- 어떠한 방식으로 정의하든 $\mathcal{A}$에서 확률 비슷한 것 ${\tilde{P}}_1,{\tilde{P}}_2$를 잘 정의하기만 $\sigma (\mathcal{A})$에서의 확률 $P$로 적절하게 확장할 수 있다. 심지어 이런 확장은 유일한 듯 하다.

귀찮아서 만든 이론2: 운이 좋다면, $\mathcal{A}$ 에서 확률의 공리를 만족하는 적당한 함수 $\tilde{P}:\mathcal{A}\to [0,1]$를 $(\mathrm{\Omega },\sigma (\mathcal{A}))$ 에서의 확률측도 $P$로 업그레이드 할 수 있으며 업그레이드 결과는 유일하다.

(예제3) – 운이 안 좋은 경우

- $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3\}$ 이라고 하고 $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{2,3\},\mathrm{\Omega }\}$ 라고 하자.

- 아래와 같은 확률 비슷한 함수 $\tilde{P}:\mathcal{A}\to [0,1]$를 정의하자.

• $\tilde{P}(\mathrm{\varnothing })=0$
• $\tilde{P}(\{1,2\})=0$
• $\tilde{P}(\{2,3\})=0$
• $\tilde{P}(\mathrm{\Omega })=1$

- $\tilde{P}$는 분명히 $\mathcal{A}$에서 확률의 공리1-3을 만족한다.

- 하지만 $\sigma (\mathcal{A})$로의 확장은 불가능하다.

(예제4) – 운이 안 좋은 경우

- $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$ 이라고 하고 $\mathcal{A}=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{2,3\},\mathrm{\Omega }\}$ 라고 하자.

- 아래와 같은 확률 비슷한 함수 $\tilde{P}:\mathcal{A}\to [0,1]$를 정의하자.

• $\tilde{P}(\mathrm{\varnothing })=0$
• $\tilde{P}(\{1,2\})=1/2$
• $\tilde{P}(\{2,3\})=1/2$
• $\tilde{P}(\mathrm{\Omega })=1$

- $\tilde{P}$는 분명히 $\mathcal{A}$에서 확률의 공리1-3을 만족한다.

- $\sigma (\mathcal{A})$로의 확장도 가능하다. 하지만 유일한 확장을 보장하지 않는다.

	$P_1$	$P_2$	$\tilde{P}$
$\mathrm{\varnothing }$	$0$	$0$	$0$
$\{1,2\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\{2,3\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\mathrm{\Omega }$	$1$	$1$	$1$
$-$	$-$	$-$	$-$
$\{1\}$	$0$	$\frac{1}{2}$	None
$\{2\}$	$\frac{1}{2}$	$0$	None
$\{3\}$	$0$	$\frac{1}{2}$	None
$\{4\}$	$\frac{1}{2}$	$0$	None
$\{1,3\}$	$0$	$1$	None
$\{1,4\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	None
$\{2,4\}$	$1$	$0$	None
$\{3,4\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	None
$\{2,3,4\}$	$1$	$\frac{1}{2}$	None
$\{1,3,4\}$	$\frac{1}{2}$	$1$	None
$\{1,2,4\}$	$1$	$\frac{1}{2}$	None
$\{1,2,3\}$	$\frac{1}{2}$	$1$	None

(예제5) – 혹시…

- $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$, $\mathcal{A}=\{[a,b]:a,b\in \mathbb{R},a<b\}$ 라고 하자.

- $\mathcal{A}$에서만 측도비슷한 함수 $\tilde{m}([a,b])=b-a$를 잘 정의한다면 그것이 $\sigma (\mathcal{A})$에서의 측도 $m$으로 업그레이드 가능하며, 그 업그레이드 결과는 유일할까?