05wk-2: HW1

최규빈

2023-03-29

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-xsTHLqiyPTgay2jwnssbnC

배점

문항 점수
1-(1) 15
1-(2) 15
2-(1) 5
2-(2) 5
2-(3) 10
2-(4) 10
3-(1) 20
3-(2) 20

1. Cardinality

(1) \(\mathbb{Q}\)의 cardinality가 \(\aleph_0\)임을 증명하라.

(풀이) 생략

(2) \(\mathbb{R}\)의 cardinality가 \(\aleph_0\)이 아님을 보여라.

(풀이) 생략

2. \(\sigma\)-field

(1) \(\Omega=\{H,T\}\)일 때, 다음 중 시그마필드의 정의를 만족하는 집합을 모두 골라라.

  1. \({\cal F}=\{\emptyset\}\)
  2. \({\cal F}=\{\Omega\}\)
  3. \({\cal F}=\{\emptyset, \Omega\}\)
  4. \({\cal F}=\{\{H\}\}\)
  5. \({\cal F}=\{\{H\}, \{T\}\}\)
  6. \({\cal F}=\{\emptyset, \{H\}, \Omega\}\)
  7. \({\cal F}=\{\emptyset, \{T\}, \Omega\}\)
  8. \({\cal F}=\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\}\)

(풀이) 3,8 이 시그마필드이다. // 시그마필드가 아닌이유를 서술할 필요없음. 답만 쓰면 인정함.

(2) \(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 일 때,

\[{\cal A}=\{ \{1\}, \{1,2\}\}\]

이라고 하자. \(\sigma({\cal A})\)를 구하여라.

(풀이) // 이 문제역시 답만 써도 인정

\(\sigma({\cal A}) = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\}, \{1,2\},\{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \Omega\}\)

요령: \(\{3,4\}\)를 한세트로 보면 편리하다. 즉 전체사건을 \(\{1\},\{2\},\{3,4\}\)로 쪼갠뒤에 3개의 원소만 있다고 생각하고 모든 부분집합을 쓰면 된다.

(3) \(\Omega=\{1,2,3,4,\dots,100\}\) 일 때,

\[{\cal A}=\{ \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}\]

이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.

  1. \(\{2\} \in \sigma({\cal A})\) 인가?
  2. \(\{2,3,4\} \in \sigma({\cal A})\) 인가?
  3. \(\{3,4,5\} \in \sigma({\cal A})\) 인가?
  4. \(\Omega - \{1,2,3\} \in \sigma({\cal A})\) 인가?

(풀이) // 답만쓰면 인정하지 않음.

시그마필드의 정의는 아래와 같다.

시그마필드 \({\cal F} \subset 2^\Omega\) 는 1. 전체집합을 포함하고, 2. 여집합에 닫혀있고 3. 가산합집합에 닫혀있는 collection 이다.

먼저 강의노트를 참고하여 아래의 사실을 보이자.

  1. \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\)

  2. \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A - B \in {\cal F}\)

이제 풀어보자.

1번

  • \(\{1,2\} \in \sigma({\cal A})\), \(\{1\} \in \sigma({\cal A})\)
  • \(\Rightarrow\) \(\{1,2\} - \{1\} = \{2\} \in \sigma({\cal A})\) (\(\because\) (b))

2번

  • \(\{1,2\}-\{1\} = \{2\} \in \sigma({\cal A})\), \(\{1,2,3\} - \{1,2\} = \{3\} \in \sigma({\cal A})\), \(\{1,2,3,4\} - \{1,2,3\} = \{4\} \in \sigma({\cal A})\).
  • \(\Rightarrow\) \(\{2\}\cup \{3\} \cup \{4\} = \{2,3,4\} \in \sigma({\cal A})\)

3번

  • \(\{3,4,5\} \not \in \sigma({\cal A})\)

4번

  • \(\{1,2,3\}\in \sigma({\cal A})\)
  • \(\Rightarrow \{1,2,3\}^c \in \sigma({\cal A})\)

(4) \(\Omega=[0,2\pi)\) 일 때,

\[{\cal A}=\{ [a,b): 0\leq a< b\leq 2\pi\}\]

이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.

  1. \([\frac{\pi}{2},\pi) \in \sigma({\cal A})\) 인가?
  2. \(\{\pi\} \in \sigma({\cal A})\) 인가?
  3. \(\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\} \in \sigma({\cal A})\) 인가?
  4. \((\frac{\pi}{2},\pi) \in \sigma({\cal A})\) 인가?

수업시간에 2번문제 잘못해설했어요. (문제도 잘못냈어요, 너무 어렵게 냈어요. )

(풀이)

  1. \(a=\frac{\pi}{2}\), \(b=\pi\)
  2. \([0,\pi)~ \bigcup ~\cup_{i=1}^{\infty}[\pi+\frac{1}{n}, 2\pi) = [0,\pi) \cup (\pi,2\pi)\) \(\Rightarrow\) \(\Omega - \big([0,\pi) \cup (\pi,2\pi) \big) = \{\pi\} \in \sigma({\cal A})\)
  • \([\pi+\frac{1}{n}, 2\pi)\)는 각각 잴 수 있는 집합이므로 \(\cup_{i=1}^{\infty}[\pi+\frac{1}{n}, 2\pi)\) 역시 잴 수 있는 집합이다.
  • 여기에서 \(\cup_{i=1}^{\infty}[\pi+\frac{1}{n}, 2\pi)=(\pi,2\pi)\) 로 볼 수 있는데, 그 이유는 \(\cup_{i=1}^{\infty}[\pi+\frac{1}{n}, 2\pi)\)는 \(\pi\)보다 큰 모든수를 포함하지만 \(\pi\)는 포함할 수 없기 때문이다.
  • \([0, \pi)\)도 당연히 잴 수 있는 집합이다.
  • 잴 수 있는 집합의 교집합은 잴 수 있으므로 \([0,\pi)~ \cup ~(\pi,2\pi)\) 역시 잴 수 있는 집합이다.
  • 따라서 \([0,2\pi) - \big([0,\pi) \cup (\pi,2\pi) \big)\) 역시 잴 수 있다.
  1. \(\{\pi\}\)를 잴수 있다는 것과 동일한 논리전개로 \(\{0\},\{\frac{\pi}{2}\}, \{\frac{3\pi}{2}\}\) 모두 잴 수 있는 집합이고, 따라서 이들의 합집합도 잴 수 있다.
  2. \([\frac{\pi}{2}, \pi)\)를 잴 수 있고 \(\{\frac{\pi}{2}\}\)를 잴 수 있으므로 \([\frac{\pi}{2}, \pi) - \{\frac{\pi}{2}\}\) 역시 잴 수 있다.

3. 확률과 확률변수

(1) 아래와 같은 measurable space \((\Omega, {\cal F})\)를 고려하자.

  • \(\Omega=\{a,b,c,d\}\)
  • \({\cal F}=2^\Omega\)

아래와 같은 확률변수 \(X: \Omega \to \{1,2,3,4\}\) 를 고려하자. 다음중 올바른 표현은?

  1. \(X(a)\)
  2. \(X(\{a\})\)
  3. \(P(a)\)
  4. \(P(\{a\})\)
  5. \(P(X=1)\)
  6. \(X = \begin{cases} 1 & w.p.~\frac{1}{2} \\ 2 & w.p. ~\frac{1}{6} \\ 3 & w.p. ~\frac{1}{6} \\ 4 & w.p. ~\frac{1}{6} \end{cases}\)

(풀이) 생략 (이 문제는 그대로 낼거라서요, 풀이 생략합니다. 스스로 해보세요. 시험에서는 답만쓰면 정답으로 인정합니다)

(2) 아래와 같은 measurable space를 고려하자.

  • \(\Omega=\{a,b,c,d\}\)
  • \({\cal F} =\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\{a\}\}\).

아래와 같은 function \(X:\Omega \to A:=\{1,2,3,4\}\), \(Y:\Omega \to B:=\{1,2\}\)을 고려하자.

  • \(X(a)=1, X(b)=2, X(c)=3, X(d)=4\)
  • \(Y(a)=1, Y(b)=2, Y(c)=2, Y(c)=2\)

아래의 물음에 답하라.

  • \(X\)는 \((\Omega,{\cal F}) \to (A,2^{A})\) 인가? 즉 \(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수인가?
  • \(Y\)는 \((\Omega,{\cal F}) \to (B,2^{B})\) 인가? 즉 \(Y\)는 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수인가?

(풀이)

\(X\)는 확률변수가 아님

집합 \(\{2\} \subset 2^A\)에 대하여 \(\{\omega: X(\omega) \in \{2\}\}=\{b\} \not \in \sigma({\cal A})\) 이므로 \(X\)는 확률변수가 아님

\(Y\)는 확률변수임

\(2^B = \{\emptyset,\{1\},\{2\},B\}\) 의 모든 부분집합 \(B^\ast\)에 대하여 \(\{\omega: X(\omega) \in B^\ast\} \in \sigma({\cal A})\) 이 성립함.

  • \(\{\omega: X(\omega) \in \emptyset\} = \emptyset \in \sigma({\cal A})\)
  • \(\{\omega: X(\omega) \in \{1\}\} = \{a\} \in \sigma({\cal A})\)
  • \(\{\omega: X(\omega) \in \{2\}\} = \{b,c,d\} \in \sigma({\cal A})\)
  • \(\{\omega: X(\omega) \in B\} = \{a,b,c,d\} \in \sigma({\cal A})\)