05wk-2: HW1
2023-03-29
강의영상
youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-xsTHLqiyPTgay2jwnssbnC
배점
문항 | 점수 |
---|---|
1-(1) | 15 |
1-(2) | 15 |
2-(1) | 5 |
2-(2) | 5 |
2-(3) | 10 |
2-(4) | 10 |
3-(1) | 20 |
3-(2) | 20 |
1
. Cardinality
(1)
(풀이)
생략
(2)
(풀이)
생략
2
. -field
(1)
(풀이)
3,8 이 시그마필드이다. // 시그마필드가 아닌이유를 서술할 필요없음. 답만 쓰면 인정함.
(2)
이라고 하자.
(풀이)
// 이 문제역시 답만 써도 인정
요령:
를 한세트로 보면 편리하다. 즉 전체사건을 로 쪼갠뒤에 3개의 원소만 있다고 생각하고 모든 부분집합을 쓰면 된다.
(3)
이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.
인가? 인가? 인가? 인가?
(풀이)
// 답만쓰면 인정하지 않음.
시그마필드의 정의는 아래와 같다.
시그마필드
는 1. 전체집합을 포함하고, 2. 여집합에 닫혀있고 3. 가산합집합에 닫혀있는 collection 이다.
먼저 강의노트를 참고하여 아래의 사실을 보이자.
이제 풀어보자.
1번
, ( (b))
2번
, , .
3번
4번
(4)
이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.
인가? 인가? 인가? 인가?
수업시간에 2번문제 잘못해설했어요. (문제도 잘못냈어요, 너무 어렵게 냈어요. )
(풀이)
,
는 각각 잴 수 있는 집합이므로 역시 잴 수 있는 집합이다.- 여기에서
로 볼 수 있는데, 그 이유는 는 보다 큰 모든수를 포함하지만 는 포함할 수 없기 때문이다. 도 당연히 잴 수 있는 집합이다.- 잴 수 있는 집합의 교집합은 잴 수 있으므로
역시 잴 수 있는 집합이다. - 따라서
역시 잴 수 있다.
를 잴수 있다는 것과 동일한 논리전개로 모두 잴 수 있는 집합이고, 따라서 이들의 합집합도 잴 수 있다. 를 잴 수 있고 를 잴 수 있으므로 역시 잴 수 있다.
3
. 확률과 확률변수
(1)
아래와 같은 measurable space
아래와 같은 확률변수
(풀이) 생략 (이 문제는 그대로 낼거라서요, 풀이 생략합니다. 스스로 해보세요. 시험에서는 답만쓰면 정답으로 인정합니다)
(2)
아래와 같은 measurable space를 고려하자.
where .
아래와 같은 function
아래의 물음에 답하라.
는 인가? 즉 는 에서의 확률변수인가? 는 인가? 즉 는 에서의 확률변수인가?
(풀이)
집합