05wk-2: HW1

최규빈

2023-03-29

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-xsTHLqiyPTgay2jwnssbnC

배점

문항	점수
1-(1)	15
1-(2)	15
2-(1)	5
2-(2)	5
2-(3)	10
2-(4)	10
3-(1)	20
3-(2)	20

1. Cardinality

(1) $\mathbb{Q}$의 cardinality가 ${\mathrm{\aleph }}_0$임을 증명하라.

(풀이) 생략

(2) $\mathbb{R}$의 cardinality가 ${\mathrm{\aleph }}_0$이 아님을 보여라.

(풀이) 생략

2. $\sigma$-field

(1) $\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$일 때, 다음 중 시그마필드의 정의를 만족하는 집합을 모두 골라라.

1. $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing }\}$
2. $\mathcal{F}=\{\mathrm{\Omega }\}$
3. $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$
4. $\mathcal{F}=\{\{H\}\}$
5. $\mathcal{F}=\{\{H\},\{T\}\}$
6. $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{H\},\mathrm{\Omega }\}$
7. $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{T\},\mathrm{\Omega }\}$
8. $\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{H\},\{T\},\mathrm{\Omega }\}$

(풀이) 3,8 이 시그마필드이다. // 시그마필드가 아닌이유를 서술할 필요없음. 답만 쓰면 인정함.

(2) $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$ 일 때,

$$\mathcal{A}=\{\{1\},\{1,2\}\}$$

이라고 하자. $\sigma (\mathcal{A})$를 구하여라.

(풀이) // 이 문제역시 답만 써도 인정

$\sigma (\mathcal{A})=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3,4\},\{1,2\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},\mathrm{\Omega }\}$

요령: $\{3,4\}$를 한세트로 보면 편리하다. 즉 전체사건을 $\{1\},\{2\},\{3,4\}$로 쪼갠뒤에 3개의 원소만 있다고 생각하고 모든 부분집합을 쓰면 된다.

(3) $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,\dots ,100\}$ 일 때,

$$\mathcal{A}=\{\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}$$

이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.

1. $\{2\}\in \sigma (\mathcal{A})$ 인가?
2. $\{2,3,4\}\in \sigma (\mathcal{A})$ 인가?
3. $\{3,4,5\}\in \sigma (\mathcal{A})$ 인가?
4. $\mathrm{\Omega }-\{1,2,3\}\in \sigma (\mathcal{A})$ 인가?

(풀이) // 답만쓰면 인정하지 않음.

시그마필드의 정의는 아래와 같다.

시그마필드 $\mathcal{F}\subset 2^{\mathrm{\Omega }}$ 는 1. 전체집합을 포함하고, 2. 여집합에 닫혀있고 3. 가산합집합에 닫혀있는 collection 이다.

먼저 강의노트를 참고하여 아래의 사실을 보이자.

1. $A,B\in \mathcal{F}\Rightarrow A\cap B\in \mathcal{F}$

2. $A,B\in \mathcal{F}\Rightarrow A-B\in \mathcal{F}$

이제 풀어보자.

1번

• $\{1,2\}\in \sigma (\mathcal{A})$, $\{1\}\in \sigma (\mathcal{A})$
• $\Rightarrow$ $\{1,2\}-\{1\}=\{2\}\in \sigma (\mathcal{A})$ ($\because$ (b))

2번

• $\{1,2\}-\{1\}=\{2\}\in \sigma (\mathcal{A})$, $\{1,2,3\}-\{1,2\}=\{3\}\in \sigma (\mathcal{A})$, $\{1,2,3,4\}-\{1,2,3\}=\{4\}\in \sigma (\mathcal{A})$.
• $\Rightarrow$ $\{2\}\cup \{3\}\cup \{4\}=\{2,3,4\}\in \sigma (\mathcal{A})$

3번

• $\{3,4,5\}\notin \sigma (\mathcal{A})$

4번

• $\{1,2,3\}\in \sigma (\mathcal{A})$
• $\Rightarrow \{1,2,3{\}}^c\in \sigma (\mathcal{A})$

(4) $\mathrm{\Omega }=[0,2\pi )$ 일 때,

$$\mathcal{A}=\{[a,b):0\le a<b\le 2\pi \}$$

이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.

1. $[\frac{\pi }{2},\pi )\in \sigma (\mathcal{A})$ 인가?
2. $\{\pi \}\in \sigma (\mathcal{A})$ 인가?
3. $\{0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}\}\in \sigma (\mathcal{A})$ 인가?
4. $(\frac{\pi }{2},\pi )\in \sigma (\mathcal{A})$ 인가?

수업시간에 2번문제 잘못해설했어요. (문제도 잘못냈어요, 너무 어렵게 냈어요. )

(풀이)

1. $a=\frac{\pi }{2}$, $b=\pi$
2. $[0,\pi )\bigcup {\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}[\pi +\frac{1}{n},2\pi )=[0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )$ $\Rightarrow$ $\mathrm{\Omega }-([0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ))=\{\pi \}\in \sigma (\mathcal{A})$

• $[\pi +\frac{1}{n},2\pi )$는 각각 잴 수 있는 집합이므로 ${\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}[\pi +\frac{1}{n},2\pi )$ 역시 잴 수 있는 집합이다.
• 여기에서 ${\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}[\pi +\frac{1}{n},2\pi )=(\pi ,2\pi )$ 로 볼 수 있는데, 그 이유는 ${\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}[\pi +\frac{1}{n},2\pi )$는 $\pi$보다 큰 모든수를 포함하지만 $\pi$는 포함할 수 없기 때문이다.
• $[0,\pi )$도 당연히 잴 수 있는 집합이다.
• 잴 수 있는 집합의 교집합은 잴 수 있으므로 $[0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )$ 역시 잴 수 있는 집합이다.
• 따라서 $[0,2\pi )-([0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ))$ 역시 잴 수 있다.

3. $\{\pi \}$를 잴수 있다는 것과 동일한 논리전개로 $\{0\},\{\frac{\pi }{2}\},\{\frac{3\pi }{2}\}$ 모두 잴 수 있는 집합이고, 따라서 이들의 합집합도 잴 수 있다.
4. $[\frac{\pi }{2},\pi )$를 잴 수 있고 $\{\frac{\pi }{2}\}$를 잴 수 있으므로 $[\frac{\pi }{2},\pi )-\{\frac{\pi }{2}\}$ 역시 잴 수 있다.

3. 확률과 확률변수

(1) 아래와 같은 measurable space $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$를 고려하자.

• $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$
• $\mathcal{F}=2^{\mathrm{\Omega }}$

아래와 같은 확률변수 $X:\mathrm{\Omega }\to \{1,2,3,4\}$ 를 고려하자. 다음중 올바른 표현은?

1. $X(a)$
2. $X(\{a\})$
3. $P(a)$
4. $P(\{a\})$
5. $P(X=1)$
6. $X=\{\begin{array}{ll}1& w.p.\frac{1}{2}\\ 2& w.p.\frac{1}{6}\\ 3& w.p.\frac{1}{6}\\ 4& w.p.\frac{1}{6}\end{array}$

(풀이) 생략 (이 문제는 그대로 낼거라서요, 풀이 생략합니다. 스스로 해보세요. 시험에서는 답만쓰면 정답으로 인정합니다)

(2) 아래와 같은 measurable space를 고려하자.

• $\mathrm{\Omega }=\{a,b,c,d\}$
• $\mathcal{F}=\sigma (\mathcal{A})$ where $\mathcal{A}=\{\{a\}\}$.

아래와 같은 function $X:\mathrm{\Omega }\to A:=\{1,2,3,4\}$, $Y:\mathrm{\Omega }\to B:=\{1,2\}$을 고려하자.

• $X(a)=1,X(b)=2,X(c)=3,X(d)=4$
• $Y(a)=1,Y(b)=2,Y(c)=2,Y(c)=2$

아래의 물음에 답하라.

• $X$는 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (A,2^A)$ 인가? 즉 $X$는 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률변수인가?
• $Y$는 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (B,2^B)$ 인가? 즉 $Y$는 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서의 확률변수인가?

(풀이)

$X$는 확률변수가 아님

집합 $\{2\}\subset 2^A$에 대하여 $\{\omega :X(\omega )\in \{2\}\}=\{b\}\notin \sigma (\mathcal{A})$ 이므로 $X$는 확률변수가 아님

$Y$는 확률변수임

$2^B=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},B\}$ 의 모든 부분집합 $B^{\ast }$에 대하여 $\{\omega :X(\omega )\in B^{\ast }\}\in \sigma (\mathcal{A})$ 이 성립함.

• $\{\omega :X(\omega )\in \mathrm{\varnothing }\}=\mathrm{\varnothing }\in \sigma (\mathcal{A})$
• $\{\omega :X(\omega )\in \{1\}\}=\{a\}\in \sigma (\mathcal{A})$
• $\{\omega :X(\omega )\in \{2\}\}=\{b,c,d\}\in \sigma (\mathcal{A})$
• $\{\omega :X(\omega )\in B\}=\{a,b,c,d\}\in \sigma (\mathcal{A})$