05wk-2: HW1

최규빈

2023-03-29

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-xsTHLqiyPTgay2jwnssbnC

배점

문항 점수
1-(1) 15
1-(2) 15
2-(1) 5
2-(2) 5
2-(3) 10
2-(4) 10
3-(1) 20
3-(2) 20

1. Cardinality

(1) Q의 cardinality가 0임을 증명하라.

(풀이) 생략

(2) R의 cardinality가 0이 아님을 보여라.

(풀이) 생략

2. σ-field

(1) Ω={H,T}일 때, 다음 중 시그마필드의 정의를 만족하는 집합을 모두 골라라.

  1. F={}
  2. F={Ω}
  3. F={,Ω}
  4. F={{H}}
  5. F={{H},{T}}
  6. F={,{H},Ω}
  7. F={,{T},Ω}
  8. F={,{H},{T},Ω}

(풀이) 3,8 이 시그마필드이다. // 시그마필드가 아닌이유를 서술할 필요없음. 답만 쓰면 인정함.

(2) Ω={1,2,3,4} 일 때,

A={{1},{1,2}}

이라고 하자. σ(A)를 구하여라.

(풀이) // 이 문제역시 답만 써도 인정

σ(A)={,{1},{2},{3,4},{1,2},{1,3,4},{2,3,4},Ω}

요령: {3,4}를 한세트로 보면 편리하다. 즉 전체사건을 {1},{2},{3,4}로 쪼갠뒤에 3개의 원소만 있다고 생각하고 모든 부분집합을 쓰면 된다.

(3) Ω={1,2,3,4,,100} 일 때,

A={{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}}

이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.

  1. {2}σ(A) 인가?
  2. {2,3,4}σ(A) 인가?
  3. {3,4,5}σ(A) 인가?
  4. Ω{1,2,3}σ(A) 인가?

(풀이) // 답만쓰면 인정하지 않음.

시그마필드의 정의는 아래와 같다.

시그마필드 F2Ω 는 1. 전체집합을 포함하고, 2. 여집합에 닫혀있고 3. 가산합집합에 닫혀있는 collection 이다.

먼저 강의노트를 참고하여 아래의 사실을 보이자.

  1. A,BFABF

  2. A,BFABF

이제 풀어보자.

1번

  • {1,2}σ(A), {1}σ(A)
  • {1,2}{1}={2}σ(A) ( (b))

2번

  • {1,2}{1}={2}σ(A), {1,2,3}{1,2}={3}σ(A), {1,2,3,4}{1,2,3}={4}σ(A).
  • {2}{3}{4}={2,3,4}σ(A)

3번

  • {3,4,5}σ(A)

4번

  • {1,2,3}σ(A)
  • {1,2,3}cσ(A)

(4) Ω=[0,2π) 일 때,

A={[a,b):0a<b2π}

이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.

  1. [π2,π)σ(A) 인가?
  2. {π}σ(A) 인가?
  3. {0,π2,π,3π2}σ(A) 인가?
  4. (π2,π)σ(A) 인가?

수업시간에 2번문제 잘못해설했어요. (문제도 잘못냈어요, 너무 어렵게 냈어요. )

(풀이)

  1. a=π2, b=π
  2. [0,π)  i=1[π+1n,2π)=[0,π)(π,2π) Ω([0,π)(π,2π))={π}σ(A)
  • [π+1n,2π)는 각각 잴 수 있는 집합이므로 i=1[π+1n,2π) 역시 잴 수 있는 집합이다.
  • 여기에서 i=1[π+1n,2π)=(π,2π) 로 볼 수 있는데, 그 이유는 i=1[π+1n,2π)π보다 큰 모든수를 포함하지만 π는 포함할 수 없기 때문이다.
  • [0,π)도 당연히 잴 수 있는 집합이다.
  • 잴 수 있는 집합의 교집합은 잴 수 있으므로 [0,π)  (π,2π) 역시 잴 수 있는 집합이다.
  • 따라서 [0,2π)([0,π)(π,2π)) 역시 잴 수 있다.
  1. {π}를 잴수 있다는 것과 동일한 논리전개로 {0},{π2},{3π2} 모두 잴 수 있는 집합이고, 따라서 이들의 합집합도 잴 수 있다.
  2. [π2,π)를 잴 수 있고 {π2}를 잴 수 있으므로 [π2,π){π2} 역시 잴 수 있다.

3. 확률과 확률변수

(1) 아래와 같은 measurable space (Ω,F)를 고려하자.

  • Ω={a,b,c,d}
  • F=2Ω

아래와 같은 확률변수 X:Ω{1,2,3,4} 를 고려하자. 다음중 올바른 표현은?

  1. X(a)
  2. X({a})
  3. P(a)
  4. P({a})
  5. P(X=1)
  6. X={1w.p. 122w.p. 163w.p. 164w.p. 16

(풀이) 생략 (이 문제는 그대로 낼거라서요, 풀이 생략합니다. 스스로 해보세요. 시험에서는 답만쓰면 정답으로 인정합니다)

(2) 아래와 같은 measurable space를 고려하자.

  • Ω={a,b,c,d}
  • F=σ(A) where A={{a}}.

아래와 같은 function X:ΩA:={1,2,3,4}, Y:ΩB:={1,2}을 고려하자.

  • X(a)=1,X(b)=2,X(c)=3,X(d)=4
  • Y(a)=1,Y(b)=2,Y(c)=2,Y(c)=2

아래의 물음에 답하라.

  • X(Ω,F)(A,2A) 인가? 즉 X(Ω,F) 에서의 확률변수인가?
  • Y(Ω,F)(B,2B) 인가? 즉 Y(Ω,F) 에서의 확률변수인가?

(풀이)

X는 확률변수가 아님

집합 {2}2A에 대하여 {ω:X(ω){2}}={b}σ(A) 이므로 X는 확률변수가 아님

Y는 확률변수임

2B={,{1},{2},B} 의 모든 부분집합 B에 대하여 {ω:X(ω)B}σ(A) 이 성립함.

  • {ω:X(ω)}=σ(A)
  • {ω:X(ω){1}}={a}σ(A)
  • {ω:X(ω){2}}={b,c,d}σ(A)
  • {ω:X(ω)B}={a,b,c,d}σ(A)