04wk-1: 측도론 intro (5)

최규빈

2023-03-23

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-yTpksFFUby_Twan5kFTFdm

시그마필드 motivation (2)

생각의 시간1

우리가 잴 수 있는 집합의 모임들 \({\cal F}\)라는 것은 답을 구체적으로 쓸 수는 없으나 현재까지 파악한 직관에 한정하여 아래와 같은 조건¹들을 만족하는 collection이라고 “일단은” 생각할 수 있다.

¹ 이 조건들은 수정 및 보완 될 예정임

1. \(\Omega, \emptyset \in {\cal F}\)
2. \(\forall A \subset \Omega: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
3. \(\forall A,B \subset \Omega\) such that \(A\cap B =\emptyset\): \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}\)
4. \(\forall A,B \subset \Omega\) such that \(A \subset B\): \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}\)

이것은 우리가 “확률”이라는 개념을 올바르게 정의하기 위해서 필요한 최소한의 합의²이다.

² 모든 사람들이 인정할 수 밖에 없는 합의

여기에서 우리가 따져볼 것은 (1) 시그마필드의 조건으로 1~4이면 충분한지 (더 많은 조건들이 필요한건 아닌지) 그리고 (2) 우리가 있었으면 하는 조건들이 꼭 필요한 조건은 맞는지 (예를들면 한두개의 조건이 다른조건을 암시하는건 아닌지) 이다.

(충분할까?) 조건 1,2,3,4 정도를 만족하는 집합으로 시그마필드를 정의해도 충분할까? 좀 더 많은 조건들이 필요한건 아닐까? 예를들면 아래와 같은 조건들이 필요한건 아닌가?

5. \(\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cap B \in {\cal F}\)
6. \(\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cup B \in {\cal F}\)
7. \(\forall B_1,B_2,\dots \subset \Omega\) such that \(B_1, B_2,\dots\) are disjoint: \(B_1,B_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal F}\)
8. \(\forall A_1,A_2,\dots \subset \Omega\): \(A_1,A_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal F}\)

여기에서 잠시 5,6,7,8의 의미를 살펴보자.

7. 3의 확장버전이라고 볼 수 있다. 3은 “각 집합을 잴 수 있다면 서로소인 집합을 유한번 더한 집합도 잴 수 있어야 한다” 라는 의미가 된다. 7은 “각 집합을 잴 수 있다면 서로소인 집합을 셀 수 있는 무한번 더한 집합도 잴 수 있어야 한다” 라는 의미가 된다.

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(예제11) – 람다시스템

\(\Omega=(0,2\pi]\) 라고 하자. \({\cal A} = \{\{x\}: x\in \mathbb{Q} \cap \Omega \}\) 이라고 할 때 아래가 성립할까?

\[\mathbb{Q} \cap \Omega \in \sigma({\cal A})\]

즉 각각의 유리수 한점씩을 잴 수 있을 때³ 유리수 전체의 집합 역시 잴 수 있을까?

³ \(P(\{0\})\), \(P(\{0.21\})\), \(\dots\)를 각각 정의가능할 때

(해설1)

유리수는 셀 수 있는 무한이므로 집합 \(\mathbb{Q} \cap \Omega\)의 길이나 확률 따위는 잴 수 있다.

(해설2)

확률의 공리중 3을 살펴보면 이미 서로소인 집합의 countable union은 잴 수 있는 대상이라고 생각하고 있다. 이건 마치 “확률은 양수”이어야 한다든가, “전체확률은 1이어야” 한다는 사실처럼 당연한 사실이다.⁴

⁴ 사실 일반인에게 당연하지 않을 수도 있지만 최소한 수학자들은 당연하게 생각한다. 그래서 우리도 그냥 당연하게 생각하자.

그림1: 위키에서 캡쳐했어요~ 3번째 공리를 살펴보세요

사실 납득이 되는건 아님. 그렇지만 일단은 “수학자들이 합의해서 이런건 잴 수 있다고 했어. 그러니까 잴 수 있어” 라고 이해하고 넘어가자.

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생각의 시간2

이제 5,6의 성질을 살펴보자.

5. \(\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cap B \in {\cal F}\)
6. \(\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cup B \in {\cal F}\)

6의 경우는 \(A\)와 \(B\)가 서로소가 아니더라고 \(A \cup B\)를 잴 수 있느냐? 라는 것이다. (결국 이는 교집합을 잴 수 있느냐? 라는 물음과 같아서 5와 6은 같은 질문이다.)

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(예제12) – 교집합을 넣을까 말까

\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)라고 하자. 아래와 같은 \({\cal F}\)는 합리적일까?

\[{\cal F}= \big\{ \emptyset, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}, \Omega\big\}\]

(해설1) – 틀린해설

이러한 집합은 원칙 1-4,7 에 위배되지 않는다.

1. \(\Omega, \emptyset \in {\cal F}\)

2. \(\forall A \subset \Omega: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)

3. \(\forall A,B \subset \Omega\) such that \(A\cap B =\emptyset\): \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}\)

4. \(\forall A,B \subset \Omega\) such that \(A \subset B\): \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}\)

7. \(\forall B_1,B_2,\dots \subset \Omega\) such that \(B_1, B_2,\dots\) are disjoint: \(B_1,B_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal F}\)

그런데 이 집합은

\[\{1,2\} \cap \{1,3\} = \{1\}\]

와 같은 집합이라든가,

\[\{1,2\} \cup \{1,3\} = \{1,3,4\}\]

와 같은 집합의 길이를 잴 수 없다. 따라서 아래와 같이 우리가 고등학교때 부터 써왔던 공식을 쓸 수 없다. (ref, Further consequences)

\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]

이것은 불편하니까 \(A,B\)가 잴 수 있다면, \(A,B\)의 교집합이나 합집합따위도 잴 수 있다고 정하자.

(해설1의 반론)

약속하지 않으면 “불편”하니까 약속하자라는 논리는 말이 되지 않음. 그 논리대로라면 \(\Omega\)의 모든 집합에 대하여 확률을 정의할 수 없다고 하면 “불편”하니까 약속하자라는 논리가 됨. 잴 수 있는 집합의 합집합이나 교집합을 잴 수 있다라는 근거는 없음.

(해설1의 반론의 반론) – 참고용으로만..

사실 근거가 있긴함. 즉 \(A\)와 \(B\)를 각각 잴 수 있다면 \(A\), \(B\)의 교집합도 잴 수 있음. (그렇다면 자동으로 합집합도 잴 수 있게 됨.) 이것을 지금 수준에서 엄밀하게 따지기 위해서는 “잴 수 있는 집합”의 정의를 해야하는데 지금 수준에서는 까다로움.

(해설2) – 엄밀한 해설 X

잴 수 있는 집합을 우리는 지금 까지 당연하게

• 확률을 잴 수 있는 집합들

로 생각했음, 그런데 원래 잴 수 있는 집합이라는 개념은 “선분의 길이” 따위를 모순없이 정의할 수 있는가? 즉 수직선 \(\mathbb{R}\)의 모든 부분집합의 길이라는 개념을 정의할 수 있는가? 에서 출발하였음. 즉 원래 잴 수 있는 집합이라는 의미는

• 수직선에서 길이를 잴 수 있는 집합들

이라고 생각해야함. 그렇다면 “길이”라는 개념을 다시 추상화 해야하는데 “길이”라는 개념은 아래의 원칙에 위배되면 안될 것 같음.

그림2: 위키에서 긁어온 그림. 길이는 1-4의 성질이 있어야 할 것으로 판단됨

교집합을 잴 수 없다는 논리라면, 구간 \([a_1,b_1]\)의 길이는 잴 수 있고 구간 \([a_2,b_2]\)의 길이는 잴 수 있지만 구간 \([a_1,b_1] \cap [a_2,b_2]\)의 길이는 잴 수 없다는 말인데 이는 말이되지 않음.

결론 (엄밀한 해설은 아님): “잴 수 있다” 라는 개념은 확률, 길이에 모두 적용할 수 있어야 한다. 잴 수 있는 대상을 확률로 상상하면 \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\) 인것이 당연하듯이 잴 수 있는 대상을 길이로 상상하면 \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\) 임은 당연하다.

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생각의 시간3

따라서 아래의 성질들은 모두 시그마필드가 가져아할 규칙들로 인정할 수 있다.

1. \(\Omega, \emptyset \in {\cal F}\)
2. \(\forall A \subset \Omega: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
3. \(\forall A,B \subset \Omega\) such that \(A\cap B =\emptyset\): \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}\)
4. \(\forall A,B \subset \Omega\) such that \(A \subset B\): \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}\)
5. \(\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cap B \in {\cal F}\)
6. \(\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} ~ \Rightarrow A\cup B \in {\cal F}\)
7. \(\forall B_1,B_2,\dots \subset \Omega\) such that \(B_1, B_2,\dots\) are disjoint: \(B_1,B_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal F}\)

남은건 8번의 규칙이다.

8. \(\forall A_1,A_2,\dots \subset \Omega\): \(A_1,A_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal F}\)

이 8⁵번 규칙은 사실 5⁶, 7⁷번 잘 조합하면 자동으로 이끌어진다. 즉 \((5), (7) \Rightarrow (8)\). 그 외에도 “있었으면 싶은” 규칙은 모두 1-7중 적당한 것을 섞으면 만들 수 있다. 예를들어 아래와 같은 규칙을 고려하자.

⁵ countable union

⁶ 교집합

⁷ 서로소의 countable union

9. \(\forall A,B \subset \Omega:~ A,B \in {\cal F} \Rightarrow A-B \in {\cal F}\)
10. \(\forall A,B,C \subset \Omega: A,B,C \in {\cal F} \Rightarrow A\cup B \cup C \in {\cal F}\)
11. \(\forall A_1,A_2,\dots \subset \Omega\): \(A_1,A_2,\dots \in {\cal F} \Rightarrow \cap_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal F}\)

규칙9는 규칙2⁸와 5⁹로 임플라이 할 수 있고, 규칙10은 규칙6¹⁰의 확장으로 임플라이 할 수 있고, 규칙11은 규칙 2¹¹와 7¹²로 임플라이 할 수 있다.

⁸ 여집합

⁹ 교집합

¹⁰ 2개 집합의 합집합

¹¹ 여집합

¹² 서로소의 countable union

결론: 규칙 1-8으로 시그마필드를 표현하기에 충분하다.

생각의 시간4

규칙 1-8중 필요없는 규칙을 제거하자.

1. 규칙2¹³가 있다면, 규칙1에서 공집합은 빼도 될 것 같다.

¹³ 여집합

¹⁴ countable union

¹⁵ disjoint union of two sets

¹⁶ 2개의 합집합

¹⁷ countable union of disjoint sets

2. 규칙8¹⁴이 있다면, 규칙3¹⁵, 규칙6¹⁶, 규칙7¹⁷은 필요 없다. 즉 규칙8은 규칙3,6,7의 효과를 모두 가진다.

3. 규칙2¹⁸와 규칙6¹⁹이 있다면, 규칙5²⁰는 필요없다. 따라서 규칙2²¹와 규칙8²²이 있어도 규칙5는 필요없다.

¹⁸ 여집합

¹⁹ 합집합

²⁰ 교집합

²¹ 여집합

²² countable union

²³ 여집합

²⁴ 교집합

²⁵ 포함관계의 차집합

²⁶ countable union

4. 규칙2²³와 규칙5²⁴가 있다면 규칙4²⁵는 필요없다. 그런데 규칙5는 규칙2와 규칙8²⁶이 임플라이 하므로 결국 규칙2와 규칙8이 있다면 규칙4가 필요없다.

5. 결론: 규칙1에서 공집합을 제외한 버전, 그리고 규칙2, 규칙8만 있으면 된다.

시그마필드의 정의

- 시그마필드, 즉 \(\Omega\)의 부분집합 중 “잴 수 있는 집합의 모임”은 Durret 교재에 의하여 아래와 같이 정의된다.

그림3: Durret교재에서 긁어온 시그마필드의 정의, 드래그한 부분이 정의임

- 교재에는 \(\Omega \in {\cal F}\)이라는 조건이 빠져있는데, \(\Omega \in {\cal F}\)이라는 조건을 포함하여 기억하는 것이 편리하다. (위키등에서 일반적으로 정의할때는 \(\Omega \in {\cal F}\) 조건을 포함한다) 즉 위키와 Durret을 적당히 혼합하여 아래와 같이 정의하고 기억하는게 좋다.

(Def) Let \(\Omega\) be some set, and let \(2^{\Omega}\) represent its power set. Then a subset \({\cal F} \subset 2^\Omega\) is called a \(\sigma\)-field if it satisfies the following three properties:

1. \(\Omega \in {\cal F}\)
2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
3. \(A_1,A_2,A_3\dots \in {\cal F}\) \(\Rightarrow\) \(\cup_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal F}\)

- 좀 더 편리하게 아래와 같이 기억하면 좋다.

시그마필드는 잴 수 있는 집합의 모임인데 아래와 같은 규칙을 만족해야 한다. (1) 전체집합을 포함한다. (2) 여집합에 닫혀있다. (3) 가산합집합에 닫혀있다.

- 참고1: 시그마필드라는 것은 유일하게 정의되지 않는다. 즉 동일한 \(\Omega\)에 대하여 정의할 수 있는 잴수있는 집합의 모임 \({\cal F}\)는 유일하지 않다.

- 참고2: 시그마필드는 \(\Omega\)없이 단독으로 정의되지 않는다. 즉

\[{\cal F}=\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}\]

는 단지 그냥 시그마필드라고 주장하기 보다 \(\Omega=\{H,T\}\)에 대한 시그마필드라고 해야 정확한 표현이다.

- 참고3: 참고2에 따라서 \({\cal F}\) 단독으로 표기하는 것 보다 \(\Omega\)를 붙여서 \((\Omega,{\cal F})\)와 같이 쌍으로 표기하는게 더 합리적이다. 앞으로는 이러한 쌍을 measurable space 라고 부른다.

확률의 정의

- 지금까지의 이야기.

• \(\Omega\)의 모든 부분집합에 대해서 확률을 “무모순”으로 정의하는게 엄청 쉬운일 인줄 알았는데,²⁷
• 사실은 그렇지가 않았다.²⁸ 확률을 정의하는건 매우 까다로운 일이었다.
• 이러한 까다로움을 해결하기 위해서 “르벡메져”라는 새로운 도구를 사용했다. 이 도구는 몇 가지 까다로운 집합에 대하여 확률을 무모순으로 정의할 수 있었다.
• 르벡메져는 구간 \([0,2\pi)\)의 모든 유리수 집합의 길이와 구간 \([0,2\pi)\)의 모든 무리수 집합의 길이를 다르게 정의하는 신기한 방식을 사용하는데, 이러한 방식을 납득하기 위한 최소한의 노력으로 “셀 수 있는 무한”과 “셀 수 없는 무한”의 개념을 공부했다.
• 하지만 르벡메져를 통해서도 \(\Omega\)의 모든 부분집합에 대하여 길이를 잴 수 없는 집합²⁹이 존재함이 밝혀졌다.
• 따라서 \(\Omega\)의 모든 부분집합에 대해서 확률을 “무모순”으로 정의하는 일은 포기하였다.
• 대신에 \(\Omega\)의 부분집합 중, 잴 수 있는 집합들에 대해서만 확률을 “무모순”으로 정의하는 일을 시도했다.
• 이 잴 수 있는 집합들의 모임을 시그마필드라 칭하고 기호로는 \({\cal F}\)라고 정의하였다.

²⁷ 동전예제

²⁸ 바늘이 하나 있는 시계예제

²⁹ 비탈리집합

- 이제 하고 싶은 것

시그마필드에서 확률을 정의하자! \(\Leftrightarrow\) 시그마필드를 정의역으로 하는 “확률”이라는 이름의 함수를 정의하자.

- 확률의 정의: 메져(measure)는 길이따위를 일반화한 개념이다. 확률은 메져의 특수한 형태이다.³⁰메져와 확률은 아래와 같이 정의한다.

³⁰ 메져의 조건에서 전체집합의 길이가 1이라는 제약만 있음

그림4: Durret책에서 정의한 measure와 probability measure의 정의, 드래그한 부분이 정의임.

사실 잘 따져보면 이것은 우리가 아까 위키에서 찾아본 확률의 공리와 일치한다.

그림1: 확률의 공리, 아까 위키에서 캡쳐한 것 재사용

- 중요한 것: 확률은 “함수”이고 정의역이 “시그마필드”라는 것만 기억하면 된다. 즉 아래의 사실만 잘 이해하고 기억하면 된다.

적당한 가측공간 \((\Omega, {\cal F})\)이 있다고 하자. 확률 \(P\)는 정의역이 \({\cal F}\)이며 치역이 \([0,1]\)인 함수이다.

- 암기!! \(P: {\cal F} \to [0,1]\)

확률변수의 정의 (1)

불완전한 정의

- 확률변수: \(X:\Omega \to \mathbb{R}\)인 조금 특별한 성질을 가진 함수

• 정의역: \(\Omega\)
• 치역: \(\mathbb{R}\)

(예제1) 동전예제

1. outcomes³¹: \(H\),\(T\).

³¹ outcome 자체는 집합을 의미하는게 아님

2. sample space: \(\Omega = \{H,T\}\)

3. event³²: \(\emptyset\), \(\{H\}\), \(\{T\}\), \(\{H,T\}\).

³² event는 집합을 의미

4. \(\sigma\)-field: \({\cal F}=\) \(\Omega\)의 모든 부분집합의 모임

5. probability measure function: \(P: {\cal F} \to [0,1]\) such that

• \(P(\emptyset) = 0\)
• \(P(\{H\}) = \frac{1}{2}\)
• \(P(\{T\}) = \frac{1}{2}\)
• \(P(\Omega) = 1\)

6. random variable: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that

• \(X(H)=1\)
• \(X(T)=0\)

만약에 편의상 \(\Omega=\{H,T\}=\{\omega_1,\omega_2\}\)와 같이 사용한다면

• \(X(\omega_1)=1\)
• \(X(\omega_2)=0\)

헷갈려 (1) (\(\star\star\star\))

- 질문1: 아래의 표현 중 옳은 것은?

1. \(X(H)=0\)³³
2. \(P(\{H\})=\frac{1}{2}\)³⁴
3. \(P(\{\omega_1\})=\frac{1}{2}\)³⁵
4. \(P(H)=\frac{1}{2}\)³⁶
5. \(P(\{H,T\})=1\)³⁷
6. \(P(\omega_1)=\frac{1}{2}\)³⁸

³³ O

³⁴ O

³⁵ O

³⁶ X

³⁷ O

³⁸ X

- 질문2: 질문1의 4번의 표현을 많이 본적 있다. 예를들어서 고등학교에서 두 사건의 독립에 대해 배울때 아래와 같은 방식으로 표현했었다. // 출처: 네이버 블로그

두 사건 \(A\), \(B\)에 대하여 \(P(B|A) =P(B|A^c) =P(B)\) 이면 두 사건이 독립이라고 한다~~

그렇다면 이 표현은 틀린걸까?

(해설)

여기에서 사건 \(A\), \(B\)는 event을 의미하며 outcome을 의미하는게 아님. 즉 \(A\), \(B\)는 집합임.

암기: 확률은 항상 집합을 입력으로 받아야 함!!

- 질문3(\(\star\star\star\)): 수리통계 시간에서 아래와 같은 표현 본 적 있다.

\[P(X=1)=\frac{1}{2}\]

그런데 \(P\)의 입력으로는 집합이 들어가야하는데, \(X=1\)은 그냥 수식임. 그렇다면 이 표현은 틀린 표현일까??

(해설)

사실 \(P(X=1)\)의 의미는 아래와 같은 표현의 축약형이다.

\[P\big(\{\omega: X(\omega)=1 \} \big)\]

\(\{\omega: X(\omega)=1\} = \{\omega_1\} = \{H\}\) 를 의미하므로 결국

\[P(X=1)=P(\{\omega: X(\omega)=1\})=P(\{H\})\]

이 된다. 따라서 옳은 표현이다.

확률변수에 대한 통찰 (1)

- 아래와 같은 표현을 다시 관찰하자.

\[P(X=1)=P(\{\omega: X(\omega)=1\})=P(\{H\})\]

통찰1. 확률변수가 “함수”라는 사실을 떠올리고 \(1\)이라는 값이 확률변수의 “상(image)” 라는 사실을 떠올리면, \(\{\omega: X(\omega)=1\}\)은 1에 대한 “역상(inverse image)”이라고 해석할 수 있다.³⁹

³⁹ 참고로 image는 수학책에서 3가지 뜻으로 혼용해서 쓰이는데, 이 문맥에서는 “Image of an element”를 의미함. ref

통찰2. 확률변수의 상은 \(\mathbb{R}\)에 맺히게 되고, 확률변수의 역상은 \(\Omega\)의 부분집합 중 하나에 맺히게 된다.

통찰3. 문제는 확률변수의 역상이 항상 잴 수 있는 집합에 맺힌다는 보장이 있냐라는 것이다… 즉 이 예제로 한정하면

\[\{\omega: X(\omega)=1\} \in {\cal F}\]

임을 보장해야 한다는 것이다.

통찰4. 당연히 이러한 보장을 할 수는 없어보인다. 따라서 \(X\)를 단지 그냥

• \(X: \mathbb{\Omega} \to \mathbb{R}\)로 가는 함수

가 아니라

• \(X: \mathbb{\Omega} \to \mathbb{R}\)로 가는 함수 & 역상이 항상 잴 수 있는 집합이어야 함.

이라는 조건이 필요하다.

- 역상이 잴 수 있는 집합인 함수를 간단히 잴 수 있는 함수 (measurable function) 라고 한다.