04wk-2: 측도론 intro (6)

최규빈

2023-03-28

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-x7Z5LJZOG4At6NWHs757XG

Appendix

셀 수 있는

- 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합.

• countable: finite, countable many
• uncountable: uncountable many

- 예시1: countable set, uncountable set

• $\{1,2,3,4,5\}$는 셀 수 있는 집합이다.
• $\mathbb{N}$은 셀 수 있는 집합이다.
• $\mathbb{Z}$는 셀 수 있는 집합이다.
• $\mathbb{Q}$는 셀 수 있는 집합이다.
• $\mathbb{R}$은 셀 수 없는 집합이다.

- 예시2: countable sum: 아래는 모두 countable sum을 의미한다.

• $\sum _{i=1}^n{a}_i$.
• $\sum _{i\in I}{a}_i$, where $I=\{1,2,3,\dots ,10\}$.
• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$, $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$.
• $\sum _{i\in \mathbb{N}}{a}_i$.
• $\sum _{x\in \mathbb{Q}}m(\{x\})$, where $m$ is Lebesgue measure

- 예시3: countable union: 아래는 countalbe union을 의미한다.

• ${\cup }_{i=1}^n{A}_i$
• ${\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$
• ${\cup }_{x\in \mathbb{Q}}\{x\}$

- 예시4: 아래는 uncountable sum을 의미한다.

• $\sum _{x\in [0,1]}m(\{x\})$, where $m$ is Lebesgue measure

- 예시5: 아래는 uncountable union을 의미한다.

• ${\cup }_{x\in [0,1]}\{x\}$

여러가지 집합

집합 ($\mathbb{R}$의 부분집합)	카디널리티	분류	르벡메져
$\{1,2,3\}$	3	가산집합	0
$\mathbb{N}$	${\mathrm{\aleph }}_0$	가산집합	0
$\mathbb{Z}$	${\mathrm{\aleph }}_0$	가산집합	0
$\mathbb{Q}$	${\mathrm{\aleph }}_0$	가산집합	0
$[0,1]$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	1
$[0,1]\cap \mathbb{Q}$	${\mathrm{\aleph }}_0$	가산집합	0
$[0,1]\cup \mathbb{Q}$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	1
$[0,1]\cap {\mathbb{Q}}^c$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	1
$[0,\mathrm{\infty })$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	$\mathrm{\infty }$
비탈리집합	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	NA
칸토어집합	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$	비가산집합	0

확률변수의 정의 (2)

확률변수의 엄밀한 정의

- 확률변수 (머리속): $X:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ 인 잴 수 있는 함수.

- 확률변수 (엄밀하게): 두 개의 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$와 $(\mathbb{R},\mathcal{R})$이 있다고 하자. 확률변수 $X$는 아래를 만족하는 함수 $X:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ 이다.

$$\mathrm{\forall }B\in \mathcal{R}:X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}\in \mathcal{F}$$

Note1: $\{\omega :X(\omega )\in B\}\in \mathcal{F}$ for all $B\in \mathcal{R}$ 이라 쓰기도 함. 쓰는사람 마음~

Note2: $\mathcal{R}$은 Borel sets라고 부른다. 의미는 $\mathbb{R}$의 부분집합중 잴 수 있는 부분집합의 모임이라는 뜻이다. (즉 $\mathcal{F}$의 의미와 같다) $\mathcal{B}$의 원소는 Borel set이라고 부른다.

- 왜 정의가 아래와 같지 않을까?

$$\mathrm{\forall }B\subset \mathbb{R}:X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}\in \mathcal{F}$$

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위의 질문을 위한 보충학습

(예제) 바늘이 하나 있는 시계

1. outcomes: $0,1,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{5},\pi \dots$

2. sample space: $\mathrm{\Omega }=(0,2\pi ]$

3. event: $\mathrm{\varnothing }$, $[0,\frac{2}{\pi })$, $\{2\pi \}$, $\dots$

4. $\sigma$-field: $\mathcal{F}$. $\mathrm{\Omega }$의 부분집합 중 잴 수 있는 집합의 모임.

5. probability measure function: $P:\mathrm{\Omega }\to [0,1]$ such that

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$
• $P([0,\frac{2}{\pi })=\frac{1}{4}$
• $P(\{2\pi \})=0$
• $P(\mathrm{\Omega })=1$

6. random variable: $X:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ such that $X(\omega )=\omega$. // 사실 $X:(0,2\pi ]\to (0,2\pi ]$

6을 주목하자. 만약에 비탈리집합 $V\subset \mathbb{R}$에 대한 inverse image는 비탈리집합 그 자체가 된다. 따라서 아래와 같이 된다.

$$P(X\in V)=P(\{\omega :X(\omega )\in V\})=P(V)$$

$V$는 잴 수 없는 집합이므로 $P(V)$와 같은 표현을 불가함.

결론: 확률변수 $X$를 고려할때 정의역의 치역 양쪽의 measurable space를 고려해야함.

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- 교재의 정의1

그림1: Durret에서 긁어온 확률변수의 정의

- 교재의 정의2

그림2: Durret에서 긁어온 확률변수의 정의2

- $X$가 랜덤변수라는 것을 기호로 간단하게 $X\in \mathcal{F}$ 혹은 $X:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$라고 쓴다.

사실 $X:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$은 $X$가 잴 수 있는 함수 (measurable function, measurable map) 임을 나타내는 기호이다.

- “$X$를 확률변수라고 하자.” 라는 의미? 지금 까지 해온 모든 논의가 압축된 표현…

• 확률이라는건 원래 모든 $\mathrm{\Omega }$에서는 잘 정의되지 않음.
• 그래도 $\mathrm{\Omega }$의 부분집합중 잴 수 있는 집합이라는 것이 있는데 그게 $\mathcal{F}$야.
• 이 두개를 세트로 묶어서 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 이라고 하고 이를 잴 수 있는 공간이라고 하자.
• 이 잴 수 있는 공간 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$ 에서는 이제 확률 $P$를 정의 할 수 있어.
• 한편 $\mathrm{\Omega }$의 원소는 숫자로 되어있지 않으니까 이를 숫자화시키는 어떠한 함수가 필요한데 이것을 우리는 $X$라고 할 것임.
• 그런데 $P(X=1)$와 같은 표현이 가능하려면 $X$의 inverse image가 $\mathcal{F}$의 원소이어야 하는데 이게 항상 가능한 것은 아니므로 $X$를 잴 수 있는 함수라고 추가가정 해야 함.

“$X$를 확률변수라고 하자” 라고 선언하는 것은 아래의 효과를 가진다. (1) $\mathrm{\Omega }$에 대응하는 $\mathcal{F}$가 잘 정의되어 있다고 하자. (2) $P$ 역시 잘 정의되어 있다고 하자. (3) $\mathbb{R}$와 $\mathcal{R}$이 잘 정의되어 있다고 하자. (4) $X:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{R})$ 이 잘 정의되어 있다고 하자.

헷갈려 (2) ($\star \star \star$)

- 확률변수에 대한 오해1: 학률변수 = 값이 랜덤으로 바뀌는 변수??

• 함수: $y=f(x)$, $f$: function, $x$: input $y$: output
• 확률변수: $x=X(\omega )$, $X$: function, $\omega$: outcome¹, $x$: realization
• 확률변수는 함수이지만 보통 $X(\omega )$와 같이 쓰지 않고 $X$라고 쓴다. $\Rightarrow$ 혼란의 이유

¹ 입력인데 outcome임, 여기서부터 너무 헷갈려!!

- 확률변수에 대한 오해2: 확률변수는 결과가 랜덤으로 변한다??

• 확률변수는 함수일 뿐임. 입력이 정해지면 출력이 고정임!
• 동전예제: 입력이 $\omega =H$이면 출력은 $X(\omega )=1$, 입력이 $\omega =T$이면 출력은 $X(\omega )=0$으로 고정임!

- 확률변수에 대한 오해3: 아니야.. 확률변수는 결과가 랜덤으로 바뀌는 느낌이 맞아. 아래의 예시를 봐!

$$X=\{\begin{array}{ll}0& w.p.\frac{1}{2}\\ 1& w.p.\frac{1}{2}\end{array}$$

• $X$는 진짜 변수처럼 보이긴함.
• 심지어 변수의 값이 랜덤으로 변하는 것 같음.

(해설)

정확하게는 아래 표현이 맞다.

$$X(\omega )=\{\begin{array}{ll}0& \omega \in \{H\}\\ 1& \omega \in \{T\}\end{array}\text{where }P(\{H\})=P(\{T\})=\frac{1}{2}.$$

- 확률변수에 대한 오해2에 대한 추가설명

• 확률변수는 결과가 랜덤으로 변하는 함수가 아님, 확률변수는 함수일 뿐임. 입력이 정해지면 출력이 고정임!
• 동전예제: 입력이 $\omega =H$이면 출력은 $X(\omega )=1$, 입력이 $\omega =T$이면 출력은 $X(\omega )=0$으로 고정임!
• 단지 입력 outcome이 실험에 따라 랜덤으로 변할 수 있는 것임!!

- 요약해보면,

1. 확률변수는 확률과 관련없다.
2. 간접적으로는 관련이 있다. $\because$ X의 역상 = $\mathrm{\Omega }$의 부분집합 = $P$의 정의역

- 표현연습: $P(X=1),P(X\in \{0,1\}),\dots ...$