03wk-2: 측도론 intro (4)
2023-03-21
강의영상
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시그마필드 motivation (1)
(예제1) – 잴 수 있는 집합의 모임
\(\Omega=\{H,T\}\)라고 하자. 아래집합들은 모두 확률을 정의할 수 있는 집합들이다.
\[\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\]
따라서 \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다면 묶음 \({\cal F}\)가 합리적일 것이다.
\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\big\}\]
이때 \({\cal F}\)는 집합들의 집합인데, 이러한 집합을 collection 이라고 한다.
(예제2) – 집합 \(A\)를 잴 수 있다면, 집합 \(A^c\)도 잴 수 있어~
\(\Omega=\{H,T\}\)라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다면 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이지 않다.
\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \Omega\big\}\]
(해설1)
이러한 묶음이 의미하는건 “앞면이 나올 확률은 모순없이 정의할 수 있지만, 뒷면이 나오는 확률은 모순없이 정의하는게 불가능해~” 라는 뜻이다. 그런데 뒷면이 나올 확률은 “1-앞면이 나올 확률” 로 모순없이 정의할 수 있으므로 “앞면이 나올 확률이 모순없이 정의되면서” 동시에 “뒷면이 나올 확률이 모순없이 정의되지 않는” 상황은 없다.
(해설2)
\(\Omega\)의 어떠한 부분집합 \(A\)에 확률이 모순없이 정의된다면 그 집합의 여집합인 \(A^c\)에 대하여서도 확률이 모순없이 정의되어야 한다.
\(\Leftrightarrow\) \(\forall A \subset {\Omega}: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
(예제3) – 전체집합이 잴 수 있는 집합이니까 공집합도 잴 수 있는 집합이야
\(\Omega=\{H,T\}\)라고 하자. \({\cal F}\)를 아래와 같이 정의한다면 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이지 않다.
\[{\cal F}=\big\{ \{H\}, \{T\}, \Omega\big\}\]
(해설)
전체집합의 확률은 \(P(\Omega)=1\)로 정의할 수 있다. 그런데 전체집합의 여집합인 공집합의 확률을 정의할 수 없는건 말이 안되므로 공집합은 \(\cal F\)에 포함되어야 한다.
(예제4) – 원소의 수가 유한한 경우 \({\cal F}=2^\Omega\)은 잴 수 있는 집합의 모임이야.
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음은 \({\cal F}\)은 합리적이다.
\[{\cal F}=\text{all subset of $\Omega$}= 2^\Omega = \big\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \dots, \{6\}, \dots, \{1,2,3,4,5\} \dots \Omega\big\}\]
(해설)
\(\Omega\)의 모든 부분집합에 대하여 확률을 모순없이 정의할 수 있다. 예를들면
- \(P(\Omega)=1\), \(P(\emptyset)=0\)
- \(P(\{1\})=\frac{1}{6}\)
- \(P(\{1,2,4\})=\frac{3}{6}\)
- \(P(\{2,3,4,5,6\})=\frac{5}{6}\)
- \(\dots\)
이런식으로 정의할 수 있다.
(예제5) – 동일한 \(\Omega\)에 대하여 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\)는 유니크하지 않음.
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이다.
\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{6\}, \{1,2,3,4,5\},\Omega \big\}\]
(해설)
어떠한 특수한 상황을 가정하자. 주사위를 던져야하는데 6이 나오면 살수 있고 6이 나오지 않으면 죽는다고 하자. 따라서 던지는 사람 입장에서는 주사위를 던져서 6이 나오는지 안나오는지만 관심있을 것이다. 이 사람의 머리속에서 순간적으로 떠오르는 확률들은 아래와 같다.1
1 공평한 주사위라고 하자..
- 살수있다 => 1/6
- 죽는다 => 5/6
- 살거나 죽는다 => 1
- 살지도 죽지도 않는다 => 0
이러한 확률은 합리적이다. 즉 아래의 집합들만 확률을 정의한다고 해도, 확률을 잘 정의할 수 있을 것 같다.
\[\emptyset, \{6\}, \{1,2,3,4,5\}, \Omega\]
(예제6) – \(\Omega\)를 어떠한 사건의 집합으로 보느냐에 따라서 \({\cal F}\)를 달리 구성할 수 있다.
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이다.
\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{1,3,5\}, \{2,4,6\},\Omega \big\}\]
(해설)
전체사건을 “주사위를 던져서 짝이 나오는 사건”, “주사위를 던져서 홀이 나오는 사건” 정도만 구분하겠다는 의미
(예제7) – \(A\in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이지 않다.
\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{1,3,5\}, \Omega \big\}\]
(해설)
“주사위를 던져서 홀수가 나올 사건”에 대한 확률을 정의할 수 있는데, 짝수가 나올 사건에 대한 확률을 정의할 수 없다는건 말이 안되는 소리임.
(예제8) – trivial \(\sigma\)-field
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이다.
\[{\cal F}=\{\emptyset, \Omega \}\]
(해설)
아예 이렇게 잡으면 모순이 일어나진 않음. (쓸모가 없겠지)
(예제9) – 서로소인 두 집합의 합, 포함관계에 있는 집합의 차
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 어떠한 필요에 따라서 1이 나올 확률과 2가 나올 확률에만 관심이 있고 나머지는 별로 관심이 없다고 하자. 그래서 \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의했다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이지 않다.
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \}\]
(해설1)
\({\cal F}\)은 전체집합과 공집합을 포함하고 여집합에 닫혀있으므로 언뜻 생각해보면 합리적인듯 보이지만 그렇지 않다. 왜냐하면 \(\{1,2\}\)이 빠졌기 때문이다. 1이 나올 확률 \(P(\{1\})\)와 2가 나올 확률 \(P(\{2\})\)를 각각 정의할 수 있는데, 1 또는 2가 나올 확률 \(P(\{1,2\})\)을 정의할 때 모순이 발생한다는 것은 합리적이지 못하다. 왜냐하면 \(\{1\} \cap \{2\} = \emptyset\) 이므로
\[P(\{1\} \cup \{2\})=P(\{1\}) + P(\{2\})\]
와 같이 정의가능하기 때문이다. 따라서 집합이 아래와 같이 수정되어야 한다.
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\} \}\]
(해설2)
생각해보니까 \(\{2\}\)는 \(\{2,3,4\}\)의 부분집합이다. 그런데 \(P(\{2\})\)와 \(P(\{2,3,4\})\)를 각각 정의할 수 있는데
\[P(\{2,3,4\} - \{2\}) = P(\{3,4\})\]
를 정의할 수 없는건 말이 안된다. 따라서 \({\cal F}\)를 아래와 같이 수정해야 한다.
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{3,4\}, \{1,2\} \}\]
(해설3)
\(\Omega\)의 어떠한 두 부분집합 \(A\), \(B\)가 서로소라고 상상하자. 집합 \(A\), \(B\)에 대한 확률이 각각 무모순으로 정의된다면, 집합 \(A\cup B\)에 대한 확률도 무모순으로 정의되어야 한다.
\(\Leftrightarrow\) \(\forall A,B \subset \Omega\) such that \(A \cap B =\emptyset\): \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}\)
또한 \(\Omega\)의 임의의 두 부분집합이 \(A \subset B\)와 같은 포함관계가 성립할때, 집합 \(A\), \(B\)에 대한 확률이 각각 무모순으로 정의된다면, 집합 \(B-A\)에 대한 확률로 무모순으로 정의되어야 한다.
\(\Leftrightarrow\) \(\forall A,B \subset \Omega\) such that \(A \subset B\): \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}\)
(예제10) – \({\cal A}=\{\{1\},\{2\}\}\) 일때, \(\sigma({\cal A})\) 를 구하는 문제
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심이 있는 확률은 \(P(\{1\})\), \(P(\{2\})\) 밖에 없다고 하자. 이러한 확률들이 무모순으로 정의되기 위한 최소한의 \({\cal F}\)를 정의하라.
(해설) – 좀 귀찮네..?
0차수정: \({\cal A} = \big\{\{1\}, \{2\}\big\}\)
1차수정: \(\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \Omega \big\}\)
2차수정: \(\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \big\}\)
3차수정: \(\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\} \big\}\)
사실 우리가 관심 있는건 \({\cal A} = \{ \{1\}, \{2\} \}\) 뿐 이었음. 그런데 뭔가 \(P(\{1\})\)와 \(P(\{2\})\)를 합리적으로 정의하기 위해서 필연적으로 발생하는 어떠한 집합들을 모두 생각하는건 매우 피곤하고 귀찮은 일임. 그래서 “아 모르겠고, \(\{1\}\) 와 \(\{2\}\)를 포함하고 확률의 뜻에 모순되지 않게 만드는 최소한의 \({\cal F}\)가 있을텐데, 거기서만 확률을 정의할래!” 라고 쉽게 생각하고 싶은 사람들이 생김. 그러한 공간을 \(\sigma({\cal A})\)라는 기호로 약속하고 smallest \(\sigma\)-field containing \({\cal A}\) 라는 용어로 부름.