03wk-2: 측도론 intro (4)

최규빈

2023-03-21

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-yaBxW0S3fsO1d-kYIqZa62

시그마필드 motivation (1)

(예제1) – 잴 수 있는 집합의 모임

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$라고 하자. 아래집합들은 모두 확률을 정의할 수 있는 집합들이다.

$$\mathrm{\varnothing },\{H\},\{T\},\mathrm{\Omega }$$

따라서 $\mathcal{F}$을 아래와 같이 정의한다면 묶음 $\mathcal{F}$가 합리적일 것이다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{H\},\{T\},\mathrm{\Omega }\}$$

이때 $\mathcal{F}$는 집합들의 집합인데, 이러한 집합을 collection 이라고 한다.

(예제2) – 집합 $A$를 잴 수 있다면, 집합 $A^c$도 잴 수 있어~

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$라고 하자. $\mathcal{F}$을 아래와 같이 정의한다면 묶음 $\mathcal{F}$는 합리적이지 않다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{H\},\mathrm{\Omega }\}$$

(해설1)

이러한 묶음이 의미하는건 “앞면이 나올 확률은 모순없이 정의할 수 있지만, 뒷면이 나오는 확률은 모순없이 정의하는게 불가능해~” 라는 뜻이다. 그런데 뒷면이 나올 확률은 “1-앞면이 나올 확률” 로 모순없이 정의할 수 있으므로 “앞면이 나올 확률이 모순없이 정의되면서” 동시에 “뒷면이 나올 확률이 모순없이 정의되지 않는” 상황은 없다.

(해설2)

$\mathrm{\Omega }$의 어떠한 부분집합 $A$에 확률이 모순없이 정의된다면 그 집합의 여집합인 $A^c$에 대하여서도 확률이 모순없이 정의되어야 한다.

$\iff$ $\mathrm{\forall }A\subset \mathrm{\Omega }:A\in \mathcal{F}\Rightarrow A^c\in \mathcal{F}$

(예제3) – 전체집합이 잴 수 있는 집합이니까 공집합도 잴 수 있는 집합이야

$\mathrm{\Omega }=\{H,T\}$라고 하자. $\mathcal{F}$를 아래와 같이 정의한다면 묶음 $\mathcal{F}$는 합리적이지 않다.

$$\mathcal{F}=\{\{H\},\{T\},\mathrm{\Omega }\}$$

(해설)

전체집합의 확률은 $P(\mathrm{\Omega })=1$로 정의할 수 있다. 그런데 전체집합의 여집합인 공집합의 확률을 정의할 수 없는건 말이 안되므로 공집합은 $\mathcal{F}$에 포함되어야 한다.

(예제4) – 원소의 수가 유한한 경우 $\mathcal{F}=2^{\mathrm{\Omega }}$은 잴 수 있는 집합의 모임이야.

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. $\mathcal{F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음은 $\mathcal{F}$은 합리적이다.

$$\mathcal{F}=\text{all subset of }\mathrm{\Omega }=2^{\mathrm{\Omega }}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\dots ,\{6\},\dots ,\{1,2,3,4,5\}\dots \mathrm{\Omega }\}$$

(해설)

$\mathrm{\Omega }$의 모든 부분집합에 대하여 확률을 모순없이 정의할 수 있다. 예를들면

• $P(\mathrm{\Omega })=1$, $P(\mathrm{\varnothing })=0$
• $P(\{1\})=\frac{1}{6}$
• $P(\{1,2,4\})=\frac{3}{6}$
• $P(\{2,3,4,5,6\})=\frac{5}{6}$
• $\dots$

이런식으로 정의할 수 있다.

(예제5) – 동일한 $\mathrm{\Omega }$에 대하여 잴 수 있는 집합의 모임 $\mathcal{F}$는 유니크하지 않음.

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. $\mathcal{F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 $\mathcal{F}$는 합리적이다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{6\},\{1,2,3,4,5\},\mathrm{\Omega }\}$$

(해설)

어떠한 특수한 상황을 가정하자. 주사위를 던져야하는데 6이 나오면 살수 있고 6이 나오지 않으면 죽는다고 하자. 따라서 던지는 사람 입장에서는 주사위를 던져서 6이 나오는지 안나오는지만 관심있을 것이다. 이 사람의 머리속에서 순간적으로 떠오르는 확률들은 아래와 같다.¹

¹ 공평한 주사위라고 하자..

• 살수있다 => 1/6
• 죽는다 => 5/6
• 살거나 죽는다 => 1
• 살지도 죽지도 않는다 => 0

이러한 확률은 합리적이다. 즉 아래의 집합들만 확률을 정의한다고 해도, 확률을 잘 정의할 수 있을 것 같다.

$$\mathrm{\varnothing },\{6\},\{1,2,3,4,5\},\mathrm{\Omega }$$

(예제6) – $\mathrm{\Omega }$를 어떠한 사건의 집합으로 보느냐에 따라서 $\mathcal{F}$를 달리 구성할 수 있다.

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. $\mathcal{F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 $\mathcal{F}$는 합리적이다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{1,3,5\},\{2,4,6\},\mathrm{\Omega }\}$$

(해설)

전체사건을 “주사위를 던져서 짝이 나오는 사건”, “주사위를 던져서 홀이 나오는 사건” 정도만 구분하겠다는 의미

(예제7) – $A\in \mathcal{F}\Rightarrow A^c\in \mathcal{F}$

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. $\mathcal{F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 $\mathcal{F}$는 합리적이지 않다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{1,3,5\},\mathrm{\Omega }\}$$

(해설)

“주사위를 던져서 홀수가 나올 사건”에 대한 확률을 정의할 수 있는데, 짝수가 나올 사건에 대한 확률을 정의할 수 없다는건 말이 안되는 소리임.

(예제8) – trivial $\sigma$-field

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. $\mathcal{F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 $\mathcal{F}$는 합리적이다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$$

(해설)

아예 이렇게 잡으면 모순이 일어나진 않음. (쓸모가 없겠지)

(예제9) – 서로소인 두 집합의 합, 포함관계에 있는 집합의 차

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 어떠한 필요에 따라서 1이 나올 확률과 2가 나올 확률에만 관심이 있고 나머지는 별로 관심이 없다고 하자. 그래서 $\mathcal{F}$을 아래와 같이 정의했다고 하자. 이러한 묶음 $\mathcal{F}$는 합리적이지 않다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\mathrm{\Omega }\}$$

(해설1)

$\mathcal{F}$은 전체집합과 공집합을 포함하고 여집합에 닫혀있으므로 언뜻 생각해보면 합리적인듯 보이지만 그렇지 않다. 왜냐하면 $\{1,2\}$이 빠졌기 때문이다. 1이 나올 확률 $P(\{1\})$와 2가 나올 확률 $P(\{2\})$를 각각 정의할 수 있는데, 1 또는 2가 나올 확률 $P(\{1,2\})$을 정의할 때 모순이 발생한다는 것은 합리적이지 못하다. 왜냐하면 $\{1\}\cap \{2\}=\mathrm{\varnothing }$ 이므로

$$P(\{1\}\cup \{2\})=P(\{1\})+P(\{2\})$$

와 같이 정의가능하기 때문이다. 따라서 집합이 아래와 같이 수정되어야 한다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\mathrm{\Omega },\{1,2\},\{3,4\}\}$$

(해설2)

생각해보니까 $\{2\}$는 $\{2,3,4\}$의 부분집합이다. 그런데 $P(\{2\})$와 $P(\{2,3,4\})$를 각각 정의할 수 있는데

$$P(\{2,3,4\}-\{2\})=P(\{3,4\})$$

를 정의할 수 없는건 말이 안된다. 따라서 $\mathcal{F}$를 아래와 같이 수정해야 한다.

$$\mathcal{F}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\mathrm{\Omega },\{3,4\},\{1,2\}\}$$

(해설3)

$\mathrm{\Omega }$의 어떠한 두 부분집합 $A$, $B$가 서로소라고 상상하자. 집합 $A$, $B$에 대한 확률이 각각 무모순으로 정의된다면, 집합 $A\cup B$에 대한 확률도 무모순으로 정의되어야 한다.

$\iff$ $\mathrm{\forall }A,B\subset \mathrm{\Omega }$ such that $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$: $A,B\in \mathcal{F}\Rightarrow A\cup B\in \mathcal{F}$

또한 $\mathrm{\Omega }$의 임의의 두 부분집합이 $A\subset B$와 같은 포함관계가 성립할때, 집합 $A$, $B$에 대한 확률이 각각 무모순으로 정의된다면, 집합 $B-A$에 대한 확률로 무모순으로 정의되어야 한다.

$\iff$ $\mathrm{\forall }A,B\subset \mathrm{\Omega }$ such that $A\subset B$: $A,B\in \mathcal{F}\Rightarrow B-A\in \mathcal{F}$

(예제10) – $\mathcal{A}=\{\{1\},\{2\}\}$ 일때, $\sigma (\mathcal{A})$ 를 구하는 문제

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 내가 관심이 있는 확률은 $P(\{1\})$, $P(\{2\})$ 밖에 없다고 하자. 이러한 확률들이 무모순으로 정의되기 위한 최소한의 $\mathcal{F}$를 정의하라.

(해설) – 좀 귀찮네..?

0차수정: $\mathcal{A}=\{\{1\},\{2\}\}$

1차수정: $\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\mathrm{\Omega }\}$

2차수정: $\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\mathrm{\Omega }\}$

3차수정: $\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\mathrm{\Omega },\{1,2\},\{3,4\}\}$

사실 우리가 관심 있는건 $\mathcal{A}=\{\{1\},\{2\}\}$ 뿐 이었음. 그런데 뭔가 $P(\{1\})$와 $P(\{2\})$를 합리적으로 정의하기 위해서 필연적으로 발생하는 어떠한 집합들을 모두 생각하는건 매우 피곤하고 귀찮은 일임. 그래서 “아 모르겠고, $\{1\}$ 와 $\{2\}$를 포함하고 확률의 뜻에 모순되지 않게 만드는 최소한의 $\mathcal{F}$가 있을텐데, 거기서만 확률을 정의할래!” 라고 쉽게 생각하고 싶은 사람들이 생김. 그러한 공간을 $\sigma (\mathcal{A})$라는 기호로 약속하고 smallest $\sigma$-field containing $\mathcal{A}$ 라는 용어로 부름.