03wk-2: 측도론 intro (4)

최규빈

2023-03-21

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-yaBxW0S3fsO1d-kYIqZa62

시그마필드 motivation (1)

(예제1) – 잴 수 있는 집합의 모임

$\Omega=\{H,T\}$라고 하자. 아래집합들은 모두 확률을 정의할 수 있는 집합들이다.

\[\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\]

따라서 ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다면 묶음 ${\cal F}$가 합리적일 것이다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\big\}\]

이때 ${\cal F}$는 집합들의 집합인데, 이러한 집합을 collection 이라고 한다.

(예제2) – 집합 $A$를 잴 수 있다면, 집합 $A^c$도 잴 수 있어~

$\Omega=\{H,T\}$라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다면 묶음 ${\cal F}$는 합리적이지 않다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \Omega\big\}\]

(해설1)

이러한 묶음이 의미하는건 “앞면이 나올 확률은 모순없이 정의할 수 있지만, 뒷면이 나오는 확률은 모순없이 정의하는게 불가능해~” 라는 뜻이다. 그런데 뒷면이 나올 확률은 “1-앞면이 나올 확률” 로 모순없이 정의할 수 있으므로 “앞면이 나올 확률이 모순없이 정의되면서” 동시에 “뒷면이 나올 확률이 모순없이 정의되지 않는” 상황은 없다.

(해설2)

$\Omega$의 어떠한 부분집합 $A$에 확률이 모순없이 정의된다면 그 집합의 여집합인 $A^c$에 대하여서도 확률이 모순없이 정의되어야 한다.

$\Leftrightarrow$ $\forall A \subset {\Omega}: ~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$

(예제3) – 전체집합이 잴 수 있는 집합이니까 공집합도 잴 수 있는 집합이야

$\Omega=\{H,T\}$라고 하자. ${\cal F}$를 아래와 같이 정의한다면 묶음 ${\cal F}$는 합리적이지 않다.

\[{\cal F}=\big\{ \{H\}, \{T\}, \Omega\big\}\]

(해설)

전체집합의 확률은 $P(\Omega)=1$로 정의할 수 있다. 그런데 전체집합의 여집합인 공집합의 확률을 정의할 수 없는건 말이 안되므로 공집합은 $\cal F$에 포함되어야 한다.

(예제4) – 원소의 수가 유한한 경우 ${\cal F}=2^\Omega$은 잴 수 있는 집합의 모임이야.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음은 ${\cal F}$은 합리적이다.

\[{\cal F}=\text{all subset of $\Omega$}= 2^\Omega = \big\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \dots, \{6\}, \dots, \{1,2,3,4,5\} \dots \Omega\big\}\]

(해설)

$\Omega$의 모든 부분집합에 대하여 확률을 모순없이 정의할 수 있다. 예를들면

$P(\Omega)=1$, $P(\emptyset)=0$
$P(\{1\})=\frac{1}{6}$
$P(\{1,2,4\})=\frac{3}{6}$
$P(\{2,3,4,5,6\})=\frac{5}{6}$
$\dots$

이런식으로 정의할 수 있다.

(예제5) – 동일한 $\Omega$에 대하여 잴 수 있는 집합의 모임 ${\cal F}$는 유니크하지 않음.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{6\}, \{1,2,3,4,5\},\Omega \big\}\]

(해설)

어떠한 특수한 상황을 가정하자. 주사위를 던져야하는데 6이 나오면 살수 있고 6이 나오지 않으면 죽는다고 하자. 따라서 던지는 사람 입장에서는 주사위를 던져서 6이 나오는지 안나오는지만 관심있을 것이다. 이 사람의 머리속에서 순간적으로 떠오르는 확률들은 아래와 같다.¹

¹ 공평한 주사위라고 하자..

살수있다 => 1/6
죽는다 => 5/6
살거나 죽는다 => 1
살지도 죽지도 않는다 => 0

이러한 확률은 합리적이다. 즉 아래의 집합들만 확률을 정의한다고 해도, 확률을 잘 정의할 수 있을 것 같다.

\[\emptyset, \{6\}, \{1,2,3,4,5\}, \Omega\]

(예제6) – $\Omega$를 어떠한 사건의 집합으로 보느냐에 따라서 ${\cal F}$를 달리 구성할 수 있다.

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{1,3,5\}, \{2,4,6\},\Omega \big\}\]

(해설)

전체사건을 “주사위를 던져서 짝이 나오는 사건”, “주사위를 던져서 홀이 나오는 사건” 정도만 구분하겠다는 의미

(예제7) – $A\in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}$

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이지 않다.

\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{1,3,5\}, \Omega \big\}\]

(해설)

“주사위를 던져서 홀수가 나올 사건”에 대한 확률을 정의할 수 있는데, 짝수가 나올 사건에 대한 확률을 정의할 수 없다는건 말이 안되는 소리임.

(예제8) – trivial $\sigma$-field

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$이라고 하자. ${\cal F}$을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이다.

\[{\cal F}=\{\emptyset, \Omega \}\]

(해설)

아예 이렇게 잡으면 모순이 일어나진 않음. (쓸모가 없겠지)

(예제9) – 서로소인 두 집합의 합, 포함관계에 있는 집합의 차

$\Omega=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 어떠한 필요에 따라서 1이 나올 확률과 2가 나올 확률에만 관심이 있고 나머지는 별로 관심이 없다고 하자. 그래서 ${\cal F}$을 아래와 같이 정의했다고 하자. 이러한 묶음 ${\cal F}$는 합리적이지 않다.

\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \}\]

(해설1)

${\cal F}$은 전체집합과 공집합을 포함하고 여집합에 닫혀있으므로 언뜻 생각해보면 합리적인듯 보이지만 그렇지 않다. 왜냐하면 $\{1,2\}$이 빠졌기 때문이다. 1이 나올 확률 $P(\{1\})$와 2가 나올 확률 $P(\{2\})$를 각각 정의할 수 있는데, 1 또는 2가 나올 확률 $P(\{1,2\})$을 정의할 때 모순이 발생한다는 것은 합리적이지 못하다. 왜냐하면 $\{1\} \cap \{2\} = \emptyset$ 이므로

\[P(\{1\} \cup \{2\})=P(\{1\}) + P(\{2\})\]

와 같이 정의가능하기 때문이다. 따라서 집합이 아래와 같이 수정되어야 한다.

\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\} \}\]

(해설2)

생각해보니까 $\{2\}$는 $\{2,3,4\}$의 부분집합이다. 그런데 $P(\{2\})$와 $P(\{2,3,4\})$를 각각 정의할 수 있는데

\[P(\{2,3,4\} - \{2\}) = P(\{3,4\})\]

를 정의할 수 없는건 말이 안된다. 따라서 ${\cal F}$를 아래와 같이 수정해야 한다.

\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{3,4\}, \{1,2\} \}\]

(해설3)

$\Omega$의 어떠한 두 부분집합 $A$, $B$가 서로소라고 상상하자. 집합 $A$, $B$에 대한 확률이 각각 무모순으로 정의된다면, 집합 $A\cup B$에 대한 확률도 무모순으로 정의되어야 한다.

$\Leftrightarrow$ $\forall A,B \subset \Omega$ such that $A \cap B =\emptyset$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cup B \in {\cal F}$

또한 $\Omega$의 임의의 두 부분집합이 $A \subset B$와 같은 포함관계가 성립할때, 집합 $A$, $B$에 대한 확률이 각각 무모순으로 정의된다면, 집합 $B-A$에 대한 확률로 무모순으로 정의되어야 한다.

$\Leftrightarrow$ $\forall A,B \subset \Omega$ such that $A \subset B$: $A,B \in {\cal F} \Rightarrow B-A \in {\cal F}$

(예제10) – ${\cal A}=\{\{1\},\{2\}\}$ 일때, $\sigma({\cal A})$ 를 구하는 문제

$\Omega=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 내가 관심이 있는 확률은 $P(\{1\})$, $P(\{2\})$ 밖에 없다고 하자. 이러한 확률들이 무모순으로 정의되기 위한 최소한의 ${\cal F}$를 정의하라.

(해설) – 좀 귀찮네..?

0차수정: ${\cal A} = \big\{\{1\}, \{2\}\big\}$

1차수정: $\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \Omega \big\}$

2차수정: $\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \big\}$

3차수정: $\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\} \big\}$

사실 우리가 관심 있는건 ${\cal A} = \{ \{1\}, \{2\} \}$ 뿐 이었음. 그런데 뭔가 $P(\{1\})$와 $P(\{2\})$를 합리적으로 정의하기 위해서 필연적으로 발생하는 어떠한 집합들을 모두 생각하는건 매우 피곤하고 귀찮은 일임. 그래서 “아 모르겠고, $\{1\}$ 와 $\{2\}$를 포함하고 확률의 뜻에 모순되지 않게 만드는 최소한의 ${\cal F}$가 있을텐데, 거기서만 확률을 정의할래!” 라고 쉽게 생각하고 싶은 사람들이 생김. 그러한 공간을 $\sigma({\cal A})$라는 기호로 약속하고 smallest $\sigma$-field containing ${\cal A}$ 라는 용어로 부름.