02wk-1: 측도론 intro (1)

최규빈

2023-03-09

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-yPGeQuQgZaqhpUJujTtP4g

예제1: 동전

- \(\Omega =\{H,T\}\): sample space

- \(P(\{H\})=P(\{T\})=\frac{1}{2}\): prob

- 질문: \(\Omega\)의 임의의(=모든) 부분 집합 \(\Omega^*\)에 대하여 \(P(\Omega^*)\)를 모순없이 정의할 수 있을까?

당연한거 아냐?
이게 왜 안돼?

- 질문에 대한 대답

\(\Omega\)의 부분집합: \(\emptyset, \Omega, \{H\},\{T\}\)
\(P(\{H\})=\frac{1}{2}\), \(P(\{T\})=\frac{1}{2}\), \(P(\Omega)=P(\{H,T\})=1\), \(P(\emptyset)=0\)

- 모순없이의 의미?

우리가 상식적으로 확률에 적용가능한 어떠한 연산들이 있음. (확률의 공리 + 기본성질) // 네이버검색
이러한 연산을 적용해도 상식적인 수준에서 납득이 가야함

(상식적인 연산 적용 예시1)

\(\{H\} \subset \Omega \Rightarrow P(\{H\})<P(\Omega)\)

집합 \(\{H\}\)은 집합 \(\Omega\)보다 작은 집합임
상식적으로 작은집합이 일어날 확률이 큰 집합이 일어날 확률보다 클 수 없음
동전 예제의 경우 모든 \(A,B \subset \Omega\) 에 대하여, \(A\subset B\) 이라면 \(P(A) < P(B)\) 가 성립함

(상식적인 연산 적용 예시2)

\(\{H\} \cap \{T\} = \emptyset \Rightarrow P(\{H\} \cup \{T\})=P(\{H\}) + P(\{T\}) =1\)

우리의 상식에 따르면 \(A,B\)가 서로소인 사건이라면 \(P(A)+P(B)\)이어야 함.¹
이 예제는 실제로 그러함.
사실 이 예제의 경우 \(P(\{H\} \cup \{T\})=P(\Omega)=1\) 와 같이 계산할 수도 있음.
하지만 어떠한 방식으로 계산해도 모순이 없음.

¹ 확률의 공리

예제2: 바늘이 하나만 있는 시계

- \(\Omega = [0,2\pi)\)

시계바늘을 돌려서 나오는 각도를 재는일 \(\Leftrightarrow\) \([0,2\pi)\)사이의 숫자중에 하나를 뽑는 일

- 질문: 바늘을 랜덤으로 돌렸을때 12시-6시 사이에 바늘이 있을 확률? \(\frac{1}{2}\)

\(\Omega^* = [0,\pi)\)
\(P(\Omega^*)= \frac{1}{2}\)

- 계산하는 방법? 아래와 같이 계산하면 가능!!

\[\forall \Omega^* \subset \Omega, \quad P(\Omega^*)=\frac{m(\Omega^*)}{m(\Omega)}\]

단 여기에서 \(m\)은 구간의 길이를 재는 함수라고 하자.

연습: \(m\)의 사용

\(m(\Omega)=m\big([0,2\pi)\big)=2\pi\)
\(m(\Omega^*) = m\big([0,\pi)\big)= \pi\)

- 위와 같은 방식으로 확률을 정의하면 잘 정의될까? 이게 쉽지 않음. 왜냐하면 확률을 잘 정의하기 위해서는

\(\Omega\)의 모든 부분집합 \(\Omega^*\)에 대하여 \(P(\Omega^*)\)를 모순없이

정의할 수 있어야 하는데, 이게 쉬운일이 아님.

(질문0) 그냥 몸풀기 용 질문

\(\Omega^*=\emptyset\) 일 확률이 얼마인가?

(답변)

0 이야²

² 이걸 좀 더 엄밀하게 따질수도 있는데 일단 직관적으로 0이라 생각하고 넘어가자

(질문1) 첫번째 도전적인 질문

\(\Omega^* =\{0\}\)일 확률이 얼마인가?

(답변)

즉 바늘침이 정확하게 12시를 가르킬 확률이 얼마냐는 것
한 점으로 이루어진 집합 \(\{0\}\)은 분명히 \(\Omega=[0,2\pi)\)의 부분집합 이므로 앞서 논의한대로라면 이러한 집합에 대한 확률을 명확하게, 모순없이 정의할 수 있어야 함
많은 사람들이 이 질문에 대한 답은 \(0\) 이라고 알고 있고 그 이유를 “점의 길이는 0 이니까” 라고 이해하고 있음.³

³ 이해 안되면 약속이라고 생각하자.

⁴ 자연어에서는 “확률=0” 와 “불가능” 은 동일하지만 여기서는 아니다.

답변이 사실 좀 찝찝해. 바늘침이 정확하게 12시를 가르키는 것은 우리가 분명 하루에 한번씩은 경험하는 사건임. 그런데 그 사건이 일어날 확률은 0이다?⁴

(참견질문) 생각해보니까 이런게 있었잖아?

\[A \subset B \Rightarrow P(A)<P(B)\]

그런데 \(\emptyset \subset \{0\}\) 인데 \(P(\emptyset)=P(\{0\})\) 이다..?

(답변)

원래식은 이거임: \(A \subset B \Rightarrow P(A)\leq P(B)\).
즉 \(A\)가 \(B\)의 진 부분집합이더라도 \(P(A)=P(B)\)인 경우가 존재함.

(질문2) 두번째 질문은 아래와 같다.

그렇다면 사건 \(\{0,\pi\}\)가 일어날 확률은 얼마인가?

(답변)

질문을 다시 풀어쓰면 바늘침이 정확하게 12시를 가르키거나 혹은 정확하게 6시를 가르킬 확률이 얼마냐는 것
따라서 이 질문에 대한 대답은 \(0+0=0\) 이므로 \(0\)이라고 주장할 수 있음.

(질문3) 세번째 질문은 아래와 같다.

구간 \([0,2\pi)\)는 무수히 많은 점들이 모여서 만들어지는 집합이다. 그런데 점 하나의 길이는 0이다. 0을 무수히 더해도 0이다. 그러므로 구간 \([0,2\pi)\)의 길이도 0이 되어야 한다. 이것은 모순아닌가?

(답변)

까다롭다.
\(m([0,2\pi))=0\) 임을 인정하면 전체확률은 1이어야 한다는 기본상식⁵에 어긋나 모순이 생김.
질문의 논리는 타당해보임. 이 논리의 약점은 딱히 없어보임. 굳이 약점이 있다면 “무한”이라는 개념?
어쩔수없이 직관에 근거한 약간의 약속을 또 다시 해야할 것 같음. 예를들면 “점들을 유한번 합치면 그냥 많은 점들이지만 무한히 합치면 이것은 선분이 된다. 따라서 길이가 생긴다.” 와 같이.
우리는 이 약속을 “무한번의 기적”이라고 칭하자.

⁵ 심지어 이건 확률의 공리

(질문4) 그렇다면 아래의 질문은 어떻게 대답할 수 있을까?

\([0,\pi)\) 에서 유리수만 뽑아낸 집합이 있다고 생각하자. 편의상 이 집합을 \(\mathbb{Q}\) 라고 하자. 이 집합은 분명히 무한개의 점을 포함하고 있다. 그렇다면 이 집합도 길이가 있는가? 있다면 얼마인가?

(답변)

이미 점들의 길이를 무한번 더하면 길이가 생긴다고 주장한 상태이므로 (무한번의 기적) 길이가 0이라고 주장할 수 없다. 따라서 길이가 있다고 주장해야 한다.
\(\pi\)말고 딱히 떠오르는 수가 없는데 단순히 길이가 \(\pi\)라고 주장한다면 바로 모순에 빠짐을 알 수 있다.⁶
길이는 일단 0보다 커야하고 \(\pi\)보다 작아야함은 자명하므로 그 사이에 있는 어떤 값이 길이라고 주장하자.⁷
따라서 (질문4)에 대한 답은 ‘’구체적으로 얼마인지는 모르겠지만 길이가 분명 존재하고 그 길이는 0 보다 크고 \(\pi\) 보다는 작은 어떠한 값 \(a\)이다.’’ 정도로 정리할 수 있다.
즉 \(m(\mathbb{Q})=a\), where \(0<a<\pi\).

⁶ 왜 모순에 빠지냐면 \([0,\pi)\)에서 무리수만 뽑아낸 집합의 길이가 뭐냐고 물을경우 0이라고 말해야함

⁷ 구체적으로 어떤값인지는 모른다고 하자.

(질문5) – 외통수

질문4로부터 만들어지는 논리는 빌드업1-3으로 이어지는 콤보질문을 적절하게 대답하지 못한다. (질문이 좀 길어서 나누어서 설명합니다)

(빌드업1) – 평행이동은 길이를 변화시키지 않아, 그렇지?

\(\mathbb{Q}\)의 모든점에 \(\sqrt{2}\)를 더한다. 이 점들로 집합을 만들어 \(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}}\)를 만든다.
여기에서 \(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}}\)는 \(\Omega\)의 부분집합 \(\Rightarrow\) \(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}}\)는 길이를 명확하고 모순없이 정의할 수 있어야 함
\(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}}\)의 길이는 사실 쉽게 \(a\)라고 정의할 수 있음⁸. 즉, \(m(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}})=a\).

⁸ 평행이동은 길이를 변화시킬 수 없으니까

(빌드업2) – 겹치지 않게 평행이동 시킨다음에 길이를 더한다면?

이제 \(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}},\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2},\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3}\)를 생각하자. 아래의 성질을 관찰할 수 있다.

\(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}},\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2},\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3}\)는 모두 \(\Omega\)의 부분집합 \(\Rightarrow\) 따라서 길이를 명확하고 모순없이 정의할 수 있어야 함
\(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}},\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2},\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3}\)의 길이는 각각 \(a\)로 정의할 수 있다.⁹
\(P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}} \cup \mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2} \cup \mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3})=P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}}) + P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2})+ P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3})\)¹⁰

⁹ 평행이동은 길이를 변화시키지 않으니까

¹⁰ \(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}},\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2},\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3}\)는 모두 서로소 임을 이용

굳이 \(P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}}) + P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2})+ P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3})\)를 계산하면 아래와 같이 계산할 수 있겠다.

\[P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}}) + P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2})+ P(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3})=\frac{a}{2\pi}+\frac{a}{2\pi}+\frac{a}{2\pi}=3 \times \frac{a}{2\pi}\]

(빌드업3) – 그런데 난 겹치지않게 평행이동시킬 방법을 무한대로 알고 있는데?

눈 여겨볼 점은 아래 식이 성립해야 한다는 것이다. (\(\because\) 확률의 공리)¹¹

¹¹ 첫 등호는 서로소인 사건에 대한 공리, 그다음 부등호는 확률의 총합은 1보다 같거나 작다라는 공리

\[P\big(\mathbb{Q}_{\sqrt{2}} \cup \mathbb{Q}_{\sqrt{2}/2} \cup \mathbb{Q}_{\sqrt{2}/3}\big) = 3 \times \frac{a}{2\pi} \leq 1 \quad \cdots (\star)\]

그런데 \((\star)\)에서 좌변의 값은 편의에 따라서 값을 임의로 키울 수 있다.
이렇게 임의로 키워진 좌변의 값이라도 항상 그 값은 1보다 작아야 하는데 (확률의 공리), 이게 가능하려면 \(a=0\)인 경우 말고 없다.
그런데 \(a=0\) 이 된다면 “무한번 더해서 일어나는 기적”은 허구가 되므로 질문3 의 대답에 모순이 된다.

그런데 임의로 좌변의 값을 키워도 항상 그 값은 1보다 작아야 하는데 이러한 \(a\)는 0이외에 불가능하다.

그런데 \(a=0\) 이 된다면 “무한번 더해서 일어나는 기적”은 허구가 되므로 질문3 의 대답에 모순이 된다.

르벡메져

- 예제2에서의 마지막 질문은 지금까지 제시한 논리로 방어가 불가능. 이처럼 논리적 모순없는 체계를 만드는 것은 매우 어려운 일임.

- 결론적으로 말하면 길이를 재는 함수 \(m\)을 아래와 가정하면 위의 모든 질문에 대한 대답을 논리적 모순없이 설계할 수 있다.

한 점에 대한 길이는 \(0\) 이다.
\([0,2\pi)\) 사이의 모든 유리수를 더한 집합은 그 길이가 \(0\)이다.
\([0,2\pi)\) 사이의 모든 무리수를 더한 집합은 그 길이가 \(2\pi\)이다.

참고로 르벡측도(Lebesgue measure)를 사용하면 위의 성질을 만족한다.¹² 따라서 르벡측도를 활용하여 확률을 정의하는 것이 모순을 최대한 피할 수 있다.

¹² 물론 르벡측도의 정의가 위와 같지는 않다