07wk-2: Numpy 활용 (2)

Author

최규빈

Published

April 19, 2023

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-xYcEpzHG1vC5hYDpgE5V5Z

imports

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

예비학습: matplotlib

범례추가

- 예시1

y1= [1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
y2= [1.1, 2.2, 2.8, 0.0]
plt.plot(y1,'--o',label='y1')
plt.plot(y2,'--o',label='y2')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fd0c8ed6e80>

- 예시2

y1= [1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
y2= [1.1, 2.2, 2.8, 0.0]
plt.plot(y1,'--o',label=r'$y_1$')
plt.plot(y2,'--o',label=r'$y_2$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fd0c8fcc2e0>

넘파이 활용 (2단계)

변환을 의미하는 행렬

1-3. 아래는 우산모양의 scatter plot을 그릴 수 있는 $(x_{i}, y_{i})$ 좌표값을 불러와서 시각화하는 코드이다.

# 자료저장 
data_raw = np.array(pd.read_csv('https://raw.githubusercontent.com/guebin/2021IR/master/_notebooks/round2.csv')).T
data_raw

array([[ 12,  12,  13, ..., 636, 636, 637],
       [313, 314, 279, ..., 416, 417, 409]])

# 저장된 자료를 x,y로 분해 
x_raw,y_raw = data_raw
x_raw,y_raw

(array([ 12,  12,  13, ..., 636, 636, 637]),
 array([313, 314, 279, ..., 416, 417, 409]))

# 시각화
plt.figure(figsize=(6,6)) # 그림크기고정
plt.plot(x_raw,y_raw,'o')

1. x_raw와 y_raw를 각각 표준화하고 x, y에 저장하라. 결과를 시각화하라. 그리고 x, y를 바탕으로 data matrix를 다시 구성하라.

(풀이)

표준화

x= (x_raw-np.mean(x_raw)) / np.std(x_raw,ddof=1)
y= (y_raw-np.mean(y_raw)) / np.std(y_raw,ddof=1)

시각화

plt.figure(figsize=(6,6)) # 그림크기고정
plt.plot(x,y,'o')

data matrix 재구성

data = np.array([x,y])
data

array([[-1.79820085, -1.79820085, -1.79255336, ...,  1.72583347,
         1.72583347,  1.73148096],
       [-0.18390658, -0.17703046, -0.41769466, ...,  0.52433376,
         0.53120988,  0.47620092]])

2. 아래와 같은 규칙에 따라 $(x_{i}, y_{i})$ 를 $({\tilde{x}}_{i}, {\tilde{y}}_{i}$ )로 변환하라. 단 여기에서 $θ = \frac{π}{4}$ 로 가정한다.

${x x}_{i} = {\tilde{x}}_{i} = (\cos θ) x_{i} - (\sin θ) y_{i}$
${y y}_{i} = {\tilde{y}}_{i} = (\sin θ) x_{i} + (\cos θ) y_{i}$

$(x_{i}, y_{i})$ 와 $({\tilde{x}}_{i}, {\tilde{y}}_{i})$ 를 겹쳐서 시각화 하라. 이 변환이 의미하는 바는 무엇이라고 생각하는가?

(풀이1)

theta = np.pi/4 
xx = np.cos(theta)*x - np.sin(theta)*y
yy = np.sin(theta)*x + np.cos(theta)*y
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x,y,'o', label=r'$(x,y)$') 
plt.plot(xx,yy,'o', label=r'$(xx,yy)$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f79adb12490>

(풀이2)

아래의 규칙을 다시 고려하자.

${x x}_{i} = {\tilde{x}}_{i} = (\cos θ) x_{i} - (\sin θ) y_{i}$
${y y}_{i} = {\tilde{y}}_{i} = (\sin θ) x_{i} + (\cos θ) y_{i}$

이는 아래와 같이 재표현가능하다.

${\begin{cases} {x x}_{1} = (\cos θ) x_{1} - (\sin θ) y_{1} \\ {y y}_{1} = (\sin θ) x_{1} + (\cos θ) y_{1} \end{cases}$
${\begin{cases} {x x}_{2} = (\cos θ) x_{2} - (\sin θ) y_{2} \\ {y y}_{2} = (\sin θ) x_{2} + (\cos θ) y_{2} \end{cases}$
$\dots$
${\begin{cases} {x x}_{n} = (\cos θ) x_{n} - (\sin θ) y_{1} \\ {y y}_{n} = (\sin θ) x_{n} + (\cos θ) y_{n} \end{cases}$

이는 다시 아래와 같이 재 표현가능하다.

$[\begin{matrix} {x x}_{1} \\ {y y}_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} {x x}_{2} \\ {y y}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}]$
$\dots$
$[\begin{matrix} {x x}_{n} \\ {y y}_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix}]$

이는 다시 아래와 같이 재 표현가능하다. (이게 처음엔 생각하기 어려워요!! $⋆ ⋆ ⋆$ )

$[\begin{matrix} {x x}_{1} & {x x}_{2} & \dots & {x x}_{n} \\ {y y}_{1} & {y y}_{2} & \dots & {y y}_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ y_{1} & y_{2} & \dots & y_{n} \end{matrix}]$

위의 수식에 맞추어 변환을 진행하면

theta = np.pi/4 
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],[np.sin(theta),np.cos(theta)]])
R

array([[ 0.70710678, -0.70710678],
       [ 0.70710678,  0.70710678]])

R @ data

array([[-1.14147842, -1.14634057, -0.97217191, ...,  0.8495886 ,
         0.84472644,  0.88761703],
       [-1.40156161, -1.39669946, -1.56288136, ...,  1.59110851,
         1.59597066,  1.56106683]])

xx,yy = R @ data

plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x,y,'o', label=r'$(x,y)$') 
plt.plot(xx,yy,'o', label=r'$(xx,yy)$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f79b231b940>

3. 2번과 같은 변환을 8번 연속진행한 결과를 시각화하라.

(풀이)

plt.figure(figsize=(6,6))
xx,yy=np.linalg.matrix_power(R,8) @ data
plt.plot(x,y,'o',label=r'$data=(x,y)$') 
plt.plot(xx,yy,'o',label=r'$R^8@data=(xx,yy)$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f79b2198220>

4. 2번의 변환을 역변환하는 코드를 구현하라. 원본, 변환, 역변환한 자료를 순서대로 시각화 하라. 결과를 아래와 같이 저장하라.

원본: $x, y$
2번변환: $x x, y y$
2번의역변환 $x x x, y y y$

(풀이)

xx,yy = R@data 
xxx,yyy = np.linalg.inv(R)@data

plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x,y,'.', label=r'$data = (x,y)$') 
plt.plot(xx,yy,'.', label=r'$R@data = (xx,yy)$')
plt.plot(xxx,yyy,'.', label=r'$R^{-1}@data = (xxx,yyy)$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f79b208d3d0>

5-8. 시계열 자료와 이동평균

5. 아래의 수식에 따르는 수열 $x_{t}$ 를 생성하라. 단, $T = 1000$ 으로 설정하고 랜덤시드는 np.random.seed(2)와 같이 설정한다.

$x_{1} = ϵ_{1}$
$x_{2} = ϵ_{1} + ϵ_{2}$
$x_{3} = ϵ_{1} + ϵ_{2} + ϵ_{3}$
$\dots$
$x_{T} = \sum_{t = 1}^{T} ϵ_{t}$

생성결과를 시각화하라.

hint 아래의 코드를 활용하면 쉽다.

np.cumsum([1,2,3,4])

array([ 1,  3,  6, 10])

(풀이)

T = 1000
np.random.seed(2)
epsilon = np.random.randn(1000)
x = epsilon.cumsum()
plt.plot(x)

6. 아래와 같은 변환을 수행하고 결과를 시각화 하라.

${x x}_{1} = \frac{1}{3} (x_{1} + x_{2})$
${x x}_{2} = \frac{1}{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3})$
${x x}_{3} = \frac{1}{3} (x_{2} + x_{3} + x_{4})$
$\dots$
${x x}_{T - 1} = \frac{1}{3} (x_{T - 1} + x_{T - 1} + x_{T})$
${x x}_{T} = \frac{1}{3} (x_{T - 1} + x_{T})$

hint 아래의 수식을 이용하라.

$[\begin{matrix} {x x}_{1} \\ {x x}_{2} \\ {x x}_{3} \\ \dots \\ {x x}_{T - 1} \\ {x x}_{T} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 / 3 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 3 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 3 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 / 3 & 1 / 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \dots \\ x_{T - 1} \\ x_{T} \end{matrix}]$

(풀이)

M = np.array([[abs(i-j)<2 for i in range(T)] for j in range(T)])*1/3
M

array([[0.33333333, 0.33333333, 0.        , ..., 0.        , 0.        ,
        0.        ],
       [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333, ..., 0.        , 0.        ,
        0.        ],
       [0.        , 0.33333333, 0.33333333, ..., 0.        , 0.        ,
        0.        ],
       ...,
       [0.        , 0.        , 0.        , ..., 0.33333333, 0.33333333,
        0.        ],
       [0.        , 0.        , 0.        , ..., 0.33333333, 0.33333333,
        0.33333333],
       [0.        , 0.        , 0.        , ..., 0.        , 0.33333333,
        0.33333333]])

plt.plot(x,label=r'$x$')
plt.plot(M@x,'--',label=r'$M@x$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fd9917e2670>

끝이 올라간 이유? 마지막에 $\frac{1}{3} (x_{T - 1} + x_{T} + x_{T + 1})$ 대신에 $\frac{1}{3} (x_{T - 1} + x_{T} + 0)$ 을 이용하였기 때문

7. 아래와 같은 변환을 수행하고 결과를 시각화하라.

${x x}_{1} = \frac{1}{3} (x_{1} + x_{1} + x_{2})$
${x x}_{2} = \frac{1}{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3})$
${x x}_{3} = \frac{1}{3} (x_{2} + x_{3} + x_{4})$
$\dots$
${x x}_{T - 1} = \frac{1}{3} (x_{T - 1} + x_{T - 1} + x_{T})$
${x x}_{T} = \frac{1}{3} (x_{T - 1} + x_{T} + x_{T})$

(풀이)

M[0,0] = 2/3 
M[-1,-1] = 2/3 
plt.plot(x,label=r'$x$')
plt.plot(M@x,label=r'$M@x$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fd96893a190>

8. 7번의 변환을 100번 반복하고 시각화하라.

(풀이)

plt.plot(x,label=r'$x$')
plt.plot(np.linalg.matrix_power(M,100)@x,label=r'$M^{100}@x$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fd9687943d0>

9. 7번의 변환을 1000번 반복하고 시각화하라.

plt.plot(x,label=r'$x$')
plt.plot(np.linalg.matrix_power(M,1000)@x,label=r'$M^{1000}@x$')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fd96862aac0>

HW

없음