HW-1 (2024.09.11)
참고자료
1. 바늘이 하나 있는 시계
우리는 단순한 시계 하나를 생각해볼 수 있다. 이 시계에는 바늘이 하나 있고, 이 바늘을 무작위로 돌렸을 때, 바늘이 시계에서 어떤 위치에 멈추게 될 확률을 계산하는 상황을 상상해보자.
여기서 시계의 위치를 각도로 나타낸다. 시계의 각도는 \(0\)에서 \(2\pi\) 사이로 표현된다. 즉, 시계바늘이 12시를 가리킬 때는 각도가 \(0\)이고, 시계바늘이 시계 방향으로 6시를 가리킬 때는 각도가 \(\pi\)이다. 이 문제에서 전체 각도 공간을 sample space \(\Omega\)로 정의한다. \(\Omega = [0, 2\pi)\)는 시계의 모든 각도를 나타내는 구간이다.
시계바늘이 \(0\)부터 \(2\pi\) 사이의 각도를 랜덤하게 가리킨다고 가정할 때, 우리는 특정 각도 범위 \(\Omega^*\)에 바늘이 있을 확률을 아래와 같이 계산할 수 있다.
\[ P(\Omega^*) = \frac{m(\Omega^*)}{2\pi} \]
여기에서 \(m\)는 길이를 재는 함수이다. 길이를 재는 함수 \(m\)에 대하여 아래와 같은 약속을 하자.
- 약속1: 구간 \((a,b)\)의 길이는 \(b-a\)이다. 즉 \(m((a,b))=b-a\) 이다.
- 약속2: 한 점의 길이는 0이다.
- 약속3: 점을 무한히 합치면 선이 되는것 처럼, 점의 길이를 무한히 합치면 0이 아니라 0보다 큰 어떠한 수가 된다.
- 약속4: 구간 \((a,b)\)사이의 모든 무리수의 길이는 \(b-a\)이다.
이와 같은 방식으로 길이를 잰다면 확률을 정의함에 있어서 모순이 일어나지 않는가? 모순이 일어나지 않으면 모순이 없다고 답을 쓰고 모순이 일어난다면 모순이 일어나는 이유를 설명하라.
2. 기호의 표현
(1) 아래의 명제를 읽고 참 거짓을 판단하라.
단, 이 문제에서 \(\mathbb{N}\)는 자연수의 집합 \(\mathbb{N}_{even}\)은 짝수의 집합을 의미한다.
- \(a+b \in \mathbb{N}, \forall a,b \in \mathbb{N}\)
- \(a-b \in \mathbb{N}, \forall a,b \in \mathbb{N}\)
- \(k \in \mathbb{N} \Rightarrow 2k \in \mathbb{N}_{even}\)
- \(\forall m \in \mathbb{N}_{even}~ \exists k \in \mathbb{N}\) such that \(2k=m\).
(2) 아래가 의미하는 바를 한국어로 자연스럽게 작성하라.
단, 이 문제에서 \(\mathbb{N}\)은 자연수의 집합, \(\mathbb{N}_{even}\)은 짝수의 집합, \(\mathbb{N}_{odd}\)는 홀수의 집합, 그리고 \(\mathbb{Q}^+\)는 양의 유리수 집합을 의미한다.
- \(a \in \mathbb{N}_{even}, b \in \mathbb{N}_{odd} \Rightarrow a \times b \in \mathbb{N}_{even}\)
- \(\forall q \in \mathbb{Q}^+~ \exists m, n \in \mathbb{N}\) such that \(q = \frac{n}{m}\).
3. 전단사함수
(1) 함수 \(f\)는 \(X = \{1,2,3,4\}\) 에서 \(Y = \{1,2,3,4\}\) 로 매핑되며, 매핑은 다음과 같다:
- \(f(1) = 1\)
- \(f(2) = 1\)
- \(f(3) = 2\)
- \(f(4) = 2\)
이 함수가 전사인지 아닌지, 단사인지 아닌지 판단하고 판단의 근거를 설명하라.
(2) 함수 \(f\)는 \(X = \{1,2,3,4\}\) 에서 \(Y = \{1,2\}\) 로 매핑되며, 매핑은 다음과 같다:
- \(f(1) = 1\)
- \(f(2) = 1\)
- \(f(3) = 2\)
- \(f(4) = 2\)
이 함수가 전사인지 아닌지, 단사인지 아닌지 판단하고 판단의 근거를 설명하라.
4. 카디널리티
짝수들의 집합 \(\mathbb{N}_{even}\) 와 홀수들의 집합 \(\mathbb{N}_{odd}\) 의 카디널리티가 동일함을 보여라.