Quiz-2 (2024.09.24) // 범위: 02wk 까지

1. 수학과의 표현 – 20점

아래의 명제를 읽고 참 거짓을 판단하라.

단, 이 문제에서 \(\mathbb{N}\)는 자연수의 집합 \(\mathbb{N}_{even}\)은 짝수의 집합을 의미한다.

(1) \(a+b \in \mathbb{N}, \forall a,b \in \mathbb{N}\)

(풀이) \(a+b\)는 자연수이다, 단 여기에서 \(a,b\) 는 임의의 자연수. (임의의 자연수를 더하면 자연수라는 의미) \(\to\) 참

(2) \(a-b \in \mathbb{N}, \forall a,b \in \mathbb{N}\)

(풀이) \(a-b\)는 자연수이다, 단 여기에서 \(a,b\) 는 임의의 자연수. (임의의 자연수를 뺴면 자연수라는 의미) \(\to\) 거짓

(3) \(k \in \mathbb{N} \Rightarrow 2k \in \mathbb{N}_{even}\)

(풀이) \(k\)가 자연수라면, \(2k\)는 짝수이다. (자연수를 2배하면 항상 짝수가 된다는 의미) \(\to\) 참

(4) \(\forall m \in \mathbb{N}_{even}~ \exists k \in \mathbb{N}\) such that \(2k=m\).

(풀이) 임의의 짝수 \(m\)에 대하여, 항상 \(2k=m\) 를 만족하는 적당한 \(k\)가 존재한다. (임의의 짝수는 항상 자연수와 2의 곱으로 표현할 수 있다는 의미) \(\to\) 참

2. 수학과의 표현 – 20점

아래가 의미하는 바를 한국어로 자연스럽게 작성하라.

단, 이 문제에서 \(\mathbb{N}\)은 자연수의 집합, \(\mathbb{N}_{even}\)은 짝수의 집합, \(\mathbb{N}_{odd}\)는 홀수의 집합, 그리고 \(\mathbb{Q}^+\)는 양의 유리수 집합을 의미한다.

(1) \(a \in \mathbb{N}_{even}, b \in \mathbb{N}_{odd} \Rightarrow a \times b \in \mathbb{N}_{even}\)

(풀이) \(a\)가 짝수이고, \(b\)가 홀수라면 \(a\times b\)는 짝수이다. (짝수와 홀수를 곱하면 짝수라는 의미)

(2) \(\forall q \in \mathbb{Q}^+~ \exists m, n \in \mathbb{N}\) such that \(q = \frac{n}{m}\).

(풀이) 임의의 양의 유리수 \(q\)에 대하여, 항상 \(q=\frac{n}{m}\) 을 만족하는 두 자연수 \(m,n\) 이 존재한다. (임의의 양의 유리수는 항상 두 자연수의 비로 나타낼수 있다는 의미)

3. 전단사함수 – 40점

(1) 함수 \(f\)는 \(X = \{1,2,3,4\}\) 에서 \(Y = \{1,2,3,4\}\) 로 매핑되며, 매핑은 다음과 같다:

• \(f(1) = 1\)
• \(f(2) = 1\)
• \(f(3) = 2\)
• \(f(4) = 2\)

이 함수가 전사인지 아닌지, 단사인지 아닌지 판단하고 판단의 근거를 설명하라.

(풀이) \(1 \neq 2\) 이지만 \(f(1)=f(2)\) 이므로 단사가 아니고, \(f(x)=3\)을 만족하는 \(x\)값이 없으므로 전사가 아니다.

(2) 함수 \(f\)는 \(X = \{1,2,3,4\}\) 에서 \(Y = \{1,2\}\) 로 매핑되며, 매핑은 다음과 같다:

• \(f(1) = 1\)
• \(f(2) = 1\)
• \(f(3) = 2\)
• \(f(4) = 2\)

이 함수가 전사인지 아닌지, 단사인지 아닌지 판단하고 판단의 근거를 설명하라.

(풀이) \(1 \neq 2\) 이지만 \(f(1)=f(2)\) 이므로 단사가 아니다. \(f(x)=1\) 을 만족하는 \(x\)값은 1,2 그리고 \(f(x)=2\) 를 만족하는 \(x\)값은 3,4 이므로 모든 \(y \in Y\) 에 대해 \(f(x)=y\)를 만족하는 \(x \in X\) 가 존재한다. 따라서 전사이다.

4. 카디널리티 – 20점

짝수들의 집합 \(\mathbb{N}_{even}\) 와 홀수들의 집합 \(\mathbb{N}_{odd}\) 의 카디널리티가 동일함을 보여라.

(풀이) \(f(x)=x-1\) 은 \(\mathbb{N}_{even}\) 에서 \(\mathbb{N}_{odd}\) 로의 전단사함수이므로 두 집합의 카디널리티는 동일하다.