Quiz-1 (2024.09.10) // 범위: 01wk 까지

우리는 단순한 시계 하나를 생각해볼 수 있다. 이 시계에는 바늘이 하나 있고, 이 바늘을 무작위로 돌렸을 때, 바늘이 시계에서 어떤 위치에 멈추게 될 확률을 계산하는 상황을 상상해보자.

여기서 시계의 위치를 각도로 나타낸다. 시계의 각도는 \(0\)에서 \(2\pi\) 사이로 표현된다. 즉, 시계바늘이 12시를 가리킬 때는 각도가 \(0\)이고, 시계바늘이 시계 방향으로 6시를 가리킬 때는 각도가 \(\pi\)이다. 이 문제에서 전체 각도 공간을 sample space \(\Omega\)로 정의한다. \(\Omega = [0, 2\pi)\)는 시계의 모든 각도를 나타내는 구간이다.

시계바늘이 \(0\)부터 \(2\pi\) 사이의 각도를 랜덤하게 가리킨다고 가정할 때, 우리는 특정 각도 범위에 바늘이 있을 확률을 계산할 수 있다. 예를들어 바늘이 12시부터 6시까지, 즉 각도 범위로 보면 \([0, \pi)\) 사이에 바늘이 위치할 확률을 구하는 과정을 살펴보자.

• 전체 각도 범위는 \(0\)에서 \(2\pi\)까지이므로, 전체 가능성의 범위 \(\Omega\)의 길이(측도)는 \(m(\Omega) = 2\pi\)이다.
• 바늘이 12시부터 6시 사이에 있을 각도 구간을 \(\Omega^*\)로 정의할 수 있다. \(\Omega^* = [0, \pi)\)이며, 이 구간의 길이(측도)는 \(m(\Omega^*) = \pi\)이다.

확률을 구하는 방법은, 우리가 원하는 범위 \(\Omega^*\)의 길이를 전체 표본 공간 \(\Omega\)의 길이로 나누는 것이다. 즉, 확률 \(P(\Omega^*)\)는 다음과 같이 정의된다:

\[ P(\Omega^*) = \frac{m(\Omega^*)}{m(\Omega)} \]

따라서, 바늘이 12시에서 6시 사이에 있을 확률은 다음과 같다:

\[ P(\Omega^*) = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} \]

즉, 시계바늘을 무작위로 돌렸을 때 바늘이 12시에서 6시 사이에 있을 확률은 1/2이다.

기호 설명:

• \(\Omega\): 전체 표본 공간으로, 시계바늘이 가리킬 수 있는 모든 각도 범위 \([0, 2\pi)\)를 나타낸다.
• \(\Omega^*\): 바늘이 12시에서 6시까지 있을 각도 범위로, \([0, \pi)\) 구간을 나타낸다.
• \(m(\Omega)\): 표본 공간 \(\Omega\)의 측도로, 전체 각도 구간의 길이를 의미한다. 여기서는 \(m(\Omega) = 2\pi\)이다.
• \(m(\Omega^*)\): 구간 \(\Omega^*\)의 측도로, 바늘이 12시부터 6시까지 있을 각도 구간의 길이를 의미한다. 여기서는 \(m(\Omega^*) = \pi\)이다.
• \(P(\Omega^*)\): 확률로, 바늘이 12시부터 6시까지 있을 확률을 나타낸다. 이는 \(P(\Omega^*) = \frac{m(\Omega^*)}{m(\Omega)}\)로 계산된다.

(1) 길이를 재는 함수 \(m\)에 대하여 아래와 같은 약속을 하자.

• 약속1: 구간 \((a,b)\)의 길이는 \(b-a\)이다. 즉 \(m((a,b))=b-a\) 이다.
• 약속2: 한 점의 길이는 0이다.
• 약속3: 점을 무한히 합치면 선이 되는것 처럼, 점의 길이를 무한히 합치면 0이 아니라 0보다 큰 어떠한 수가 된다.
• 약속4: 구간 \((a,b)\)사이의 모든 유리수의 길이는 \(b-a\) 이다.

이와 같은 방식으로 길이를 잰다면 확률을 정의함에 있어서 모순이 일어나지 않는가? 모순이 일어나지 않으면 모순이 없다고 답을 쓰고 모순이 일어난다면 모순이 일어나는 이유를 설명하라.

(풀이)

구간 \((a,b)\) 사이의 모든 유리수의 집합은 \(\mathbb{Q}\), 모든 무리수의 집합은 \(\mathbb{Q}^c\) 라고 하자. 그렇다면 아래의 식이 성립한다.

\[\mathbb{P}\big((a,b)\big)=\mathbb{P}\big(\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}^c \big)=\mathbb{P}(\mathbb{Q}) +\mathbb{P}(\mathbb{Q}^c)= \frac{m(\mathbb{Q})}{2\pi}+\frac{m(\mathbb{Q}^c)}{2\pi}=\frac{b-a}{2\pi}\]

여기에서 첫번쨰 등호가 성립하는 이유는 \(\mathbb{Q}\)의 정의, 그리고 두번째 등호가 성리하는 이유는 서로소인 집합에 대한 확률의 공리, 세번째 등호가 성립하는 이유는 문제에서 주어진 식 \(\mathbb{P}(\Omega^*)=\frac{m(\Omega^*)}{m(\Omega)}\) 때문이며, 네번쪠 등호가 성립하는 이유는 약속1에 의하여 \(P((a,b))=\frac{m((a,b))}{2\pi}=\frac{b-a}{2\pi}\) 이 성립하기 때문이다. 그런데 약속4에 의하여 \(m(\mathbb{Q})=b-a\)를 대입하면 \(m(\mathbb{Q}^c)=0\) 이 되어야하는데 이는 약속3에 모순이 된다.

(2) 길이를 재는 함수 \(m\)에 대하여 아래와 같은 약속을 하자.

• 약속1: 구간 \((a,b)\)의 길이는 \(b-a\)이다. 즉 \(m((a,b))=b-a\) 이다.
• 약속2: 한 점의 길이는 0이다.
• 약속3: 점을 무한히 합치면 선이 되는것 처럼, 점의 길이를 무한히 합치면 0이 아니라 0보다 큰 어떠한 수가 된다.
• 약속4: 구간 \((a,b)\)사이의 모든 유리수의 길이는 \(\frac{b-a}{2}\) 이다.

이와 같은 방식으로 길이를 잰다면 확률을 정의함에 있어서 모순이 일어나지 않는가? 모순이 일어나지 않으면 모순이 없다고 답을 쓰고 모순이 일어난다면 모순이 일어나는 이유를 설명하라.

(풀이)

구간 \((0,2\pi)\) 사이의 모든 유리수의 집합은 \(\mathbb{Q}\), 모든 무리수의 집합을 \(\mathbb{Q}^c\) 라고 하자. \(2\pi\)에서 \(q\)의 모든 원소를 뺀 집합을 \(\mathbb{Q}^\star\) 라고 하자. 즉

\[\mathbb{Q}^\star = \{2\pi-q : q \in \mathbb{Q} \}\]

이다. 이제 아래의 식을 관찰하자.

\[\mathbb{P}(\mathbb{Q}^c)=\mathbb{P}\big(\mathbb{Q}^\star \cup (\mathbb{Q}^c-\mathbb{Q}^\star)\big)= \mathbb{P}(\mathbb{Q}^\star) +\mathbb{P}(\mathbb{Q}^c-\mathbb{Q}^\star) = \frac{m(\mathbb{Q}^\star)}{2\pi} +\frac{m(\mathbb{Q}^c-\mathbb{Q}^\star)}{2\pi} = \frac{b-a}{4\pi}\]

여기에서 첫번째 등호는 집합의 성질에 의하여, 두번째 등호는 서로소인 사건에 대한 확률의 공리에 의하여, 세번째등호는 식 \(\mathbb{P}(\Omega^*)=\frac{m(\Omega^*)}{m(\Omega)}\)에 의하여, 네번째 등호는 약속4에 의하여 성립한다. 그런데 \(\mathbb{Q}^\star\)는 \(\mathbb{Q}\)를 \(\pi\)를 기준으로 플립(대칭이동)한 것이므로 \(m(\mathbb{Q})=m(\mathbb{Q}^\star)=\frac{b-a}{2}\) 가 성립하고 이에 따라 \(m(\mathbb{Q}^c-\mathbb{Q}^\star)=0\) 이어야 한다. 그런데 집합 \(\mathbb{Q}^c-\mathbb{Q}^\star\)는 무한집합이므로 약속3에 따라서 0이 아닌 길이가 있어야 하는데 이는 모순이다.