(13주차) 12월7일
징검다리3 문제풀이
- (1/2) 징검다리문제 III 해석적풀이 (1)
- (2/2) 징검다리문제 III 해석적풀이 (2)
강화유리와 유리를 구분할 수 있는 유리 장인이 있다.
이 유리장인은 80퍼센트의 확률로 강화유리를 고른다.
총 10명의 참가자가 있고 이 참가자들은 (유리,강화유리)의 조합으로 이루어진 징검다리를 5번연속으로 건너야 한다.
아래의 경우에 참가자들은 평균적으로 몇명이 살아남겠는가?
(1) 일반인1 - 일반인2 - .... - 일반인9 - 유리장인 || (강화유리, 유리)
(2) 유리장인 - 일반인1 - 일반인2 - ... - 일반인9 || (강화유리, 유리)
1000번 시뮬레이션을 하여 결과를 추정하라.
(단, 일반인은 50%의 확률로 강화유리를 고를수 있다고 하자)
[예시] (1)의 시뮬레이션 결과가 아래와 같다고 하자.
- 첫번째 징검다리: 유리장인이 강화유리 선택
- 두번째 징검다리: 유리장인이 강화유리 선택
- 세번째 징검다리: 유리장인이 일반유리 선택 $\to$ 유리장인 탈락 & 일반인9는 당연히 강화유리를 선택
- 네번째 징검다리: 일반인9가 일반유리 선택 $\to$ 일반인9 탈락 & 일반인8은 당연히 강화유리 선택
- 다섯번째 징검다리: 일반인8이 강화유리 선택
이 경우는 일반인8,일반인7, $\dots$, 일반인1이 살아남으므로 8명이 살아남는다.
[예시] (2)의 시뮬레이션 결과가 아래와 같다고 하자.
- 첫번째 징검다리: 일반인9 일반유리 선택 $\to$ 일반인9 탈락 & 일반인8은 강화유리 선택
- 두번째 징검다리: 일반인8 일반유리 선택 $\to$ 일반인8 탈락 & 일반인7은 강화유리 선택
- 세번째 징검다리: 일반인7 일반유리 선택 $\to$ 일반인7 탈락 & 일반인6은 강화유리 선택
- 네번째 징검다리: 일반인6 일반유리 선택 $\to$ 일반인6 탈락 & 일반인5는 강화유리 선택
- 다섯번째 징검다리: 일반인5 일반유리 선택 $\to$ 일반인5 탈락 & 일반인4는 강화유리 선택
이 경우는 일반인4,일반인3,일반인2,일반인1,유리장인 이 살아남는다. (따라서 5명)
- 즉 살아남을수 있는 최대인원수는 10명이며 최소인원수는 5명이다.
- 유리장인이 100%의 확률로 강화유리를 구분한다면 (1)의 경우 항상 10명이 살아남는다. (즉 평균도 10명)
- 장인이 맨 앞에 있는 경우에 한정한 해석적 풀이 (=이론적 풀이)
- 10명이 살아남을 확률? $0.8^5$
- 9명이 살아남을 확률?
- 장인이 1번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 장인이 2번째 탈락 = $0.8^1 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 장인이 3번째 탈락 = $0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^2$
- 장인이 4번째 탈락 = $0.8^3 \times 0.2 \times 0.5^1$
- 장인이 5번째 탈락 = $0.8^4 \times 0.2 \times 0.5^0$
- 8명이 살아남을 확률?
- 장인이 1번째 탈락 = $choose(4,1)\times 0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 2번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 3번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 4번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 5번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 장인이 2번째 탈락 = $choose(3,1)\times 0.8^1 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 일반인이 3번째 탈락 = $0.8^1 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 일반인이 4번째 탈락 = $0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 일반인이 5번째 탈락 = $0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 장인이 3번째 탈락 = $choose(2,1)\times 0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^2$
- 일반인이 4번째 탈락 = $0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^2$
- 일반인이 5번째 탈락 = $0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^2$
- 장인이 4번째 탈락 = $choose(1,1) \times 0.8^3 \times 0.2 \times 0.5^1$
- 일반인이 5번째 탈락 = $0.8^3 \times 0.2 \times 0.5^1$
- 7명이 살아남을 확률?
- 장인이 1번째 탈락 = $choose(4,2)\times 0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 2,3번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 2,4번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 2,5번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 3,4번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 3,5번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 4,5번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 장인이 2번째 탈락 = $choose(3,2)\times 0.8^1 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 일반인이 3,4번째 탈락 = $0.8^1 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 일반인이 3,5번째 탈락 = $0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 일반인이 4,5번째 탈락 = $0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 장인이 3번째 탈락 = $choose(2,2)\times 0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^2$
- 일반인이 4,5번째 탈락 = $0.8^2 \times 0.2 \times 0.5^2$
- 6명이 살아남을 확률?
- 장인이 1번째 탈락 = $choose(4,3)\times 0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 2,3,4번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 2,3,5번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 2,4,5번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 일반인이 3,4,5번째 탈락 = $0.8^0 \times 0.2 \times 0.5^4$
- 장인이 2번째 탈락 = $1\times 0.8^1 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 일반인이 3,4,5번째 탈락 = $0.8^1 \times 0.2 \times 0.5^3$
- 5명이 살아남을 확률? $0.2 \times 0.5^4$
- 장인 + 일반인4명 연속탈락
- 계산기를 이용하여 확률을 계산하자.
0.8^5
surv9_prob = c()
for (i in 0:4) surv9_prob[i+1]= 0.8^i *0.2 *0.5^(4-i)
surv9_prob
surv9_prob %>% sum
surv8_prob = c()
for (i in 0:3) surv8_prob[i+1]= choose(4-i,1)*0.8^i *0.2 *0.5^(4-i)
## 7명
surv7_prob = c()
for (i in 0:2) surv7_prob[i+1]= choose(4-i,2)*0.8^i *0.2 *0.5^(4-i)
## 6명
surv6_prob = c()
for (i in 0:1) surv6_prob[i+1]= choose(4-i,3)*0.8^i *0.2 *0.5^(4-i)
## 5명
surv5_prob = c()
for (i in 0:0) surv5_prob[i+1]= choose(4-i,4)*0.8^i *0.2 *0.5^(4-i)
- 확률의 총합
0.8^5 + sum(surv9_prob) + sum(surv8_prob) + sum(surv7_prob) + sum(surv6_prob) +sum(surv5_prob)
- 잘 구해진것 같다.
- 평균
0.8^5*10 +
sum(surv9_prob)*9 +
sum(surv8_prob)*8 +
sum(surv7_prob)*7 +
sum(surv6_prob)*6 +
sum(surv5_prob)*5