(3주차) 9월16일

• 강의영상
• 2010(나) 6월/평가원 4 (고3)
  • 보충학습: 컴퓨터가 TRUE, FALSE를 이해하는 방식
• 2021(가) 9월/평가원 10(고3)
• 숙제

강의영상

- (1/2): 2010(나) 6월/평가원 4 (고3)

- (2/2): 2021(가) 9월/평가원 10 (고3), for문

- 추가영상: 주피터랩, Rstudio

2010(나) 6월/평가원 4 (고3)

(문제) 실수 $a$가 $\frac{2^a+2^{-a}}{2^{a}-2^{-a}}=-2$를 만족시킬때, $4^a+4^{-a}$의 값은?

(보기) (1) $\frac{5}{2}$ (2) $\frac{10}{3}$ (3) $\frac{17}{4}$ (4) $\frac{26}{5}$ (5) $\frac{37}{6}$

(풀이)

- 먼저 $\frac{2^{a}+2^{-a}}{2^a-2^{-a}}=-2$를 만족하는 $a$를 찾아보자.

- $f(a)=\frac{2^{a}+2^{-a}}{2^a-2^{-a}}$라고 두고 $f(a)=-2$를 만족하는 $a$를 찾으면 된다.

- 함수를 선언하자.

### 이렇게 한다고 함수가 선언되지는 않는다. 
f(a) = (2^a + 2^(-a)) / (2^(a)-2^(-a))

f<-function(a){
    (2^a + 2^(-a)) / (2^(a)-2^(-a))
}

- 잘 선언되었는지 확인: $a=1$을 넣으면 $f(a)=\frac{2+0.5}{2-0.5}=\frac{2.5}{1.5}$

print(f(1))
print(2.5/1.5)

[1] 1.666667
[1] 1.666667

• 잘 선언된 것 같다.

- $f(a)$의 그래프를 그리고 $f(a)=-2$에 해당하는 수평선을 그려서 대략적으로 값을 유추하여 보자.

a=seq(from=-5,to=5,by=0.1)

plot(a,f(a))
abline(h=-2,col='red')

- 우선 $-2 < a< 0$ 인 것 같다. 범위를 좁히고, by옵션을 사용하여 더 촘촘히 다시 그려보자.

a = seq(from=-2, to=0, by=0.0001)

plot(a,f(a))
abline(h=-2,col='red')

• ??
• 함수모양을 보니 $a=0$이면 $f(a)$의 분모가 0이 되어서 정의되지 않음.

- 범위를 $-2 < a< -0.1$ 로 수정해보자.

a = seq(from=-2, to=-0.1, by=0.0001) 
plot(a,f(a),type='l',lwd=4)
abline(h=-2,col=2,lty=2,lwd=4)

• col: 칼라조정 (2=빨강, 'red'=빨강 // 4=파랑, 'blue'=파랑)
• lty: 점선의 type조정
• lwd: 선의 두께 조정

- 이제 해를 찾아보자. $f(a)=-2$를 찾아야 하므로 f(a)== -2를 조건식으로 걸자.

f(a)== -2

   [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
  [13] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
  [25] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
  [37] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
  [49] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
  [61] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
  [73] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
  [85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
  [97] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [109] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [121] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [133] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [145] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [157] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [169] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [181] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [193] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [205] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [217] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [229] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [241] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [253] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [265] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [277] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [289] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [301] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [313] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [325] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [337] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [349] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [361] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [373] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [385] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [397] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [409] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [421] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [433] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [445] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [457] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [469] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [481] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [493] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [505] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [517] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [529] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [541] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [553] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [565] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [577] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [589] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [601] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [613] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [625] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [637] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [649] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [661] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [673] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [685] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [697] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [709] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [721] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [733] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [745] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [757] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [769] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [781] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [793] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [805] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [817] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [829] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [841] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [853] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [865] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [877] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [889] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [901] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [913] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [925] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [937] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [949] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [961] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [973] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [985] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 [997] FALSE FALSE FALSE FALSE
 [ reached getOption("max.print") -- omitted 18001 entries ]

- 이중에 적당한 값이 있어야 한다. 보이진 않지만 (너무 많아서 눈으로 찾을수는 없지만) 어딘가에 TRUE가 하나는 있을것이다.

- TRUE가 있는지 체크할 수 있는 방법은 없을까?

---

보충학습: 컴퓨터가 TRUE, FALSE를 이해하는 방식

- 컴퓨터가 TRUE, FALSE를 1,0으로 각각 인식함.

- 아래 예제를 관찰

TRUE + FALSE

[1] 1

TRUE*2

[1] 2

TRUE+(FALSE-1) * 2

[1] -1

2*c(TRUE, FALSE, TRUE) # 2*c(1,0,1)

[1] 2 0 2

sum(c(TRUE,FALSE,TRUE))

[1] 2

---

- 그럼 이제 f(a)==-2의 결과에서 TRUE가 진짜 있는지 찾아보자.

sum(f(a)==-2)

[1] 0

- ??? 없음..

- 사실 컴퓨터는 근사계산을 하였으므로 $f(a)=-2$인 $a$를 정확하게 찾기는 힘들다. 따라서 적당히 $f(a) \approx -2$인 $a$를 찾는게 더 합리적이다.

- $f(a) \approx -2 $ 인 $a$를 찾는건 $f(a)+2 \approx 0$인 $a$를 찾는것과 같다.

- 목표: 즉 $f(a)+2$ 의 "절대값"이 0에 가까운 원소를 고르면 된다.

* 참고: 절대값을 구하는 방법

abs(c(1,2,-2,3,-4))

[1] 1 2 2 3 4

- 위를 응용하면

min(abs(f(a)+2)) # f(a)의 절대값중 가장 작은 값

[1] 3.898777e-05

- 이제 $a$는 아래와 같이 구할 수 있다.

TFarray <- abs(f(a)+2) == min(abs(f(a)+2))
a[TFarray]

[1] -0.7925

$a=-0.7925$

- 따라서 $4^{a}+4^{-a}$는

4^(0.7925) + 4^(-0.7925)

[1] 3.333403

(보기) (1) $\frac{5}{2}$ (2) $\frac{10}{3}$ (3) $\frac{17}{4}$ (4) $\frac{26}{5}$ (5) $\frac{37}{6}$

보기와 비교해보면

c(5/2,10/3,17/4,26/5,37/6)

[1] 2.500000 3.333333 4.250000 5.200000 6.166667

따라서 답은 2번이다.

2021(가) 9월/평가원 10(고3)

(문제) 수열 $\{a_n\}$은 $a_1=12$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}+a_n=(-1)^{n+1}\times n$을 만족시킨다. $a_k> a_1$인 자연수 $k$의 최소값은?

(보기) (1) $2$ (2) $4$ (3) $6$ (4) $8$ (5) $10$

(풀이1)

a1=12 

n=1
a2= -a1 +(-1)^(n+1)*n 

n=2
a3= -a2 +(-1)^(n+1)*n

a3

[1] 9

보기를 보니까 10이 최대값이므로 $a_{10}$까지만 구해보자.

a1=12 

n=1
a2= -a1 +(-1)^(n+1)*n 

n=2
a3= -a2 +(-1)^(n+1)*n 

n=3
a4= -a3 +(-1)^(n+1)*n 

n=4
a5= -a4 +(-1)^(n+1)*n 

n=5
a6= -a5 +(-1)^(n+1)*n 

n=6
a7= -a6 +(-1)^(n+1)*n 

n=7
a8= -a7 +(-1)^(n+1)*n 

n=8
a9= -a8 +(-1)^(n+1)*n 

n=9
a10= -a9 +(-1)^(n+1)*n

a<-c(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10)
print(a)

 [1]  12 -11   9  -6   2   3  -9  16 -24  33

(1:10)[a>12]

[1]  8 10

답은 (4) $8$ 이다.

(풀이2)

- 풀이2를 소개하기 전에 아래와 같이 벡터를 넣는 법을 생각하자.

* 예비학습

a_ <-c()

a_

NULL

a_[1] <- 12

a_

[1] 12

a_[2] <- -12

a_

[1]  12 -12

a_[4] <- 3

a_

[1]  12 -12  NA   3

- 풀이시작 (for문)

a<-c()

a[1] <- 12

## 아래와 같은 코드를 구현하고 싶다. 
n=1~9
a_{n+1}= -a_n +(-1)^(n+1)*n

for(n in 1:19){
    a[n+1]<- -a[n]+(-1)^(n+1)*n 
}

print(a)

 [1]   12  -11    9   -6    2    3   -9   16  -24   33  -43   54  -66   79  -93
[16]  108 -124  141 -159  178

print((1:20)[a>12])

[1]  8 10 12 14 16 18 20

답은 (4) 8이다.

숙제

- 2021(가) 9월/평가원 10(고3) 에 해당하는 수열을 40번째 항까지 구하라.