Quiz-8 (2024.11.26) // 범위: 10wk 까지

1. – 40점

\(X\)를 확률공간 \((\Omega, {\cal F}, \mathbb{P})\) 에서 정의된 확률변수라고 하자.

(1) \(\mu_X:{\cal R} \to [0,1]\) 는 언제나 모순없이 잘 정의됨을 설명하라.

(2) \(\mu_X:{\cal R} \to [0,1]\) 는 확률측도의 정의를 만족함을 보여라.

2. – 40점

이제 아래와 같은 함수 \(f\)를 고려하자.

\[f(x) = \begin{cases} 1 & x \in [0,1] \cap \mathbb{Q} \\ 0 & x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}^c \end{cases}\]

(1) 이 함수가 리만적분 불가능한 이유를 설명하라.

(2) 이 함수의 르벡적분값은 얼마인가?

2. – 20점

다음을 읽고 참 거짓을 판단하라.

(1) \(X\)를 확률공간 \((\Omega, {\cal F}, \mathbb{P})\)에서 정의된 확률변수라고 하자. 그리고 \((\mathbb{R}, {\cal R}, \mu_X)\)를 \(X\)에 의하여 유도된 확률공간이라고 하자. \(F_X: \mathbb{R} \to [0,1]\) 인 함수를 아래와 같이 정의하자.

\[F_X(x) = \mu_X((-\infty, x])\]

함수 모든 \(x \in \mathbb{R}\)에 대하여 \(F_X(x)\)의 값을 정할 수 있으면 임의의 \(B \in {\cal R})\) 에 대하여 \(\mu_X(B)\)의 값을 결정할 수 있다.

(2) 아래의 함수는 거의 모든곳에서 연속이다.

\[f(x) = \begin{cases} 1 & x \in [0,1] \cap \mathbb{Q} \\ 2 & x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}^c \\ 0 & o.w. \end{cases}\]