Quiz-7 (2024.11.19) // 범위: 09wk 까지

Author

최규빈

Published

November 19, 2024

Important

모든 문항은 답과함께 근거를 명확하게 쓸 경우만 정답으로 인정함.

답만 쓴 경우는 부분점수 인정하지 않음.

1. – 30점

아래와 같은 예제를 고려하자.

  • outcomes: \(\omega \in [0,1]\)
  • sample space: \(\Omega = [0,1]\)
  • event: \(A \in {\cal R}|_{\Omega}\)
  • \(\sigma\)-field: \({\cal R}|_{\Omega}\)

(1) 아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 는 확률변수인가?

\[X(\omega)=\omega\]

(풀이)

\(\forall B \in {\cal R}\) 에 대하여 아래와 같이 분해할 수 있다.

\[B = (B \cap [0,1]) \uplus (B \cap [0,1]^c) := B_1 \uplus B_2\]

\(B_1\)에 대한 역상은 \(B_1\)이고 \(B_2\)에 대한 역상은 \(\emptyset\) 이므로 모든 \(B \in {\cal R}\)의 역상은 \({\cal R}|_{\Omega}\)에 포함된다. 따라서 \(X\)는 확률변수이다.

(2) 아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 는 확률변수인가?

\[X(\omega)=\begin{cases} 1 & \omega = 0 \\ 0 & \omega\neq 0 \end{cases}\]

(풀이)

\(X\)의 역상은 \(\emptyset, \{0\}, \Omega - \{0\}, \Omega\) 중 하나이므로 모든 역상이 \({\cal R}|_{\Omega}\)에 포함된다. 따라서 \(X\)는 확률변수이다.

2. – 30점

아래와 같은 예제를 고려하자.

  • outcomes: \(1,2\)
  • sample space: \(\Omega = \{1,2\}\)
  • event: \(\emptyset, \{1\}, \{2\}, \Omega\)
  • \(\sigma\)-field: \(\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \Omega\}\)

(1) 아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 는 확률변수인가?

\[X(\omega)=\omega\]

(풀이)

\(X\)의 역상은 \(\emptyset, \{0\}, \{1\}, \Omega\) 중 하나이므로 모든 역상이 \(\{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \Omega\}\)에 포함된다. 따라서 \(X\)는 확률변수이다.

(2) 아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 는 확률변수인가?

\[X(\omega)=0\]

(풀이)

\(X\)의 역상은 \(\emptyset, \Omega\) 중 하나이므로 모든 역상이 \(\{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \Omega\}\)에 포함된다. 따라서 \(X\)는 확률변수이다.

3. – 30점

아래와 같은 예제를 고려하자.

  • outcomes: \(1,2,3,4\)
  • sample space: \(\Omega = \{1,2,3,4\}\)
  • collection: \({\cal A} = \{\{1\}\}\)
  • event: \(A \in \sigma({\cal A})\)
  • \(\sigma\)-field: \(\sigma({\cal A})\)

(1) 아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 는 확률변수인가?

\[X(\omega)=\omega\]

(풀이)

\(B=\{2\} \in {\cal R}\)에 대한 역상은 \(\{2\}\) 인데 이것은 \(\sigma({\cal A})\)의 원소가 아니므로 \(X\)는 확률변수가 아니다.

(2) 아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 는 확률변수인가?

\[X(\omega)=\begin{cases} 1 & \omega \in \{1\} \\ 2 & \omega \in \{2,3,4\}\end{cases}\]

(풀이)

\(X\)의 역상은 \(\{1\}, \{2,3,4\}, \emptyset, \Omega\) 인데 이는 모두 \(\sigma({\cal A})\)의 원소이므로 \(X\)는 확률변수이다.

4. – 10점

다음중 가능한 표현을 모두 고르라. (모두 맞출경우만 정답으로 인정)

아래와 같은 예제를 고려하자.

  • outcomes: \(1,2,3,4\)
  • sample space: \(\Omega = \{1,2,3,4\}\)
  • event: \(\emptyset, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\}\)
  • \(\sigma\)-field: \({\cal F} = \{\emptyset, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\}\}\)
  • probability: \(\mathbb{P}: {\cal F} \to [0,1]\) such that \(\mathbb{P}(\{1,2\}) =\mathbb{P}(\{3,4\}) = \frac{1}{2}\).
  • function: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that \(X(\omega)=\omega\).

다음중 모순없이 정의가능한 표현은?

  1. \(\mathbb{P}(X=1)\)
  2. \(\mathbb{P}(X=2)\)
  3. \(\mathbb{P}(X\leq 2)\)
  4. \(\mathbb{P}(X\leq 4)\)

(풀이)

3,4만 모순없이 정의가능하다.

  1. \(\mathbb{P}(X=1) = \mathbb{P}(\{1\}), \quad \{1\} \notin {\cal F}\)
  2. \(\mathbb{P}(X=2) = \mathbb{P}(\{2\}), \quad \{2\} \notin {\cal F}\)
  3. \(\mathbb{P}(X\leq 2) = \mathbb{P}(\{1,2\}) = \frac{1}{2}, \quad \{1,2\} \in {\cal F}\)
  4. \(\mathbb{P}(X\leq 4) = \mathbb{P}(\Omega) = 1, \quad \Omega \in {\cal F}\)