Quiz-6 (2024.11.12) // 범위: 08wk 까지

Author

최규빈

Published

November 12, 2024

1. – $\sigma$-finite

(1)은 답만 써도 됩니다. (2),(3)은 이유를 함께 써야합니다.

잴 수 있는 공간 $(\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}})$ 에 대하여, 아래와 같은 집합함수 $m:2^{\mathbb{N}} \to [0,\infty]$

\[m(A) = \begin{cases} |A| & \text{$A$ 는 유한집합} \\ \infty & \text{$A$ 는 무한집합} \end{cases}\]

를 고려하자. 여기에서 $|A|$는 $|A|$의 cardinal number를 의미한다. 함수 $m$을 적용한 예시는 아래와 같다.

$m(\emptyset) = 0$
$m(\{1,10\}) = 2$
$m(\{2,4,6,8,\dots\})=\infty$
$m\big(\{n: 0<n\leq 10, n \in \mathbb{N} \}\big)=10$

즉 함수 $m$은 유한집합에서는 원소의 숫자를, 무한집합에서는 $\infty$를 리턴하는 함수라고 생각 할 수 있다.

(1) $m$이 $(\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}})$ 에서 $\sigma$-additivity 를 만족하는지 판단하라. – 5점

(풀이)

만족한다. 서로 겹치지 않는 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A\cup B$ 의 원소수는 $A$의 원소수와 $B$의 원소수를 각각 더한것과 같기 때문.

(2) $m$은 $(\mathbb{N},2^\mathbb{N})$에서 측도의 정의를 만족하는지 판단하고 판단한 근거를 설명하라. – 5점

(풀이)

에 의하여 $\sigma$-additivity를 만족하고 $m(\emptyset)=0$ 이므로 measure의 조건을 만족한다.

(3) $m$이 $(\mathbb{N},2^\mathbb{N})$에서 시그마유한 측도의 정의를 만족하는지 판단하고 그렇게 판단한 근거를 서술하라. – 10점

(풀이)

$\Omega_1 = \{1\}, \Omega_2 = \{2\}, \dots$ 와 같이 잡으면 $\cup_{i=1}^{\infty}\Omega_i = \Omega = \mathbb{N}$ 이고 모든 $i$에 대하여 $m(\Omega_i)=1 < \infty$ 가 성립하므로 $m$은 시그마유한측도이다.

2. – 확장이론

$\Omega$ 는 전체집합, ${\cal A}$ 는 $\Omega$의 부분집합들을 원소로 하는 collection이라고 하자. 그리고 $\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]$ 는 ${\cal A}$ 에서 $\sigma$-additive 하고 $\tilde{P}(\emptyset)=0, \tilde{P}(\Omega)=1$ 인 집합함수라고 하자. $\tilde{P}$ 는 $(\Omega, \sigma({\cal A}))$ 에서의 확장가능하며, 그 확장은 유일한가? 유일한 확장이 가능하다면 이유를 설명하라. 유일한 확장이 가능하지 않다면 반례를 들어라. – 20점

(풀이)

유일한 확장을 보장하지는 않는다. 반례는 07wk-08wk 강의노트 3-A의 예제5를 그대로 쓰면 된다.

3. – O/X

아래를 참거짓을 판단하고 근거를 함께 서술하라.

(1) 전체집합 $\Omega=\{a,b,c\}$에 대한 collection ${\cal A}=\{\emptyset, \{a\},\{b\}\}$ 를 고려하자. $\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]$ 는 ${\cal A}$에서 $\sigma$-additive 하고 $\tilde{P}(\emptyset)=0, \tilde{P}(\Omega)=1$ 인 집합함수라고 하자. 우연히 $\tilde{P}$를 확장하여 $(\Omega, \sigma({\cal A}))$ 에서의 확률측도 $\mathbb{P}$를 하나 얻었다고 하자. 이때 $\mathbb{P}$는 $\tilde{P}$를 확장하여 얻은 유일한 확률측도라고 주장할 수 있는가? – 20점

(풀이)

${\cal A}$는 파이시스템이므로, $\tilde{P}$의 확장가능성이 보장되면 유일성은 자동보장된다. // 확장이론2 참고

(2) $\Omega = \{a, b\}$ 이라고 하고 $\mathcal{A} = \{\emptyset, \{a\}\}$ 라고 하자. 여기에서 $\mathcal{A}$는 세미링이다. 이때 집합함수 $\tilde{m} : \mathcal{A} \rightarrow [0, 1]$ 를 아래와 같이 정의하자.

$\tilde{m}(\emptyset) = 0$
$\tilde{m}(\{a\}) = \frac{1}{2}$

이 함수는 $\tilde{m}$은 $(\Omega, \sigma(\mathcal{A}))$에서의 측도로 확장 가능할까? – 20점

(풀이)

확장가능하다. (그렇지만 유일성을 보장하지 않는다.) 확장의 예시는 07wk-08wk 강의노트 3-A의 예제6을 참고하라.

(3) Measure space $(\mathbb{R}, {\cal R}, \lambda)$를 고려하자. 여기에서 ${\cal R}$은 보렐시그마필드이며 $\lambda$은 르벡메저이다. 이제 아래와 같은 집합함수 $\tilde{\lambda}: {\cal A} \to [0,1]$

\[\tilde{\lambda}([a,b]) = b-a\]

를 고려하자. 여기에서 ${\cal A}=\{[a,b]: -\infty<a<b<\infty\}$ 이다. 집합함수 $\tilde{\lambda}$를 $(\mathbb{R}, {\cal R})$에서의 측도로 확장하고자 한다. 르벡메저가 아닌 다른 메저로 확장가능한가? – 20점

(풀이)

$\forall A \in {\cal A}$에 대하여 $\tilde{\lambda}([a,b])=\lambda([a,b])$이므로 $\lambda$는 $\tilde{\lambda}$의 확장이다. 그런데 ${\cal A} \cup \{\emptyset\}$ 이 파이시스템이므로 확장의 유일성이 보장된다. 따라서 다른메저로의 확장은 불가능하다.

1. – \(\sigma\)-finite

2. – 확장이론

3. – O/X