Quiz-5 (2024.11.05) // 범위: 06wk 까지

1. 증명 – 30점

(1) 전체집합 \(\Omega\)에 대한 부분집합들의 모임 \({\cal A}\)를 고려하자. \(\sigma({\cal A})\) 와 같은 표현이 항상 존재함을 보여라. – 10점

해설은 강의노트 참고

(2) 딘킨의 \(\pi\)-\(\lambda\) 정리를 증명하라. – 20점

해설은 강의노트 참고

2. O/X – 70점

다음을 읽고 참/거짓을 판단하라.

(1) 전체집합 \(\Omega\)가 아래와 같이 서로소인 집합열 \(B_1,B_2,\dots,B_n\) 으로 표현된다고 하자.

\[\Omega=B_1 \uplus B_2 \uplus \dots \uplus B_n\]

아래와 같은 집합들의 집합 \({\cal A}\)를 고려하자.

\[{\cal A}=\{\emptyset, B_1,B_2,\dots, B_n\}\]

\({\cal A}\)는 항상 세미링의 정의를 만족한다.

true

1. \({\cal A}\)의 원소는 공집합을 포함한다. 2. \({\cal A}\)의 원소는 모두 서로소이므로 원소간의 교집합은 항상 공집합이다. \({\cal A}\)는 공집합을 포함하므로 교집합에 닫혀있다. 3. \({\cal A}\)의 원소는 모두 서로소이므로, 임의의 두 원소의 차집합은 \(A-B\)는 항상 \(A\)가 된다. 그런데 \(A \in {\cal A}\)이므로 \({\cal A}\)는 차집합에 닫혀있다. (따라서 차집합에 반쯤 닫혀있다.) 1-3에 따라서 \({\cal A}\)는 세미링이다.

(2) \({\cal F}_1,{\cal F}_2 \subset 2^\Omega\) 이 \(\Omega\)에 대한 시그마필드이면 \({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2\) 역시 \(\Omega\)에 대한 시그마필드이다.

true

해설은 강의노트 참고

(3) \({\cal P}\subset 2^\Omega\)이 파이시스템이라고 하자. \(l({\cal P}) \subset \sigma({\cal P})\) 는 항상 성립한다.

true

\({\cal P}\)를 포함하는 람다시스템 \(l({\cal P})\)에서 \(\cap\)-closed 를 만족하도록 원소를 추가해야 시그마필드의 정의를 만족하므로 이는 당연하다.

(4) 임의의 집합 \({\cal A} \subset 2^\Omega\) 에 대하여 \(l({\cal A})\)가 시그마필드이면 항상 \(l({\cal A})\supset \sigma({\cal A})\) 가 성립한다.

true

\(\sigma({\cal A})\)는 \({\cal A}\)를 포함하는 가장 작은 시그마필드이다. 그런데 \(l({\cal A})\) 는 \({\cal A}\)를 포함하고 있으며 시그마필드이므로 \(\sigma({\cal A}) \subset l({\cal A})\) 이 성립

(5) \({\cal F}\)가 \(\Omega\)에 대한 시그마필드이면, \(\forall E \in {\cal F}: {\cal D}_E=\{F: E\cap F \in {\cal F}, F\in {\cal F}\} = \emptyset\) 이다.

false

시그마필드는 교집합에 닫혀있으므로 \(\forall E \in {\cal F}: {\cal D}_E = {\cal F}\) 이다.

(6) 임의의 \({\cal A} \subset 2^\Omega\)에 대하여 \({\cal A}\)가 시그마필드이면 \({\cal A}\)는 람다시스템이다.

true

람다시스템에서 추가로 \(\cap\)-closed가 만족해야 시그마필드이므로, 시그마필드이면 이미 람다시스템의 조건을 만족한다.

(7) 임의의 \({\cal A} \subset 2^\Omega\)에 대하여 \({\cal A}\)가 세미링이면 \({\cal A}\)는 파이시스템이다.

true

세미링은 \(\cap\)-closed를 만족하므로 파이시스템의 조건을 만족한다.