Quiz-4 (2024.10.22) // 범위: 05wk 까지

Author

최규빈

Published

October 22, 2024

1. – 50점

\(\Omega = \mathbb{R}\) 의 부분집합들의 모임

\[{\cal A}= \{[a,b]: a< b, \text{ where } a,b \in \mathbb{R} \}\]

를 고려하자. 그리고 \({\cal R}=\sigma({\cal A})\) 라고 하자.

(1) 임의의 실수 \(c\) 만을 포함하는 집합 \(\{c\}\) 가 \({\cal R}\)의 원소임을 보여라. 즉 \(\{c\} \in {\cal R}\) 임을 보여라.

(풀이)

\([1,2] \in {\cal R}\) 이고 \([2,3] \in {\cal R}\) 이다. (왜냐하면 \([1,2], [2,3] \in {\cal A} \subset {\cal R}\) 이므로) 시그마필드는 교집합에 닫혀있으므로 \[[1,2] \cap [2,3] =\{2\} \in {\cal R}\] 이 성립한다. 임의의 실수 \(c\)에 대하여 동일한 논리전개를 사용할 수 있으므로 \[\forall c \in \mathbb{R}: \{c\} \in {\cal R}\] 이다.

(2) \(\mathbb{Q} \in {\cal R}\) 임을 보여라.

(풀이)

\(\mathbb{Q}= \bigcup_{q \in \mathbb{Q}}\{q\}\) 로 표현가능하다. (1)에 의하여 \(\{q\} \in {\cal R}\) 이고 시그마필드는 countable union에 닫혀있으므로 \(\bigcup_{q \in \mathbb{Q}}\{q\} \in {\cal R}\) 이 성립한다. 따라서 \(\mathbb{Q} \in {\cal R}\) 이다.

(3) \(\mathbb{Q}^c \in {\cal R}\) 임을 보여라.

(풀이)

(2)에 의하여 \(\mathbb{Q} \in {\cal R}\) 이고 시그마필드는 여집합에 닫혀있으므로 \(\mathbb{Q}^c \in {\cal R}\) 이다.

(4) \(\mathbb{Q}^+ \in {\cal R}\) 임을 보여라. 단, 여기에서 \(\mathbb{Q}^+\) 은 양의 유리수집합을 의미한다. 즉 \(\mathbb{Q}^+=\{q: q \in \mathbb{Q},~ q>0\}\) 이다.

(풀이)

문항 (2)와 동일한 테크닉을 사용하면 된다. \(\mathbb{Q}^+= \bigcup_{q \in \mathbb{Q}^+}\{q\}\) 로 표현가능하다. (1)에 의하여 \(\{q\} \in {\cal R}\) 이고 시그마필드는 countable union에 닫혀있으므로 \(\bigcup_{q \in \mathbb{Q}^+}\{q\} \in {\cal R}\) 이 성립한다. 따라서 \(\mathbb{Q}^+ \in {\cal R}\) 이다.

(5) \(\mathbb{R}^+ \in {\cal R}\) 임을 보여라. 단 여기에서 \(\mathbb{R}^+\)은 양의 실수를 의미한다. 즉 \(\mathbb{R}^+ = \{x: x \in \mathbb{R}, ~x>0\}\) 이다.

(풀이)

이 문제는 문항 (2)와 동일한 테크닉을 사용할 수 없다. 왜냐하면

\[\mathbb{R}^+= \bigcup_{x \in \mathbb{R}^+}\{x\}\]

에서 \(\bigcup_{x \in \mathbb{R}^+}\)은 countable union을 의미하는게 아니라 uncountable union을 의미하기 때문이다. 대신에 아래와 같이 \(\mathbb{R}^+\)을 표현한다면

\[\mathbb{R}^+= \bigcup_{n \in \mathbb{N}}[0,n] - \{0\}\]

\(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}\)은 countable union 이 된다. 이제 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \([0,n] \in {\cal R}\) 이고 시그마필드는 countable union에 닫혀다는 성질을 이용하면 \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}[0,n]\in {\cal R}\) 이 성립한다. 여기에서 시그마필드가 차집합에 닫혀있음을 이용하면 \(\big(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}[0,n]- \{x\}\big) \in {\cal R}\) 역시 보일 수 있다. 따라서 \(\mathbb{R}^+ \in {\cal R}\) 이다.

(6) \(a<b\) 인 임의의 실수 \(a,b\) 에 대하여 \((a,b] \in {\cal R}\), \((a,b) \in {\cal R}\), \([a,b) \in {\cal R}\) 임을 보여라.

(풀이)

아래와 같이 구간을 표현할 수 있다.

  • \((a,b] = [a,b]-\{a\}\)
  • \((a,b) = [a,b]-\{a\}-\{b\}\)
  • \([a,b) = [a,b]-\{b\}\)

여기에서 \([a,b] \in {\cal R}\) 이고 \(\{a\}\in{\cal R}, \{b\} \in {\cal R}\) 라는 사실과 시그마필드가 차집합에 닫혀있다는 사실을 이용하면 \((a,b] \in {\cal R}\), \((a,b) \in {\cal R}\), \([a,b) \in {\cal R}\) 임을 보일 수 있다.

(7) 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \((-\infty, x] \in {\cal R}\), \((-\infty,x) \in {\cal R}\), \((x,\infty) \in {\cal R}\), \([x,\infty) \in {\cal R}\) 임을 보여라.

(풀이)

아래와 같이 구간을 표현할 수 있다.

  • \((-\infty, x] = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}(-n,x]\)
  • \((-\infty, x) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}(-n,x)\)
  • \((x,\infty) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}(x,n)\)
  • \([x,\infty] = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}[x,n)\)

여기에서 (6)을 이용하면 구간 \((-n,x], (-n,x), (x,n), [x,n)\) 은 모두 \({\cal R}\) 의 원소임을 알 수 있다. 시그마필드는 countable union에 닫혀있으므로 \((-\infty, x] \in {\cal R}\), \((-\infty,x) \in {\cal R}\), \((x,\infty) \in {\cal R}\), \([x,\infty) \in {\cal R}\) 을 보일 수 있다.

(8) \(\mathbb{N} \in {\cal R}\) 임을 보여라.

(풀이)

문항 (2)와 동일한 테크닉을 사용한다. \(\mathbb{N} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\{n\}\) 로 표현할 수 있다. (1)에 의하여 \(\{n\} \in {\cal R}\) 이고 시그마필드는 countable union에 닫혀있으므로 \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}\{n\} \in {\cal R}\) 이 성립한다. 따라서 \(\mathbb{N} \in {\cal R}\) 이다.

(9) \(A = \{x: x \geq 0, x \notin \mathbb{Q}\} \in {\cal R}\) 임을 보여라.

(풀이)

문항 (4)에서 \(\mathbb{Q}^+ \in {\cal R}\)임을 보였고 문항 (5)에서 \(\mathbb{R}^+ \in {\cal R}\) 임을 보였다. \(A = \mathbb{R}^+-\mathbb{Q}^+\) 이고 시그마필드가 차집합에 닫혀있으므로 \(A \in {\cal R}\)이다.

(10) \(B = \{x: \sin(\pi x) > 0, x\in \mathbb{R} \} \in {\cal R}\) 임을 보여라.

hint: 10번의 집합 \(B\)에 대한 힌트

1. \(\sin(\pi x)\) 는 주기가 2인 함수이다.

2. \(\sin(\pi x)\) 의 그래프는 아래와 같다.

using Plots
x = -3:0.01:3
y = sin.(π .* x)
plot(x, y, label="sin(πx)", xlabel="x", ylabel="sin(πx)")

(풀이)

\(B\) 는 아래와 같이 열린구간 \((a,b)\)의 countable union으로 표현할 수 있다.

\[B = \dots(-2,-1) \cup (0,1) \cup (2,3) \cup \dots\]

(6)에 의하여 \((a,b) \in {\cal R}\) 이고 시그마필드는 countable union에 닫혀있으므로 \(B \in {\cal R}\) 이다.

2. – 50점

\(\Omega = \{a,b,c,d\}\) 의 부분집합들의 모임

\[{\cal A}=\big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}\big\}\]

를 고려하자.

(1) \({\cal A}\)를 포함하는 최소한의 시그마필드 즉 \(\sigma({\cal A})\)를 구하라. – 20점

(풀이)

\(\sigma({\cal A}) ={\cal A} \cup \big\{\emptyset, \Omega, \{b,c\},\{a\},\{d\},\{a,d\}\big\}\)

(2) 함수 \(\tilde{P}: {\cal A} \to [0,1]\) 을 아래와 같이 정의하자.

  • \(\tilde{P}(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
  • \(\tilde{P}(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)

\(\tilde{P}\) 를 확장하여 확률측도의 정의를 만족하는 적당한 함수 \(\mathbb{P}:\sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 를 유일하게 만들 수 있는가? – 30점

Note

단, 여기에서 \(\tilde{P}\)를 확장하여 \(\mathbb{P}\)를 만든다는 의미는 아래가 성립하도록 한다는 의미이다.

\[\forall A \in {\cal A}: \tilde{P}(A) = \mathbb{P}(A)\]

(풀이)

\(\tilde{P}\)를 확장해서 만들어야 하므로 \(A \in {\cal A}\) 에서 \(\mathbb{P}(A)\) 의 값은 아래와 같이 설정해야한다.

  • \(\mathbb{P}(\{a,b,c\}) = \tilde{P}(\{a,b,c\})=\frac{3}{4}\)
  • \(\mathbb{P}(\{b,c,d\})=\tilde{P}(\{b,c,d\}) =\frac{3}{4}\)

이제 \(A \in \big(\sigma({\cal A}) - {\cal A}\big)\) 에서의 \(\mathbb{P}(A)\)의 값을 정의하여 보자. 즉 아래의 값을 결정해야한다.

  1. \(\mathbb{P}(\emptyset)=??\)
  2. \(\mathbb{P}(\Omega)=??\)
  3. \(\mathbb{P}(\{b,c\})=??\)
  4. \(\mathbb{P}(\{a\})=??\)
  5. \(\mathbb{P}(\{d\})=??\)
  6. \(\mathbb{P}(\{a,d\})=??\)

여기에서 \(??\)에 해당하는 값들을 확률의 공리에 모순되지 않게 결정할 수 있다면 “확장가능” 이고, \(??\)의 값을 확률의 공리에 모순되지 않게 정할 수 있는 값이 단 하나라면 “확장가능” & “유일” 이라고 볼 수 있다.

  • 항목1,2 는 \(\mathbb{P}(\emptyset)=0\), \(\mathbb{P}(\Omega)=1\) 이외의 다른 선택지가 없다.
  • 항목4는 \(\mathbb{P}(\{a\})=1-\mathbb{P}(\{b,c,d\})=\frac{1}{4}\) 이어야 하므로 이 역시 다른 선택지가 없다.
  • 항목5는 항목4와 마찬가지로 \(\mathbb{P}(\{d\})=1-\mathbb{P}(\{d\})=\frac{1}{4}\) 이어야 하므로 이 역시 다른 선택지가 없다.
  • 항목6은 항목4와 항목5에 의하여 \(\mathbb{P}(\{a,d\})=\mathbb{P}(\{a\})+\mathbb{P}(\{d\})=\frac{1}{2}\) 이어야 한다. 그래서 항목6 역시 다른 선택지가 없다.
  • 항목3은 항목6에 의하여 \(\mathbb{P}(\{b,c\})=1-\mathbb{P}(\{a,d\})=\frac{1}{2}\) 이어야 하고 이 역시 다른 선택지는 없다.

위에서 논의된 값들을 정리하면

  1. \(\mathbb{P}(\emptyset)=0\)
  2. \(\mathbb{P}(\Omega)=1\)
  3. \(\mathbb{P}(\{b,c\})=\frac{1}{2}\)
  4. \(\mathbb{P}(\{a\})=\frac{1}{4}\)
  5. \(\mathbb{P}(\{d\})=\frac{1}{4}\)
  6. \(\mathbb{P}(\{a,d\})=\frac{1}{2}\)

와 같이 만들 수 있다. 이러한 함수 \(\mathbb{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\) 에서 확률의 정의를 만족한다. 따라서 확장가능하다. 또한 위의 숫자들 이외에 다른선택지가 없었으므로 이 확장은 유일하다.