09wk: 확률변수

1. 강의영상

2. 확률변수 – 기호와 표현

A. 기호와 표현

- 동전예제에서의 확률공간 \((\Omega,{\cal F},\mathbb{P})\)를 가정하고 용어를 뜻 매김하자.

용어	기호 및 표현	설명
표본 (outcomes)	\(H,T\)	실험의 가능한 개별 결과
표본공간 (set of outcomes)	\(\Omega=\{H,T\}\)	모든 표본을 포함하는 집합
사건 (event)	\(\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\)	표본공간의 부분집합
???????? (set of events)	\({\cal F} = 2^\Omega = \{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\}\)	표본공간의 부분집합들의 집합
확률 (probability)	\(\mathbb{P}:{\cal F} \to [0,1]\)	사건에 대응하는 확률 함수
확률변수 (random variable)	\(X: \Omega \to \mathbb{R}\)	표본공간에서 실수로 가는 함수

- 표본은 집합의 원소를 의미한다. 그래서 보통 소문자로 표현한다. (그런데 동전예제에서는 대문자로 표현해서 헷갈림.. 집합처럼 보여서..)

- 표본과 사건은 다르다. 잠시 주사위를 던지는 예제로 바꾸어 생각한다면

• 표본: 1,2,3,4,5,6
• 사건: 1이 나올 사건, 홀수가 나올 사건, 4 이상이 나올 사건..

- 사건(=이벤트)는 항상 집합이다.

- 확률은 사건에 매길 수 있다. (표본에 매기는게 아니라..)

- 확률을 모순없이 잴 수 있는 사건들의 모임을 시그마필드라고 한다.

- 확률변수는 함수이다. (명언이죠?)

- 확률변수는 “표본-숫자” 를 맵핑하는 과정이다. (주사위예제와 같이 표본이 이미 숫자화 되어있다면 확률변수는 단순히 항등함수로 취급한다.)

- 확률변수의 공역은 항상 \(\mathbb{R}\)이다. 즉 실수이다.

- 표본은 표본공간 \(\Omega\) 의 원소이므로 \(\omega\) 라는 기호를 사용해 표현하기도 한다.

Warning

우리는 표본, 표본공간, 사건, set of events, 확률에 대해서는 명확하게 정의했지만 아직 확률변수가 무엇인지 정의한 적 없다. 단순히 확률변수는 \(\Omega\) 에서 \(\mathbb{R}\)로 맵핑되는 함수일 뿐 일까?

확률의 정의

\((\Omega,{\cal F})\) 를 measurable space 라고 하자. 확률이란 \(\mathbb{P}: {\cal F} \to [0,1]\) 인 조금 특별한 함수이다. 여기에서 조금 특별하다는 것은 \(\mathbb{P}\) 가

1. \(\mathbb{P}(\emptyset)=0\)
2. \(\mathbb{P}(\Omega)=1\)
3. \(\mathbb{P}\) is \(\sigma\)-additivie on \({\cal F}\)

를 만족하는 함수라는 의미이다.

확률변수의 정의

\((\Omega,{\cal F})\) 를 measurable space 라고 하자. 확률변수란 \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) 인 조금 특별한 함수이다.

B. 연습문제

# 예제1 – 기본표현정리

아와 같은 동전예제를 생각하자.

• outcomes: \(H\),\(T\).
• sample space: \(\Omega = \{H,T\}\)
• event¹: \(\emptyset\), \(\{H\}\), \(\{T\}\), \(\{H,T\}\).
• \(\sigma\)-field: \({\cal F}=2^\Omega\)
• probability: \(\mathbb{P}: {\cal F} \to [0,1]\) such that \(\mathbb{P}(\{H\})=\mathbb{P}(\{T\})=\frac{1}{2}\).²
• random variable: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that \(X(H)=1\) and \(X(T)=0\).

¹ event는 집합을 의미

² 엄밀하게는 \(\mathbb{P}\) 를 \({\cal F}\) 의 모든 원소에 대하여 정의해야하는 것 아니냐고요?? 카라테오도리가 남긴 유산을 잘 떠올려보세요!

아래중 올바른 표현은?

1. \(X(H)=0\)
2. \(X(\{H\})=0\)
3. \(X(\{H,T\})=\{0,1\}\)
4. \(\mathbb{P}(H)=\frac{1}{2}\)
5. \(\mathbb{P}(\{H\})=\frac{1}{2}\)
6. \(\mathbb{P}(\{H,T\})=1\)

(해설)

2,3,4 는 틀렸어요

#

# 예제2

그런데 사실 \(\mathbb{P}(H)=\frac{1}{2}\)와 같은 표현을 많이 본 적 있는것 같다. 예를들어서 고등학교에서 두 사건의 독립에 대해 배울때 아래와 같은 방식으로 표현했었다. // 출처: 네이버 블로그

두 사건 \(A\), \(B\)에 대하여 \(\mathbb{P}(B|A) = \mathbb{P}(B|A^c) =\mathbb{P}(B)\) 이면 두 사건이 독립이라고 한다~~

그렇다면 이 표현은 틀린걸까?

(해설)

여기에서 사건 \(A\), \(B\) 는 event을 의미하며 outcome을 의미하는게 아님. 즉 \(A\), \(B\) 는 집합임. 따라서 블로그의 표현은 맞는 표현임.

#

# 예제3 – \(\mathbb{P}(X=1)\)

다시 아래와 같은 동전예제를 생각하자.

• outcomes: \(H\),\(T\).
• sample space: \(\Omega = \{H,T\}\)
• event³: \(\emptyset\), \(\{H\}\), \(\{T\}\), \(\{H,T\}\).
• \(\sigma\)-field: \({\cal F}=2^\Omega\)
• probability: \(\mathbb{P}: {\cal F} \to [0,1]\) such that \(\mathbb{P}(\{H\})=\mathbb{P}(\{T\})=\frac{1}{2}\).
• random variable: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that \(X(H)=1\) and \(X(T)=0\).⁴

³ event는 집합을 의미

⁴ 따라서 \(\mathbb{R}\)은 함수 \(X\)의 공역, \(\{0,1\}\)은 함수 \(X\)의 치역이 된다.

수리통계 시간에서 아래와 같은 표현 본 적 있다.

\[\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{2}\]

그런데 \(\mathbb{P}\)의 입력으로는 집합이 들어가야하는데, “\(X=1\)”은 그냥 수식임. 그렇다면 이 표현은 틀린 표현일까??

(해설)

사실 \(\mathbb{P}(X=1)\)의 의미는 아래와 같은 표현의 축약형이다.

\[\mathbb{P}(\{\omega: X(\omega)=1 \})\]

여기에서 \(\{\omega: X(\omega)=1\} = \{H\}\) 를 의미하므로 결국

\[\mathbb{P}(X=1):=\mathbb{P}(\{\omega: X(\omega)=1\})=\mathbb{P}(\{H\})\]

이 된다. 따라서 옳은 표현이다.

사실 \(\mathbb{P}(\{\omega: X(\omega)=1 \})\) 보다 \(\mathbb{P}(\{\omega \in \Omega: X(\omega)=1 \})\) 혹은 \(\mathbb{P}(\{\omega : X(\omega)=1, \omega \in \Omega \})\) 이 좀 더 명확한 표현이지만 표기가 너무 복잡해서 잘 사용하지 않는다. 사실 \(X(\omega)\)라고 쓴 것 자체가 \(\omega\)는 \(\Omega\)의 원소임을 암시하니까..

#

# 예제4 – \(\mathbb{P}(X=3)\)

다시 아래와 같은 동전예제를 생각하자.

• outcomes: \(H\),\(T\).
• sample space: \(\Omega = \{H,T\}\)
• event⁵: \(\emptyset\), \(\{H\}\), \(\{T\}\), \(\{H,T\}\).
• \(\sigma\)-field: \({\cal F}=2^\Omega\)
• probability: \(\mathbb{P}: {\cal F} \to [0,1]\) such that \(\mathbb{P}(\{H\})=\mathbb{P}(\{T\})=\frac{1}{2}\).
• random variable: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that \(X(H)=1\) and \(X(T)=0\).⁶

⁵ event는 집합을 의미

⁶ 따라서 \(\mathbb{R}\)은 함수 \(X\)의 공역, \(\{0,1\}\)은 함수 \(X\)의 치역이 된다.

아래와 같은 표현은 가능한가?

\[\mathbb{P}(X=3)=0\]

설명하라.

(해설)

대충 “\(X\)가 가질 수 있는 값은 0 혹은 1이고 따라서 3이라는 값을 가질 수 없으므로 확률이 0이다” 정도의 의미인 것 같다. 이러한 표현이 가능한것인지 좀 더 엄밀히 따져보자.

\[\mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(\{\omega: X(\omega)= 3 \})\]

그런데 \(X(\omega)=3\) 을 만족하는 \(\omega\)는 존재하지 않으므로 \(\{\omega: X(\omega)= 3 \}\) 는 공집합이 된다. 따라서

\[\mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(\{\omega: X(\omega)= 3 \}) = \mathbb{P}(\emptyset)=0\]

이 된다. 따라서 옳은 표현이다.

#

# 예제5 – 시계예제

이번에는 바늘이 하나 있는 시계예제를 생각하자.

• outcomes: \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},\dots\)
• sample space: \(\Omega = (0,2\pi]\)
• event: \(\emptyset, \Omega, (0,\pi), \{\pi\}, \dots\)
• \(\sigma\)-field: \({\cal R} |_{\Omega}: = \{A\cap \Omega: A \in {\cal R} \}=\{\emptyset, \Omega, (0,\pi), \{\pi\}, \dots \}\)
• probability: \(\mathbb{P}: {\cal R} |_{\Omega} \to [0,1]\) such that \(\mathbb{P}((a,b]) = \frac{b-a}{2\pi}\) where \(0< a<b\leq 2\pi\).⁷
• random variable: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that \(X(\omega)=\frac{\omega}{2\pi}.\)⁸

⁷ \(\mathbb{P}\)를 \({\cal A}= \{(a,b]: 0<a<b\leq 1\}\) 에서만 정의했는데도 어떻게 \((\Omega,{\cal R}|_{\Omega})\) 에서의 메져라고 주장하냐고? 카라테오도리의 확장정리가 남긴 유산을 잘 떠올려보세요!

⁸ 따라서 \(\mathbb{R}\)은 함수 \(X\)의 공역, \((0,1]\) 은 함수 \(X\)의 치역이 된다.

아래와 같은 표현이 가능한가?

\[\mathbb{P}\left(X\leq \frac{1}{2}\right)\]

가능하다면, 그 값을 계산하라.

(해설)

정의상 아래와 같이 쓸 수 있다.

\[\mathbb{P}\left(X\leq \frac{1}{2}\right)= \mathbb{P}\left(\left\{\omega: X(\omega)\leq \frac{1}{2} \right\}\right)\]

그런데 \(\{\omega: X(\omega)\leq \frac{1}{2}\}=\{\omega: 0 < X(\omega)\leq \frac{1}{2}\} \cup \{\omega: X(\omega)\leq 0\}\) 이므로

• \(\{\omega: 0 < X(\omega)\leq \frac{1}{2}\} = \{\omega: 0 < \frac{\omega}{2\pi}\leq \frac{1}{2}\} = (0,\pi]\)
• \(\{\omega: X(\omega)\leq 0\} = \emptyset\)

를 이용하면

\[\mathbb{P}\left(X\leq \frac{1}{2}\right)= \mathbb{P}\left(\left\{\omega: X(\omega)\leq \frac{1}{2} \right\}\right) = \mathbb{P}((0,\pi])\]

가 된다. 따라서 \(\mathbb{P}((0,\pi])=\frac{\pi-0}{2\pi}=\frac{1}{2}\) 로 계산할 수 있다.

제가 이거 답이 \(\frac{1}{2}\)인걸 몰라서 풀고 있었던 건 아닙니다.. 기호사용에 익숙해지세요

#

Note

사실 우리가 그동안 써 왔던 아래와 같은 표현들은

1. \(\mathbb{P}(X=1)\)
2. \(\mathbb{P}(X\leq \frac{1}{2})\)
3. \(\mathbb{P}(0\leq X\leq \frac{1}{2})\)
4. \(\mathbb{P}(X \neq 2)\)

아래와 같은 일반적인 notation 으로 표현 가능하다.

\[\mathbb{P}(X \in A)=\mathbb{P}(\{\omega: X(\omega) \in A \})\]

여기에서 1-4의 각 경우에 대응하는 \(A\)는 다음과 같다.

1. \(A=\{1\}\)
2. \(A=(-\infty, \frac{1}{2}]\)
3. \(A=[0,\frac{1}{2}]\)
4. \(A=\mathbb{R} - \{2\}\)

# 상/역상 – 표현 \(\mathbb{P}(X \in A)\) 에서 \(A\)는 함수 \(X\)의 상(image)을 의미하며, \(\{\omega: X(\omega) \in A\}\)는 \(A\)의 역상(inverse image)을 나타낸다. 이를 강조하기 위해 아래와 같은 기호로 나타내기도 한다.

\[\{\omega: X(\omega) \in A\}:= X^{-1}(A)\]

ref: https://en.wikipedia.org/wiki/Image_(mathematics)

#

3. 확률변수 – 엄밀한 정의

A. Motive

- PTSD가 오는 질문: 표현 \(\mathbb{P}(X \in A)\) 는 언제가 가능한가?

# 예제1

아래와 같은 예제를 고려하자.

• outcomes: \(a,b,c\)
• sample space: \(\Omega = \{a,b,c\}\)
• event: \(\emptyset, \Omega, \{a\}, \{b,c\}\)
• \(\sigma\)-field: \({\cal F} = \{\emptyset, \Omega, \{a\}, \{b,c\}\}\)
• probability: \(\mathbb{P}: {\cal F} \to [0,1]\) such that \(\mathbb{P}(\{a\}) =\mathbb{P}(\{b,c\}) = \frac{1}{2}\).
• random variable: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that \(X(a)=1, X(b)=2, X(c)=3\).

아래와 같은 표현은 항상 모순없이 정의 가능한가?

1. \(\mathbb{P}(X=1)\)
2. \(\mathbb{P}(X=2)\)
3. \(\mathbb{P}(X=3)\)
4. \(\mathbb{P}(X\leq 3)\)
5. \(\mathbb{P}(X=2 \text{ or } X=3)\)

(해설)

2,3은 가능하지 않다.

1. \(\mathbb{P}(X=1) = \mathbb{P}(\{a\}) = \frac{1}{2}\)
2. \(\mathbb{P}(X=2) = \mathbb{P}(\{b\}) = ?\) // \(\mathbb{P}(\{b\})\)는 정의되지 않음. \(\{b\} \notin {\cal F}\) 임. 즉 \(\{b\}\)는 (확률을) 잴 수 없는 집합임!
3. \(\mathbb{P}(X=3) = \mathbb{P}(\{c\}) = ?\) // \(\mathbb{P}(\{c\})\)는 정의되지 않음. \(\{c\} \notin {\cal F}\) 임. 즉 \(\{c\}\)는 (확률을) 잴 수 없는 집합임!
4. \(\mathbb{P}(X\leq 3) = \mathbb{P}(\Omega) = 1\)
5. \(\mathbb{P}(X=2 \text{ or } X=3) = \mathbb{P}\big(\{\omega: X(\omega)=2\} \cup \{\omega: X(\omega)=3\}\big)= \mathbb{P}(\{b,c\})=\frac{1}{2}\)

#

# 예제2

아래와 같은 예제를 고려하자.

• outcomes: \(a,b,c\)
• sample space: \(\Omega = \{a,b,c\}\)
• event: \(\emptyset, \Omega, \{a\}, \{b,c\}\)
• \(\sigma\)-field: \({\cal F} = \{\emptyset, \Omega, \{a\}, \{b,c\}\}\)
• probability: \(\mathbb{P}: {\cal F} \to [0,1]\) such that \(\mathbb{P}(\{a\}) =\mathbb{P}(\{b,c\}) = \frac{1}{2}\).
• random variable: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that \(X(a)=1, X(b)=2, X(c)=2\).

아래와 같은 표현은 항상 모순없이 정의 가능한가?

1. \(\mathbb{P}(X=1)\)
2. \(\mathbb{P}(X=2)\)
3. \(\mathbb{P}(X=3)\)
4. \(\mathbb{P}(X\leq 3)\)
5. \(\mathbb{P}(X=2 \text{ or } X=3)\)

(해설)

모두 가능하다.

1. \(\mathbb{P}(X=1) = \mathbb{P}(\{a\}) = \frac{1}{2}\)
2. \(\mathbb{P}(X=2) = \mathbb{P}(\{b,c\}) = \frac{1}{2}\)
3. \(\mathbb{P}(X=3) = \mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
4. \(\mathbb{P}(X\leq 3) = \mathbb{P}(\Omega) = 1\)
5. \(\mathbb{P}(X=2 \text{ or } X=3) = \mathbb{P}(\{b,c\})=\frac{1}{2}\)

#

# 예제3 – PTSD..

이번에는 바늘이 하나 있는 시계예제를 생각하자.

• outcomes: \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},\dots\)
• sample space: \(\Omega = [0,2\pi)\)
• event: \(\emptyset, \Omega, (0,\pi), \{\pi\}, \dots\)
• \(\sigma\)-field: \({\cal R} |_{\Omega}: = \{A\cap \Omega: A \in {\cal R} \}=\{\emptyset, \Omega, (0,\pi), \{\pi\}, \dots \}\)
• probability: \(\mathbb{P}: {\cal R} |_{\Omega} \to [0,1]\) such that \(\mathbb{P}([a,b)) = \frac{b-a}{2\pi}\) where \(0< a<b\leq 2\pi\).
• random variable: \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) such that \(X(\omega)=\omega.\)

\(\mathbb{R}\)의 임의의 부분집합 \(B\) 에 대하여, 아래와 같은 표현은 항상 모순없이 정의 가능한가?

\[\mathbb{P}(X \in B)\]

(해설)

비탈리집합 \(V\subset [0,1] \subset [0,2\pi)\)에 대한 inverse image는 비탈리집합 그 자체가 된다. 따라서 아래와 같이 된다.

\[\mathbb{P}(X \in V)=\mathbb{P}\big(\{\omega: X(\omega) \in V\}\big)=\mathbb{P}(V)\]

그런데 \(\mathbb{P}(V) = \frac{1}{2\pi} \lambda(V)\) 이고 집합 \(V\)는 르벡메져로는 잴 수 없으므로 \(\mathbb{P}(V)\)는 정의될 수 없다.

#

문제의 정리 \(\to\) 해결방안 모색

결국 \(\mathbb{P}(X \in A)\) 와 같은 표현이 근본적으로 가능하기 위해서는 \(A\)의 역상이 (확률을) 잴 수 있는 집합이어야 한다. 즉 \(X^{-1}(A)\) 가 시그마필드의 원소이어야 한다. 예제1과 같은 경우에는 \((\Omega,{\cal F},\mathbb{P})\)를 완벽하게 구축했음에도 불구하고 \(\mathbb{P}(X=2)\) 와 같은 표현이 가능하진 않았는데 이것은 \((\Omega, {\cal F},\mathbb{P})\)의 문제가 아니라 \(X\)의 문제이다. 실제로 예제2와 같이 \(X\)를 정의할 경우에는 문제되지 않았다.

그렇다면 우리는 \(\mathbb{P}(X \in A)\) 와 같은 표현을 어떻게 써야할까?? 지금처럼

혹시 \(\mathbb{P}(X \in A)\) 이런게 쓸 수 없는 표현은 아닐까??

염려하면서 써야할까? 그럴수도 있지만 표현 \(\mathbb{P}(X\in A)\)와 같은 표현이 언제나 가능하도록 확률변수 \(X\)의 정의를 바꾸면 된다. 우리는 지금까지 확률변수 \(X\)를

• \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) 인 함수

라고 생각했는데, 이것이 아니라

• \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) 인 함수. 그런데 \(\mathbb{P}(X \in A)\) 라는 표현이 언제나 가능하게 만들어 준다는 조건을 곁들인..

라는 정의로 바꾸면 된다.

#

B. 정의

- 확률변수의 정의

확률변수의 정의

\((\Omega,{\cal F})\) 를 measurable space 라고 하자. 확률변수란 \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) 인 조금 특별한 함수이다. 여기에서 조금 특별하다는 표현의 의미는 \(X\)가 아래를 만족한다는 의미이다.

\[\forall A \in {\cal R}: \{\omega: X(\omega) \in A \} \in {\cal F}\]

이 경우 \(X\)는 \((\Omega, {\cal F})\)에서의 random-variable 이라고 말한다. 또는 “\(X\)는 \({\cal F}\)-measurable 하다”고 표현하기도 하며 이를 간단히 기호로 \(X \in {\cal F}\) 라 쓰기도 한다.⁹

⁹ 기호의 의미는 “\(X\)에 의하여 만들어지는 역상은 항상 \({\cal F}\)의 원소이다” 정도로 해석하면 좋겠다. 기호가 엄청 헷갈리긴해요.

- \(X: (\Omega,{\cal F}) \to (\mathbb{R},{\cal R})\)의 의미

확률변수를 정의를 살펴보면 두 개의 잴 수 있는 공간이 필요하다.

1. 역상이 \({\cal F}\)의 원소이어야 하므로 \({\cal F}\)가 필요하다. 따라서 \(\Omega\)도 필요하다, 즉 공간 \((\Omega, {\cal F})\) 이 필요하다.
2. 상은 \({\cal R}\)의 원소이어야 하므로¹⁰ 공간 \((\mathbb{R},{\cal R})\)이 필요하다.

¹⁰ 이건 갑자기 왜??

따라서 확률변수는 \(X\)라는 표현은 자연스럽게 두개의 잴 수 있는 공간의 정의가 미리 선행되어야 사용할 수 있는 표현이다. 이러한 의미에서 \(X: (\Omega, {\cal F}) \to (\mathbb{R},{\cal R})\) 이라고 사용하기도 한다. 따라서 아래는 모두 같은 표현이다.

• \(X\)는 \((\Omega, {\cal F})\)에서의 확률변수이다.
• \(X \in {\cal F}\)
• \(X: (\Omega,{\cal F}) \to (\mathbb{R},{\cal R})\)

#

- 확률은 measure의 한 형태이듯이, 확률변수는 measurable function의 하나의 형태이다.

가측함수 (measurable function)

\((X,{\cal X})\) 와 \((Y, {\cal Y})\) 를 measurable space 라고 하자. 함수 \(f: X \to Y\) 가 아래를 만족한다면 함수 \(f\)를 \((X, {\cal X})\) 에서의 measurable fucntion 혹은 measurable mapping 이라고 한다.

\[\forall A \in {\cal Y}: \{x: f(x) \in A \} \in {\cal X}\]

그리고 이것을 기호로 \(f: (X, {\cal X}) \to (Y, {\cal Y})\) 라고 한다.

우리는 \((Y,{\cal Y})=(\mathbb{R}, {\cal R})\) 가측함수를 확률변수라고 하며, \((Y,{\cal Y})=(\mathbb{R}^d, {\cal R}^d)\) 인 가측함수를 확률벡터라고 부른다.

# 질문 – 확률변수의 정의에서 아래와 같은 표현이 등장한다.

\[\forall A \in {\cal R}: \{\omega: X(\omega) \in A \} \in {\cal F}\]

이 표현을 아래와 같은 표현을 바꾸지 못하는 이유가 무엇인가?

\[\forall A \in 2^\mathbb{R}: \{\omega: X(\omega) \in A \} \in {\cal F}\]

즉 확률변수의 상이 꼭 \({\cal R}\)의 원소가 되어야 하는 이유는 무엇인가? 역상이 \({\cal F}\)의 원소이면 충분히 원하는 목적을 달성할텐데?

당장 필요없는건 맞는데요, measurable mapping 의 결과에 또 다시 연속으로 measurable mapping을 취하려고 하는거에요. 즉 확률변수의 함수를 고려하기 위해서!

#

C. 연습문제

# 예제1 – 아래와 같은 measurable space를 고려하자.

• \(\Omega=\{a,b,c,d\}\)
• \({\cal F} =\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\{a\}\}\).

아래와 같은 function \(X:\Omega \to \mathbb{R}\), \(Y:\Omega \to \mathbb{R}\) 을 고려하자.

• \(X(a)=1, X(b)=2, X(c)=3, X(d)=4\)
• \(Y(a)=1, Y(b)=2, Y(c)=2, Y(c)=2\)

아래의 물음에 답하라.

• \(X\) 는 \((\Omega,{\cal F})\to (\mathbb{R},{\cal R})\) 인 확률변수인가?
• \(Y\) 는 \((\Omega,{\cal F})\to (\mathbb{R},{\cal R})\) 인 확률변수인가?

(풀이)

\(X\)는 확률변수가 아님

집합 \(\{2\} \in {\cal R}\)에 대하여 \(\{\omega: X(\omega) \in \{2\}\}=\{b\} \not \in \sigma({\cal A})\) 이므로 \(X\)는 확률변수가 아님

\(Y\)는 확률변수임

아래를 관찰하자.

1. \(\{\omega: Y(\omega) \in \mathbb{R}-\{1,2\}\} = \emptyset \in \sigma({\cal A})\)
2. \(\{\omega: Y(\omega) \in \{1\}\} = \{a\} \in \sigma({\cal A})\)
3. \(\{\omega: Y(\omega) \in \{2\}\} = \{b,c,d\} \in \sigma({\cal A})\)
4. \(\{\omega: Y(\omega) \in \{1,2\}\} = \{a,b,c,d\} \in \sigma({\cal A})\)

임의의 \(B \in {\cal R}\)는 아래의 4가지 경우로 중 하나이다.¹¹

¹¹ 예를들어 \(B=\{3\}\)은 1에, \(B = \{1\} \cup \mathbb{Q}^c\) 은 2에, \(B=\mathbb{Q}\)은 4에 포함된다.

1. \(B\)가 1,2를 원소로 모두 포함하지 않는 경우
2. \(B\)가 1을 원소로 포함하고 2는 원소로 포함하지 않는 경우
3. \(B\)가 1을 원소로 포함하지 않고 2만 원소로 포함하는 경우
4. \(B\)가 1,2를 모두 원소로 포함하는 경우.

그리고 각 경우에 대한 \(Y\)의 역상은 \(\emptyset, \{a\}, \{b,c,d\}, \{a,b,d,c\}\) 로 각각 정리되므로 \(Y\)는 확률변수이다.

#

# 예제2 – 두개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)와 \((\mathbb{R},{\cal R})\)를 고려하자. 단,

• \(\Omega=\mathbb{R}\),
• \({\cal F} =\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\{q\}: q \in \mathbb{Q}\}\)

이다.

아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\)을 고려하라.

\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega \in \mathbb{Q}\\ 1 & \omega \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases}\]

\(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\to(\mathbb{R},{\cal R})\) 인 가측함수인가? 즉 \(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수인가?

(풀이) 잴 수 있는 함수임.

\(X\)의 상은 \(\{0\}, \{1\}, \{0,1\}\) 중 하나이고, \(X\)의 역상은 \(\mathbb{Q}, \mathbb{Q}^c, \emptyset, \Omega\) 중 하나이다. 역상이 모두 \({\cal F}\)의 원소인지 따져보자.

• \(\emptyset, \Omega\) 는 시그마필드의 정의에 의하여 \({\cal F}\)의 원소임.
• 임의의 \(q \in \mathbb{Q}\) 에 대하여 \(\{q\} \in {\cal F}\) 이고, 시그마필드는 countable union 에 닫혀있으므로 \(\mathbb{Q} \in {\cal F}\).
• \(\mathbb{Q} \in {\cal F}\) 이고 시그마필드는 \(^c\)-closed 이므로 \(\mathbb{Q}^ \in {\cal F}\).

따라서 \(X\)는 \((\Omega, {\cal F})\)에서의 확률변수이다.

# 예제3 – 두개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)와 \((\mathbb{R},{\cal R})\)를 고려하자. 단,

• \(\Omega=\mathbb{R}\),
• \({\cal F} =\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\mathbb{Q}\}\).

아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\)을 고려하라.

\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega \in \mathbb{Q}\\ 1 & \omega \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases}\]

\(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\to(\mathbb{R},{\cal R})\) 인 가측함수인가? 즉 \(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수인가?

(풀이)

이 문제의 경우 \({\cal F} = \{\emptyset, \mathbb{Q}, \mathbb{Q}^c, \mathbb{R}\}\) 이다. \(X\)의 역상이 나올 수 있는 경우는 이전문제와 동일하게 \(\mathbb{Q}, \mathbb{Q}^c, \emptyset, \Omega\) 중 하나이다. (\({\cal F}\)가 어떻게 바뀌든 상관없음. \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 자체는 이전문제와 동일.) 역상이 모두 \({\cal F}\)의 원소이므로 \(X\)는 확률변수의 정의를 만족한다.

#

# 예제4 – 두개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)와 \((\mathbb{R},{\cal R})\)를 고려하자. 단,

• \(\Omega=\mathbb{R}\),
• \({\cal F} =\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\{q\}: q \in \mathbb{Q}\}\),

아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 을 고려하라.

\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega =0\\ 1 & \omega \neq 0 \end{cases}\]

\(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\to(\mathbb{R},{\cal R})\) 인 가측함수인가? 즉 \(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수인가?

(풀이) 확률변수가 맞음. \(X\)의 상은 \(\{0\}, \{1\}, \{0,1\}\) 중 하나이며, 역상은 \(\{0\}, \mathbb{R}-\{0\}, \emptyset, \mathbb{R}\) 중 하나임.

• \(\emptyset, \mathbb{R}\) 는 시그마필드의 정의에 의하여 \({\cal F}\)의 원소임.
• 임의의 \(q \in \mathbb{Q}\) 에 대하여 \(\{q\} \in {\cal F}\) 이므로 \(0 \in \mathbb{Q}\) 이므로, \(\{0\} \in {\cal F}\).
• \(\{0\} \in {\cal F}\) 이고 시그마필드는 \(^c\)-closed 이므로 \(\mathbb{R}-\{0\} \in {\cal F}\).

#

# 예제4 – 두개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)와 \((\mathbb{R},{\cal R})\)를 고려하자. 단,

• \(\Omega=\mathbb{R}\),
• \({\cal F} =\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\mathbb{Q}\}\),

아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to \mathbb{R}\) 을 고려하라.

\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega =0\\ 1 & \omega \neq 0 \end{cases}\]

\(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\to(\mathbb{R},{\cal R})\) 인 가측함수인가? 즉 \(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률변수인가?

(풀이) 확률변수가 아님. \(X\)의 상은 \(\{0\}, \{1\}, \{0,1\}\) 중 하나이며, 역상은 \(\{0\}, \mathbb{R}-\{0\}, \emptyset, \mathbb{R}\) 중 하나임. \(\{0\}\) 와 \(\mathbb{R}-\{0\}\)는 \({\cal F}\)의 원소가 아니므로 확률변수가 아님.

#

4. 확률변수 – 지독한 오해

# 오해1: 학률변수 = 값이 랜덤으로 바뀌는 변수??

• 함수: \(y=f(x)\) // \(f\): function, \(x\): input \(y\): output
• 확률변수: \(x=X(\omega)\) // \(X\): function, \(\omega\): outcome¹², \(x\): realization
• 확률변수는 함수이지만 보통 \(X(\omega)\)와 같이 쓰지 않고 \(X\)라고 쓴다. \(\Rightarrow\) 혼란의 이유

¹² 입력인데 outcome임, 여기서부터 너무 헷갈려!!

#

# 오해2: 확률변수는 결과가 랜덤으로 변하는 함수??

• 확률변수는 함수일 뿐임. 입력이 정해지면 출력이 고정임!
• 동전예제: 입력이 \(\omega=H\) 이면 출력은 \(X(\omega)=1\), 입력이 \(\omega=T\) 이면 출력은 \(X(\omega)=0\) 으로 고정임!

#

# 오해3: 아니야.. 확률변수는 결과가 랜덤으로 바뀌는 느낌이 맞아. 아래의 예시를 봐!

\[X = \begin{cases} 0 & w.p. \frac{1}{2} \\ 1 & w.p. \frac{1}{2} \end{cases}\]

• \(X\)는 진짜 변수처럼 보이긴함.
• 심지어 변수의 값이 랜덤으로 변하는 것 같음.

(해설)

정확하게는 아래 표현이 맞다.

\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega \in \{H\} \\ 1 & \omega \in \{T\} \end{cases} \quad \text{where } P(\{H\}) = P(\{T\}) = \frac{1}{2}.\]

#

- 확률변수에 대한 오해2에 대한 추가설명

• 확률변수는 결과가 랜덤으로 변하는 함수가 아님, 확률변수는 함수일 뿐임. 입력이 정해지면 출력이 고정임!
• 동전예제: 입력이 \(\omega=H\)이면 출력은 \(X(\omega)=1\), 입력이 \(\omega=T\)이면 출력은 \(X(\omega)=0\)으로 고정임!
• 단지 입력 outcome이 실험에 따라 랜덤으로 변할 수 있는 것임!!

- 요약해보면,

1. 확률변수는 확률과 관련없다.
2. 간접적으로는 관련이 있다. (\(\because\) \(X\)의 역상 = \(\mathbb{P}\)의 정의역)