08wk: 측도론 마무리 – 미뤄 둔 증명들

Author

최규빈

Published

October 26, 2024

1. 강의영상

2. 확장이론2

# 이론 (확장이론2) – 확장의 존재성이 보장될때 유일성을 보이는 테크닉

\({\cal A}\)가 \(\Omega\)에 대한 파이시스템일때, 잴 수 있는 공간 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\)에서의 \(\sigma\)-유한측도 \(m\)은 \({\cal A}\)에서의 값으로 유일하게 결정된다. 즉 \({\cal A}\) 에서는 그 값이 일치하지만, \(\sigma({\cal A})\) 에서는 일치하지 않는 두개의 \(\sigma\)-유한측도 \(m_1\),\(m_2\)는 존재할 수 없다.

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# 이론 (확장이론2, 확률버전) – 확장의 존재성이 보장될때 유일성을 보이는 테크닉

\(\big(\Omega, \sigma({\cal A}), \mathbb{P}\big)\) 가 확률공간이라고 하자. 그리고 \({\cal A}\)는 \(\pi\)-system이라고 하자. 확률측도 \(\mathbb{P}: \sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 의 값은 \(\mathbb{P}: {\cal A} \to [0,1]\) 의 값으로 유일하게 결정된다.

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(증명)

\(\mathbb{P}_1,\mathbb{P}_2\)를 \(\big(\Omega,\sigma({\cal A})\big)\) 에서의 확률측도라고 하자. 이떄 \(\mathbb{P}_1\) 와 \(\mathbb{P}_2\) 는 \({\cal A}\) 에서 일치할때 \(\sigma({\cal A})\) 에서도 일치함을 보이려면 아래를 보이면 충분하다.

(a) \(\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)\) \(\Longrightarrow\) \(\big\{B \in \sigma({\cal A}): \mathbb{P}_1(B) \neq \mathbb{P}_2(B)\big\}=\emptyset\)

여기에서 아래의 집합

\[\star=\big\{B \in \sigma({\cal A}): \mathbb{P}_1(B) \neq \mathbb{P}_2(B)\big\}\]

의 의미는 \(\mathbb{P}_1\) 와 \(\mathbb{P}_2\) 의 값이 다른 사건(=집합)들의 모임정도로 해석할 수 있다. 따라서 이 집합의 여집합은 “\(\mathbb{P}_1\) 와 \(\mathbb{P}_2\) 의 값이 같은 사건들의 모임” 으로 해석할 수 있고 아래와 같이 정의할 수 있다.

\[\star^c= \big\{B \in \sigma({\cal A}): \mathbb{P}_1(B) = \mathbb{P}_2(B)\big\}\]

이제 (a) 를 보이는 것은 아래를 보이는 것과 같다.

(b) \(\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)\) \(\Longrightarrow\) \(\big\{B \in \sigma({\cal A}): \mathbb{P}_1(B) = \mathbb{P}_2(B)\big\}=\sigma({\cal A})\)

편의상 \({\cal D} = \big\{B \in \sigma({\cal A}): \mathbb{P}_1(B) = \mathbb{P}_2(B)\big\}\) 라고 쓴다면 (b) 는 아래와 같고,

(c) \(\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)\) \(\Longrightarrow\) \({\cal D}=\sigma({\cal A})\)

딘킨의 \(\pi\)-\(\lambda\) theorem 에 의하면 \({\cal A}\)가 파이시스템일경우 \(l({\cal A})=\sigma({\cal A})\) 가 성립하므로 (c) 대신에 아래를 보여도 충분하다.

(d) \(\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)\) \(\Longrightarrow\) \({\cal D}=l({\cal A})\)

이것은 다시 아래를 보이는 것과 같다.

(e) \(\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)\) \(\Longrightarrow\) (1) \({\cal D} \subset l({\cal A})\) and (2) \(l({\cal A}) \subset {\cal D}\)

잠깐 \(l({\cal A})=\sigma({\cal A})\) 라고 놓고 해석하면 (1)은 \({\cal D} = \sigma({\cal A})\) 가 된다. \({\cal D}\)의 정의를 다시 살펴보면

\[{\cal D} = \big\{B \in \sigma({\cal A}): \mathbb{P}_1(B)=\mathbb{P}_2(B)\big\}\]

가 되고 이를 뜻으로 풀이하면 \({\cal D}\) 는 “\(\sigma({\cal A})\)의 원소 중 수식 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\)로 쟀을 때 측정값이 같은 사건들의 모임”이므로 \({\cal D}\)는 정의상 \(\sigma({\cal A})\) 의 부분집합이 된다. 따라서 (1)은 \({\cal D}\)의 정의에 의하여 당연히 성립하므로 (2)만 보이면 된다. 그런데 (2)를 보이기 위해서는 \({\cal D}\) 가 \({\cal A}\) 를 포함하는 람다시스템임을 보이면 된다. 따라서 아래를 보이면된다.

(f) \(\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)\) \(\Longrightarrow\) (1) \({\cal A} \subset {\cal D}\) and (2) \({\cal D}\) is \(\lambda\)-system

다시 \({\cal D}\)의 정의를 떠올려보자. \({\cal D}\)는 “\(\sigma({\cal A})\)의 원소 중 수식 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\)로 쟀을 때 측정값이 같은 사건들의 모임” 이다. 그런데 문제의 조건에서 “\({\cal A}\) 에서는 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\) 의 측정값이 동일”하다고 하였으므로 \({\cal D}\)는 정의상 \({\cal A}\)를 포함한다. 따라서 (2)만을 보이면된다.

람다시스템 첫조건 체크

\(\Omega \in {\cal D}\) 임을 보이자. 그런데

  • \(\Omega \in {\cal D}\) \(\Longleftrightarrow\) \(\Omega \in \sigma({\cal A})\) and \(\mathbb{P}_1(\Omega) = \mathbb{P}_2(\Omega)\).

이므로 아래를 보이면된다.

  1. \(\Omega \in \sigma({\cal A})\)
  2. \(\mathbb{P}_1(\Omega) = \mathbb{P}_2(\Omega)\)

1은 시그마필드의 정의에 의하여 성립하고, 2는 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\)가 확률측도이므로 성립한다.

람다시스템 두번째 조건 체크

\(A \in {\cal D} \Rightarrow A^c \in {\cal D}\) 임을 보이자. 표현 “\(\star \in {\cal D}\)” 를 정리하면 아래와 같다.

  • \(A \in {\cal D}\) \(\Longleftrightarrow\) \(A \in \sigma({\cal A})\) and \(\mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)\)
  • \(A^c \in {\cal D}\) \(\Longleftrightarrow\) \(A^c \in \sigma({\cal A})\) and \(\mathbb{P}_1(A^c)=\mathbb{P}_2(A^c)\)

따라서 우리는 아래를 보이면 된다.

\[A \in \sigma({\cal A}) \text{ and } \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A) \Longrightarrow A^c \in \sigma({\cal A}) \text{ and }\mathbb{P}_1(A^c)=\mathbb{P}_2(A^c)\]

여기에서

  • \(A \in \sigma({\cal A}) \Rightarrow A^c \in \sigma({\cal A})\)

임은 시그마필드의 정의에 의하여 성립하고1

  • \(\mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A) \Rightarrow \mathbb{P}_1(A^c)=\mathbb{P}_2(A^c)\)

임은 여집합사건에 대한 확률의 정의에 의하여 성립한다.

  • 1 따라서 \(\mathbb{P}_1(A^c)=\mathbb{P}_2(A^c)\)와 같은 표현이 가능하다

    • 람다시스템 세번째 조건 체크

    \(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal D}, ~\forall B_1,B_2, \cdots\in {\cal D}\) 임을 보이자. 단, 여기에서 \(B_1,B_2,\dots\) 는 서로소인 집합열이다.

    표현 “\(\star \in {\cal D}\)” 를 정리하면 아래와 같다.

    1. \(B_i \in {\cal D}\) \(\Longleftrightarrow\) \(B_i \in \sigma({\cal A})\) and \(\mathbb{P}_1(B_i)=\mathbb{P}_2(B_i)\)
    2. \(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal D}\) \(\Longleftrightarrow\) \(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i \in \sigma({\cal A})\) and \(\mathbb{P}_1(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i)=\mathbb{P}_2(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i)\)

    따라서 증명할 것을 정리하면

    • 모든 \(i \in \mathbb{N}\)에 대하여 1이 성립 \(\Rightarrow\) 2가 성립

    함을 보이면된다. 시그마필드의 정의에 의하여

    • \(\big(\forall i \in \mathbb{N}: B_i \in \sigma({\cal A})\big) \Longrightarrow \uplus_{i=1}^\infty B_i \in \sigma({\cal A})\)

    이 성립한다.2 그리고 확률의 세번째 공리에 의하여 아래가 성립한다.

    • \(\big(\forall i \in \mathbb{N}: \mathbb{P}_1(B_i)=\mathbb{P}_2(B_i)\big) \Longrightarrow \mathbb{P}_1(\uplus_{i=1}^\infty B_i)=\mathbb{P}_2(\uplus_{i=1}^\infty B_i)\)

  • 2 따라서 \(\uplus_{i=1}^\infty B_i\)는 확률측정가능한 집합이 되고 \(\mathbb{P}_1(\uplus_{i=1}^\infty B_i)= \mathbb{P}_2(\uplus_{i=1}^\infty B_i)\) 와 같은 표현이 가능해진다.

    • #

    3. 집합함수의 성질

    # 예제1 – \({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. \({\cal A}\)가 세미링일때, \(1 \Rightarrow 2\) 임을 보여라.

    1. \(\tilde{m}\) is addtivie on \({\cal A}\)
    2. \(\tilde{m}\) is monotone on \({\cal A}\)

    (풀이)

    함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\)에서 monotone이라는 의미는 \(A\subset B\)를 만족하는 임의의 \(A,B \in {\cal A}\) 에 대하여 아래를 만족한다는 의미이다.

    \[\tilde{m}(A) \leq \tilde{m}(B)\]

    그런데 아래의 식이 성립하므로

    \[B=A \uplus (B-A)\]

    위의 식의 양변에 \(\tilde{m}\)을 취하면, \(\tilde{m}\)의 add성질 때문에 아래가 성립하여 증명이 완료될 것 같다.

    \[\tilde{m}(B)=\tilde{m}(A) + \tilde{m}(B-A)\]

    그렇지만 세미링 \({\cal A}\)는 차집합에 닫혀있지 않으므로 \(A,B \in {\cal A}\) 라고 해도 \(B-A \in {\cal A}\) 라는 보장이 없다. 따라서 \(\tilde{m}(B-A)\) 와 같은 표현은 불가능하다. 대신에 \({\cal A}\)는 차집합에 반쯤 닫혀 있으므로 아래와 같은 표현은 가능하다.

    \[\tilde{m}(B)=\tilde{m}(A) + \sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(C_i)\]

    따라서 증명이 완료되었다.

    #

    # 예제2 – \({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. \({\cal A}\)가 세미링일때, \(1 \Rightarrow 2\) 임을 보여라.

    1. \(\tilde{m}\) is addtivie on \({\cal A}\)
    2. \(\tilde{m}\) is subaddtive on \({\cal A}\)

    (풀이)

    일반성을 잃지 않고, 증명하고자 하는 바를 아래로 간략화 할 수 있다.

    \(A, A_1, A_2 \in {\cal A}\) and \(A \subset (A_1\cup A_2)\) \(\Rightarrow\) \(\tilde{m}(A) \leq \tilde{m}(A_1) + \tilde{m}(A_2)\)

    일단 \(B_1=A_1\), \(B_2=A_2-A_1 =\uplus_{i=1}^{n}C_i\) 을 이용하여 아래의 식을 우선 정리하자.

    (a) \(A_1 \cup A_2 = B_1 \uplus B_2 = B_1 \uplus C_1 \uplus \dots \uplus C_n\)

    (b) \(A_2 = (A_1 \cap A_2) \uplus C_1 \uplus \dots \uplus C_n\)

    이제 \(A \subset (A_1 \cup A_2)\) 를 이용하면 \(A = A \cap (A_1 \cup A_2) = A \cap (B_1\uplus C_1\uplus\dots\uplus C_n)\) 를 얻을 수 있고 따라서 \(A\)는 아래와 같이 분해할 수 있다.

    \[A = (A\cap B_1)\uplus (A\cap C_1) \uplus \dots \uplus (A\cap C_n)\]

    \(\tilde{m}\)이 add 함을 이용하면 위의 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

    \[\tilde{m}(A) = \tilde{m}(A\cap B_1)+ \tilde{m}(A\cap C_1) + \dots + \tilde{m}(A\cap C_n)\]

    여기에서 \(A\in {\cal A}\), \(A \cap B_1 \in {\cal A}\), \(A \cap C_i \in {\cal A}\) 이므로, 위의 식에서 \(\tilde{m}(\star)\) 와 같은 표현이 모두 가능함을 체크하자. 이제 \(\tilde{m}\)이 monotone 임을 이용하면3

  • 3 monotone은 add에 의하여 imply 되었음

    • \[\tilde{m}(A) \leq \textcolor{red}{\tilde{m}(B_1)}+ \textcolor{blue}{\tilde{m}(C_1)} + \dots + \textcolor{blue}{\tilde{m}(C_n)}\quad \cdots(\star)\]

    임을 알 수 있다. 이제 (b)의 양변에 함수 \(\tilde{m}\)을 취하여 아래를 얻자.

    \[\tilde{m}(A_2) = \tilde{m}(A_1 \cap A_2) +\tilde{m}(C_1)+ \dots \tilde{m}(C_n) \quad\cdots(\star\star)\]

    이제 \(\tilde{m}(A_1)=\tilde{m}(B_1)\) 임을 이용하여 \((\star)\)의 빨간색부분을 정리하고 \((\star\star)\)를 이용하여 \((\star)\)의 파란색부분을 정리하면 아래를 얻을 수 있다.

    \[\tilde{m}(A) \leq \tilde{m}(A_1) + \tilde{m}(A_2)\]

    따라서 증명이 되었다.

    #

    4. 르벡메저

    # 예비학습1 – 부등식의 증명

    실수 \(a,b\) 의 대소비교시 아래를 이용하면 편리하다.

    \[a \leq b \Leftrightarrow \forall \epsilon>0: a < b+\epsilon \]

    즉 \(a\leq b\) 임을 보이기 위해서 \(\forall \epsilon>0: a < b+\epsilon\) 을 보여도 충분하다.

    (증명)

    \((\Rightarrow)\) 는 당연하므로 \((\Leftarrow\)) 만을 보이면 된다.

    \((\Leftarrow\)) 의 증명

    아래를 보이면 된다.

    \[\big(\forall \epsilon>0: a < b+\epsilon \big)\Rightarrow a \leq b\]

    귀류법을 사용하자. 즉 \(a > b\) 를 가정하자. 그러면 \(a-b>0\) 이 된다. 만약에 \(\epsilon^*= a-b>0\) 로 설정하면

    \[a=b+\epsilon^*\]

    가 성립하는데 이는 모순이다.

    #

    # 예제 – 르벡메저

    전체집합 \(\Omega\) 에 대하여, 아래와 같은 세미링 \({\cal A}\) 를 고려하자.

    \[{\cal A} = \big\{(a,b]: -\infty<a<b<\infty \big\} \cup \{\emptyset\}\]

    \({\cal A}\) 에서의 집합함수 \(\tilde{\lambda}: {\cal A} \to [0,\infty]\) 를 아래와 같이 정의하자.

    \[\tilde{\lambda}((a,b]) = b-a\]

    함수 \(\tilde{\lambda}\) 이 \({\cal A}\)에서 additive 함은 쉽게 보일 수 있다. 이제 \(\sigma\)-subadditive on \({\cal A}\) 임을 보이자.

    (예비풀이)

    구간 \((0,1]\) 을 상상하자. 이제 \(\epsilon \in (0,1)\) 을 하나 뽑자. 그리고 아래와 같은 구간열을 상상하자.

    • \(\big(1/2, ~~ 1+0.1-1/2\big],~~ \big(1/3, ~~ 1+0.1-1/3\big],~ \cdots, \big(a_k,b_k\big],\cdots\)
    • \(\big(1/2, ~~ 1+0.1-1/2+\frac{\epsilon}{4}\big],~~ \big(1/3, ~~ 1+0.1-1/3+\frac{\epsilon}{8}\big],~ \cdots \big(a_k,b_k(\epsilon)\big]\cdots\)

    위의 구간을 모두 합치면, 아래 구간을 모두 함친것 보다 \(\frac{\epsilon}{2}\) 만큼 길이가 작다. 이제 아래의 수식을 관찰하자.

    \[\big[\frac{\epsilon}{2},1 \big] \subset \big(0,1\big] \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k]\subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k(\epsilon)] \quad\cdots(\star)\]

    만약에 엄청 큰 자연수 \(K\)를 선택한다면 구간 \(\big[\frac{\epsilon}{2}, 1\big]\) 는 \(\cup_{k=1}^{K}\big(a_k,b_k(\epsilon)\big]\) 로 덮을 수 있다. 즉 아래가 성립한다.

    \[\big[\frac{\epsilon}{2}, 1\big]\subset \bigcup_{k=1}^{K}\big(a_k,b_k(\epsilon)\big]\quad \cdots(\star\star)\]

    이제 (\(\star\)), (\(\star\star)\) 를 활용하여 식을 전개해보자.

    \[\begin{align*} \tilde{\lambda}\left(\big(0,1\big] \right) &= \frac{\epsilon}{2} + \tilde{\lambda}\left(\big(\frac{\epsilon}{2},1\big] \right) \\ &\leq \frac{\epsilon}{2}+\tilde{\lambda}\left(\bigcup_{k=1}^{K}\big(a_k,b_k(\epsilon)\big] \right)\\ &\leq \frac{\epsilon}{2}+\tilde{\lambda}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k(\epsilon)\big] \right)=\epsilon+\tilde{\lambda}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k\big] \right) \end{align*}\]

    정리하면 아래가 성립함을 알 수 있다. (\(\epsilon\)을 작게 뽑으면 위의 논리전개를 그대로 쓰면 되고, 큰 값을 뽑으면 그냥 성립하니까..)

    \[\forall \epsilon> 0:~\tilde{\lambda}\left(\big(0,1\big] \right) \leq \epsilon+\tilde{\lambda}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k\big] \right)\]

    따라서 예비학습1을 쓰면 아래가 성립함을 알 수 있다.

    \[\tilde{\lambda}\left(\big(0,1\big] \right) \leq \tilde{\lambda}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k\big] \right)\]

    (풀이)

    구간 \((a,b]\) 를 fix 하자. 이제 \(\big(a,b\big] \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k]\) 를 만족하는 \((a_k,b_k]\) 를 상상하자. 예비풀이의 논리전개를 그대로 이용하면 고정된 \((a,b]\) 에 대하여 아래가 성립함을 알 수 있다.

    \[\big(a,b\big] \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k] \Rightarrow \tilde{\lambda}\left(\big(a,b\big] \right) \leq \tilde{\lambda}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\big(a_k,b_k\big] \right) \cdots (\star\star\star) \]

    그런데 \((\star\star\star)\)는 임의의 \((a,b]\) 에 대해서도 성립하므로 따라서 \(\tilde{\lambda}\) 는 \({\cal A}\)에서 \(\sigma\)-subadditive 하다.

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