07wk,08wk: 측도론의 중요이론들 (2)
1. 강의영상
2. 집합함수
A. 집합함수의 성질
# 정의: \(\Omega\)의 부분집합들의 모임 \({\cal A}\) 에서 정의된 집합함수 \(\tilde{m}: {\cal A}\to [0,\infty]\)에 대하여, additivity, subadditivity, \(\sigma\)-additivity, \(\sigma\)-subadditivity 가 의미하는 바를 살펴보자. 각 정의는 아래에 서술되어 있다. 두가지 버전을 같이 썼으니 취향껏 기억하자. 또한 논의를 간단하게 하기 위해서 아래의 모든 정의에서 집합열
\[A_1,A_2,A_3,\cdots\]
은 서로소가 아닌 집합열,
\[B_1,B_2,B_2,\cdots\]
는 서로소인 집합열을 의미하도록 기호로를 설정하였으니 유의하자.
\(\tilde{m}\) is additive on \({\cal A}\)
\({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. “집함함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\) 에서 additive 하다”는 것은 서로소인 임의의 집합열 \(\{B_i\}\) 에 대하여 아래가 성립한다는 의미이다.
\[\tilde{m}\left(\biguplus_{i=1}^{n} B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(B_i)\] 여기에서 \(\tilde{m}(\star)\) 와 같은 표현이 가능하다는 것은 \(\star \in {\cal A}\) 임을 암시한다.
\(\tilde{m}\) is additive on \({\cal A}\)
\({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. “집함함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\) 에서 additive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.
\[\text{(1)} B_1,\dots, B_n \in {\cal A} ~~\text{(2)}\biguplus_{i=1}^{n}B_i \in {\cal A}~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(\biguplus_{i=1}^{n} B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(B_i)\]
단, \(B_1,B_2,\cdots, B_n\) 는 서로소인 집합열이다.
\(\tilde{m}\) is \(\sigma\)-additive on \({\cal A}\)
\({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. “집함함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\) 에서 \(\sigma\)-additive 하다”는 것은 서로소인 임의의 집합열 \(\{B_i\}\) 에 대하여 아래가 성립한다는 의미이다.
\[\tilde{m}\left(\biguplus_{i=1}^{\infty} B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(B_i)\] 여기에서 \(\tilde{m}(\star)\) 와 같은 표현이 가능하다는 것은 \(\star \in {\cal A}\) 임을 암시한다.
\(\tilde{m}\) is \(\sigma\)-additive on \({\cal A}\)
\({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. “집함함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\) 에서 \(\sigma\)-additive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.
\[\text{(1)} B_1,B_2,\cdots \in {\cal A} ~~\text{(2)}\biguplus_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal A}~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(\biguplus_{i=1}^{\infty} B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(B_i)\]
단, \(B_1,B_2,\cdots\) 는 서로소인 집합열이다.
\(\tilde{m}\) is subadditive on \({\cal A}\)
\({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. “집함함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\) 에서 subadditive 하다”는 것은 \(A \subset \cup_{i=1}^{n}A_i\) 를 만족하는 임의의 \(A,\{A_i\}\) 에 대하여 아래가 성립한다는 의미이다.
\[\tilde{m}\left(A\right)\leq\sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(A_i)\] 여기에서 \(\tilde{m}(\star)\) 와 같은 표현이 가능하다는 것은 \(\star \in {\cal A}\) 임을 암시한다.
만약에 \({\cal A}\subset 2^\Omega\) 가 시그마필드이고 \(m:{\cal A} \to [0,\infty]\)이 메저라면, “\(m\)이 \({\cal A}\) 에서 subadditive 하다”는 것은 임의의 집합열 \(\{A_i\}\)에 대하여 단순히 아래가 성립한다는 의미이다.
\[m\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\leq\sum_{i=1}^{n}m(A_i)\] 여기에서도 \(m(\star)\) 와 같은 표현이 가능하다는 것은 \(\star \in {\cal A}\) 임을 암시한다.
\(\tilde{m}\) is subadditive on \({\cal A}\)
\({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. “집함함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\) 에서 subadditive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.
\[\text{(1)} A, A_1,\dots, A_n \in {\cal A} ~~\text{(2)}A \subset \bigcup_{i=1}^{n}A_i ~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(A\right)\leq\sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(A_i)\]
만약에 \({\cal A}\subset 2^\Omega\) 가 시그마필드이고 \(m:{\cal A} \to [0,\infty]\)이 메저라면, “\(m\)이 \({\cal A}\) 에서 subadditive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.
\[A_1,\dots, A_n \in {\cal A}~ \Longrightarrow m\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\leq\sum_{i=1}^{n}m(A_i)\]
\(\tilde{m}\) is \(\sigma\)-subadditive on \({\cal A}\)
\({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. “집함함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\) 에서 \(\sigma\)-subadditive 하다”는 것은 \(A \subset \cup_{i=1}^{\infty}A_i\) 를 만족하는 임의의 \(A,\{A_i\}\) 에 대하여 아래가 성립한다는 의미이다.
\[\tilde{m}\left(A\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(A_i)\] 여기에서 \(\tilde{m}(\star)\) 와 같은 표현이 가능하다는 것은 \(\star \in {\cal A}\) 임을 암시한다.
만약에 \({\cal A}\subset 2^\Omega\) 가 시그마필드이고 \(m:{\cal A} \to [0,\infty]\)이 메저라면, “\(m\)이 \({\cal A}\) 에서 \(\sigma\)-subadditive 하다”는 것은 임의의 집합열 \(\{A_i\}\)에 대하여 단순히 아래가 성립한다는 의미이다.
\[m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}m(A_i)\] 여기에서도 \(m(\star)\) 와 같은 표현이 가능하다는 것은 \(\star \in {\cal A}\) 임을 암시한다.
\(\tilde{m}\) is \(\sigma\)-subadditive on \({\cal A}\)
\({\cal A}\subset 2^\Omega\) 에서의 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자. “집함함수 \(\tilde{m}\)이 \({\cal A}\) 에서 \(\sigma\)-subadditive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.
\[\text{(1)} A, A_1, A_2 \cdots \in {\cal A} ~~\text{(2)}A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i ~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(A\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(A_i)\]
만약에 \({\cal A}\subset 2^\Omega\) 가 시그마필드이고 \(m:{\cal A} \to [0,\infty]\)이 메저라면, “\(m\)이 \({\cal A}\) 에서 \(\sigma\)-subadditive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.
\[A_1,A_2,\cdots \in {\cal A}~ \Longrightarrow m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}m(A_i)\]
#
# 성질 – \({\cal A} \subset 2^\Omega\), \(\tilde{m}: {\cal A} \to [0,\infty]\) 라고 하자. 함수 \(\tilde{m}\)에 대하여 체크해볼만한 성질들이 있다.
- \(\sigma\)-additivity \(\Rightarrow\) additivity // \(\sigma\)-subadditivity \(\Rightarrow\) subadditivity
- \(\Omega\)가 유한집합일 경우: \(\sigma\)-additivity \(\Leftrightarrow\) additivity // \(\sigma\)-subadditivity \(\Leftrightarrow\) subadditivity
- \({\cal A}\)가 세미링: additivity \(\Rightarrow\) monotonicity1
- \({\cal A}\)가 세미링: additivity \(\Rightarrow\) sub-additivity // \(\sigma\)-additivity \(\Rightarrow\) \(\sigma\)-subadditivity
1 \(A \subset B \Rightarrow \tilde{m}(A)\leq \tilde{m}(B)\)
3,4는 그냥 외우세요
#
B. 측도, 유한측도, 확률
# (간단한) 정의 – 측도는 정의역이 시그마필드이고 \(\sigma\)-additivity 와 \(m(\emptyset)=0\) 를 만족하는 집합함수 \(m\) 이다.
# (간단한) 정의 – \(m(\Omega)=1\) 인 측도를 확률측도라고 하고, 간단히 확률이라고 줄여부르기도 한다.
# (간단한) 정의 – \(m(\Omega)<\infty\) 인 측도를 유한측도라고 한다.
- 따라서 확률측도는 유한측도이다. 정리하면
\[\text{prob-msr $\Rightarrow$ finite-msr $\Rightarrow$ msr}\]
이다.
- 르벡메저는 유한측도가 아니다.
C. 시그마유한측도
# 정의 – \((\Omega,{\cal F}, m)\) 을 측도공간이라고 하자. 아래가 성립한다면
\[\text{$\exists~ \Omega_1,\Omega_2, \dots \in {\cal F}$ such that (1) $\cup_{i=1}^{\infty}\Omega_i=\Omega$ and (2) $\forall n \in \mathbb{N}: m(\Omega_n)< \infty$}\]
\(m\)을 시그마유한측도라고 한다.
#
# 정의 – 공간 \((\Omega,{\cal A})\) 를 상상하자. 여기에서 \({\cal A}\)는 \(\Omega\)에 대한 세미링이다. 만약에 어떠한 집합함수 \(\tilde{m}: {\cal A} \to [0,\infty]\) with \(\tilde{m}(\emptyset) =0\) 이 아래를 만족한다면
\[\text{$\exists~ \Omega_1,\Omega_2, \dots \in {\cal F}$ such that (1) $\cup_{i=1}^{\infty}\Omega_i=\Omega$ and (2) $\forall n \in \mathbb{N}: \tilde{m}(\Omega_n)< \infty$}\]
\(\tilde{m}\)을 \({\cal A}\) 에서 시그마유한하다고 표현한다.
#
# 예제1 – 측도공간 \((\mathbb{R}, {\cal R}, \lambda)\) 를 고려하자. 여기에서 \(\lambda\) 는 르벡메저 (즉 길이를 재는 함수), \({\cal R}\) 은 보렐시그마필드 (즉 실수의 부분집합중 길이를 무모순으로 잴 수 있는 집합들의 모임) 이다. 아래가 성립하므로
\[\lambda(\mathbb{R})=\infty\]
르벡메저는 유한측도가 아니다. 그렇지만
- \(\Omega_1 = [-1,1]\)
- \(\Omega_2 = [-2,2] - \Omega_1\)
- \(\Omega_3 = [-3,3] - \Omega_2 -\Omega_1\)
- \(\dots\)
와 같이 설정한다면,
\[\forall n \in \mathbb{N}: \lambda(\Omega_n) = 2 <\infty\]
가 성립하고
\[\cup_{i=1}^{\infty}\Omega_i = \Omega = \mathbb{R}\]
이므로 르벡메저는 시그마유한측도이다.
#
시그마유한측도의 뉘앙스는 “전체 집합을 유한한 값으로 나타낼 수는 없을지라도, 전체집합을 쪼개서 (비록 무한번 쪼개는 한이 있더라도), 쪼갠것들은 유한한 값으로 나타낼 수 있는 방법이 최소한 하나는 존재한다.” 의 뉘앙스를 가지고 있다. 따라서 시그마유한측도의 정의에서 집합열 \(\Omega_1,\Omega_2,\dots\) 를 무한집합열로 잡을 이유는 굳이 없다. (수 틀리면 무한번 쪼개겠다는 것이지 꼭 무한번 쪼개야 할 이유는 없으니까. 유한번 쪼개서 만들 수 있다면 오히려 좋음!)
# 예제1의 다른풀이 – 예제1에서 \(\Omega_1,\Omega_2,\dots\)을 아래와 같이 설정해도 된다.
- \(\Omega_1 = [-1,1]\)
- \(\Omega_2 = [-2,2]\)
- \(\Omega_3 = [-3,3]\)
- \(\dots\)
그래도
- \(\forall n \in \mathbb{N}: \lambda(\Omega_n) = 2n <\infty\)
- \(\cup_{i=1}^{\infty}\Omega_i = \Omega = \mathbb{R}\)
이 성립하기 때문이다.
#
# 보충학습 – \(\forall n \in \mathbb{N}: \lambda(\Omega_n) = 2n <\infty\) 이 이상하다면??
임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\frac{1}{n}\)는 양수이다. 즉
\[\forall n \in \mathbb{N}: \frac{1}{n} > 0\]
이다. 여기에서 \(\mathbb{N}\)은 2주차에서 언급한것처럼 \(\{\infty\}\) 를 포함하지 않는다. 한편 \(\frac{1}{n}\)은 아래가 성립한다.
\[\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0\]
정리하면 아래가 성립한다.
- \(\forall n \in \mathbb{N}: \frac{1}{n} > 0\)
- \(\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0\)
여기에서 1에 대해 이해할때는 \(n \neq \infty\) 라고 생각하지만 2는 마치 \(n=\infty\) 를 대입한듯한 느낌을 줘서 매우 헷갈릴 수 있다. (그렇지만 우리는 헷갈리면 안되죠? 극한과 함수값은 다른거에요)
#
- 유한측도이면 시그마유한측도이다. (\(\Omega_1=\Omega\)로 잡으면 된다) 따라서 정리하면 아래와 같다. \[\text{prob-msr $\Rightarrow$ finite-msr $\Rightarrow$ $\sigma$-finite msr $\Rightarrow$ msr}\]
3. 확장이론
A. 확장이론1
# 이론 (카라테오도리의 유산, 확률버전) – \({\cal A} \subset 2^{\Omega}\)를 \(\Omega\)에 대한 세미링이라고 하자. \({\cal A}\) 에서 확률인 듯 확률 아닌 집합함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\) with (1) \(\tilde{P}(\emptyset)=0\) and (2) \(\tilde{P}(\Omega)=1\) 이 아래의 조건을 만족한다고 가정하자.
- additive on \({\cal A}\)
- \(\sigma\)-subadditive on \({\cal A}\)
이 확률인 듯 확률 아닌 함수 \(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률 \(\mathbb{P}\) 로 확장할 수 있다. 그리고 이 확장은 유일하다.
#
# 이론 (카라테오도리의 유산, 시그마유한측도버전) – \({\cal A} \subset 2^{\Omega}\)를 \(\Omega\)에 대한 세미링이라고 하자. \({\cal A}\) 에서 시그마유한측도인 듯 시그마유한측도 아닌 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\) with (1) \(\tilde{m}(\emptyset)=0\) and (2) \(\text{$\tilde{m}$ is $\sigma$-finite on ${\cal A}$.}\) 이 아래의 조건을 만족한다고 가정하자.
- additive on \({\cal A}\)
- \(\sigma\)-subadditive on \({\cal A}\)
이 시그마유한측도인 듯 시그마유한측도 아닌 함수 \(\tilde{m}\)은 \(\sigma({\cal A})\)에서의 \(\sigma\)-유한측도로 확장될 수 있다. 그리고 이 확장은 유일하다.
#
이 이론은 확률인 듯 확률 아닌 함수, 유한측도인 듯 유한측도 아닌 함수, 시그마유한측도인 듯 시그마유한측도 아닌 함수에는 성립하지만 측도인 듯 측도 아닌함수에 대해서는 성립하지 않음.
# 예제1
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모음 (=내가 확률을 정의하고 싶은 이벤트들의 모음) 은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\},\Omega\}\]
이러한 집합에서 아래와 같은 함수를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
아쉽게도 \({\cal A}\)는 시그마필드의 정의를 만족하지 않으므로, 위와 같은 함수 \(\tilde{P}\)를 확률(=확률측도)이라고 주장할 수 없다.2 그렇다고 해서 \(\sigma({\cal A})\)를 구한 다음 그 위에서 확률측도를 정의하는건 너무 귀찮은 일이다. 어쩌면 좋을까?
2 그렇지만 사실 딱봐도 확률 같은걸? 이 정도만 정의하면 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 모든 사건들은 알아서 센스있게 잘 정의될 것 같은걸?
(풀이)
\({\cal A}\)는 세미링이고 \(\tilde{P}\)는 \({\cal A}\)에서 (1) additivity (2) \(\sigma\)-subadditivity 를 만족한다.
우선 add를 체크하기 위해서 아래를 만족하는 집합 \(A, A_1, A_2, \dots, A_n \in {\cal A}\) 가 있는지 살펴본다.
\[A =\biguplus_{i=1}^{n}A_i\]
이러한 조건을 만족하는 집합은
- \(\emptyset = \emptyset \uplus \emptyset\)
- \(\{1\} = \{1\} \uplus \emptyset\)
- \(\{2\} = \{2\} \uplus \emptyset\)
- \(\{3,4\} = \{3,4\} \uplus \emptyset\)
- \(\Omega = \{1\} \uplus \{2\} \uplus \{3,4\}\)
- \(\dots\)
들이 있다. 공집합이 포함된 경우를 제외하면 아래의 경우만 남는다.
\[\Omega = \{1\} \uplus \{2\} \uplus \{3,4\}\]
따라서 위의 case에 대한 additivity를 체크하기만 하면 된다. 양변에 \(\tilde{P}\)를 취하면
\[1 = \tilde{P}(\{1\})+ \tilde{P}(\{2\}) + \tilde{P}(\{3,4\})=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\]
이 되므로 \(\tilde{P}\)는 \({\cal A}\) 에서 additivity를 만족한다.
방법1
\({\cal A}\)의 cardinality는 finite 하므로 \(\sigma\)-subadd 를 체크할 필요 없이 subadd 만 체크하면 된다. 그런데 세미링에서 add 는 subadd 를 imply 하므로 체크되었다.
방법1
\({\cal A}\)의 cardinality는 finite 하므로 add 가 \(\sigma\)-add 를 imply 한다. 그런데 세미링에서 \(\sigma\)-add 는 \(\sigma\)-subadd 를 imply 하므로 체크되었다.
따라서 \(\big(\Omega,{\cal A},\tilde{P}\big)\) 를 확장하여 measure space \(\big(\Omega,\sigma({\cal A}),\mathbb{P}\big)\) 로 만들 수 있다. 또한 이러한 확장은 유일하다. 즉 아래가 성립한다.
\[ \text{$\exists! \mathbb{P}$ such that (1) $\mathbb{P}$ is prob-msr on $\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)$ (2) $\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}(A) = \tilde{P}(A)$} \]
따라서 \({\cal A}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3,4\}, \Omega\}\) 에서의 집합함수
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
만 정의해도, 확률을 정의한 셈 칠 수 있다!
#
# 예제2
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\}, \{3,4\}, \Omega\}\) 라고 하자. 그리고 아래와 같은 \(\sigma({\cal A})\)를 다시 상상하자.
\[\sigma({\cal A}) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \Omega \big\}\]
위의 시그마필드에서 확률을 예제1과 다른 방식으로 정의할 수 도 있다. 예를들면 아래와 같은 방식으로 정의가능하다.
| - | \(\mathbb{P}_1\) | \(\tilde{P}_1\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
또한 아래와 같은 방식도 가능하다.
| - | \(\mathbb{P}_2\) | \(\tilde{P}_2\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{2\}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{3,4\}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | \(0\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(1\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(1\) | None |
어떠한 방식으로 정의하든 \({\cal A}\) 에서 확률인 듯 확률 아닌 \(\tilde{P}_1,\tilde{P}_2\) 를 잘 정의하기만 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률 \(\mathbb{P}\) 로 적절하게 확장할 수 있다. 심지어 이러한 확장은 유일하다.
#
# 예제3
\(\Omega = \{a,b,c,d\}\) 의 부분집합들의 모임
\[{\cal A}=\big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}\big\}\]
를 고려하자. 확률인 듯 확률 아닌 함수 \(\tilde{P}: {\cal A} \to [0,1]\) 을 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{P}(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\tilde{P}(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)
\(\tilde{P}\) 를 확장하여 확률측도의 정의를 만족하는 적당한 함수 \(\mathbb{P}:\sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 를 유일하게 만들 수 있는가?
(풀이)
\({\cal A}\)는 세미링이 아니므로 확장정리를 쓸 수 없다. 그렇지만 \({\cal A}\)를 변형하여 아래를 만든다면
\[\bar{\cal A} = \big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}, \emptyset, \Omega, \{b,c\}, \{a\}, \{d\}\big\}\]
\(\bar {\cal A}\) 는 세미링이 된다. 이제 확률 인듯 확률 아닌 함수 \(\bar{P}: \bar{\cal A} \to [0,1]\) 를 고려하자.
- \(\tilde{P}(\{a,b,c\}) = \bar{P}(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\tilde{P}(\{b,c,d\}) = \bar{P}(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\bar{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\bar{P}(\Omega) = 1\)
- \(\bar{P}(\{a\}) = \frac{1}{4}\)
- \(\bar{P}(\{d\}) = \frac{1}{4}\)
- \(\bar{P}(\{b,c\}) = \frac{1}{2}\)
\(\bar{P}\)는 \(\tilde{P}\)를 확장한 확률인 듯 확률 아닌 함수이다. 즉 \(\bar{P}\)는 \(\bar{\cal A}\) 에서 (1) additivity (2) \(\sigma\)-subadditivity 를 만족한다.3 따라서 \(\bar{P}\)를 확장하여 \(\sigma(\bar{\cal A})=\sigma({\cal A})\) 에서의 확률 \(\mathbb{P}\)를 만들 수 있으며, 이렇게 만들어진 \(\mathbb{P}\)는 유일하다. 또한 \(\tilde{P}\)를 확장하여 \(\bar{\cal A}\)에서의 확률인 듯 확률 아닌 함수로 확장하는 방법이 \(\bar{P}\)가 유일함을 떠올리면4 \({\cal A}\)에서의 집합함수 \(\tilde{P}\)를 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률로 업그레이드 하는 방법은 이것이 유일함을 알 수 있다.
3 add 만 체크하면 끝나는거 알죠?
4 \(\bar{P}(\emptyset)\), \(\bar{P}(\Omega)\), \(\bar{P}(\{a\})\), \(\bar{P}(\{d\})\), \(\bar{P}(\{b,c\})\)의 값을 달리 정의할 수 있는 방법이 없잖아요??
#
# 정리
\(\Omega\)에 대한 부분집합들의 모임 \({\cal A}\) 를 고려하자. 아래가 성립함을 보여라.
\[X \in \sigma({\cal A}) \Rightarrow \sigma\big({\cal A} \cup \{X\}\big) = \sigma({\cal A})\]
좀 더 일반적으로는 아래가 성립한다.
\[\forall X \in {\cal X}: X \in \sigma({\cal A}) \Rightarrow \sigma\big({\cal A} \cup {\cal X} \big) = \sigma({\cal A})\]
(증명)
그냥 외웁시다.. \({\cal A}\) 에 원소를 추가해서 \(\sigma({\cal A})\) 를 만드는 과정을 잘 이해했다면 이건 당연하니까요..
#
# 예제4
\(\Omega=\{1,2,3\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자. 아래와 같은 집합함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 0\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
이러한 집합함수 \(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률측도로 확장가능할까?
(느낌)
그냥 안될 것 같다. 일단 \({\cal A}\)는 세미링이 아니다. 적당히 \({\cal A}\)를 확장하여 세미링 \(\bar{\cal A}\)를 만든다고 하여도 \(\bar{\cal A}\)에서 add 혹은 \(\sigma\)-subadd 가 성립하지 않을것 같다. 즉 확률인 듯 확률 아닌 함수조차 만들 수 없다. 따라서 이 경우는 확장이 불가능할 것 같다.
(풀이)
확장가능하다고 하자. 즉 아래를 만족하는 함수 \(\mathbb{P}: \sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 가 존재한다고 하자.
- \(\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}(A) = \tilde{P}(A)\)
- \(\mathbb{P}\) is prob-msr on \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\)
1에 의하여 \(\mathbb{P}(\{1,2\}) = \mathbb{P}(\{2,3\}) = 0\) 이어야 한다. 또한 2에 의하여 \(\mathbb{P}\)는 \(\big(\Omega,\sigma({\cal A})\big)\) 에서의 확률이고 따라서 아래가 성립해야 한다.
\[\mathbb{P}\big(\{1,2\} \cup\{2,3\} \big) \leq \mathbb{P}(\{1,2\}) + \mathbb{P}(\{2,3\})\]
그런데 1에 의하여 우변은 0이고 좌변은 1 이므로 이는 모순이다.
#
# 예제5
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자. 아래와 같은 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
이러한 집합함수 \(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률측도로 확장가능할까? 확장가능하다면 결과는 유일할까?
(풀이1)
이 예제의 경우 위의 예제와 다르게 \(\bar{\cal A}\)에서 add가 성립해보인다. 확장을 시도해보자. 우선 \({\cal A}\)를 적당히 확장하여 세미링을 만든다. \[\bar{\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\}, \{2,3\}, \Omega, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\}\]
이제 \(\tilde{P}\)를 적절히 확장하여 확률인 듯 확률 아닌 함수 \(\bar{P}: \bar{\cal A} \to [0,1]\) 를 정의해보자. 그런데…
| - | \(\bar{P}_1\) | \(\bar{P}_2\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1,2\}\) | \(1/2\) | \(1/2\) |
| \(\{2,3\}\) | \(1/2\) | \(1/2\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(1/2\) |
| \(\{2\}\) | \(1/2\) | \(0\) |
| \(\{3\}\) | \(0\) | \(1/2\) |
| \(\{4\}\) | \(1/2\) | \(0\) |
와 같이 유일하게 \(\bar{P}\)를 정할 수 없다. 이때 위에서 정의된 함수 \(\bar{P}_1\), \(\bar{P}_2\) 는 모두 세미링 \(\bar{\cal A}\) 에서 add하다. 따라서 확률인 듯 확률 아닌 함수 \(\bar{P}_1\), \(\bar{P}_2\) 는 각각 확률 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\)로 업그레이드 될 수 있다. 요약하면 \(\tilde{P}\)는 확장되어 확률 \(\mathbb{P}_1\) 로 업그레이드 될 수도 있고 \(\mathbb{P}_2\) 로 업그레이드 될 수도 있다. 따라서 일단 \(\tilde{P}\) 는 업그레이드는 가능하지만 그 결과가 유일하지 않다고 볼 수 있다.
그냥 보여줄게요.. 아래를 보면 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\)는 \({\cal A}\)에서는 일치하지만 \(\sigma(A)\)에서는 일치하지 않는 두 확률측도입니다.
| - | \(\mathbb{P}_1\) | \(\mathbb{P}_2\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1,2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,3\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\{3\}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\{1,3\}\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\{1,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,4\}\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,3,4\}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{1,3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) |
| \(\{1,2,4\}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{1,2,3\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) |
(풀이2)
아래와 같은 집합을 고려하자. \({\cal S} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\}\) 라고 하자. 아래와 같은 두개의 집합함수 \(\tilde{P}_1:{\cal S} \to [0,1]\), \(\tilde{P}_2:{\cal S} \to [0,1]\)를 정의하자.
| - | \(\tilde{P}_1\) | \(\tilde{P}_2\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(1/2\) |
| \(\{2\}\) | \(1/2\) | \(0\) |
| \(\{3\}\) | \(0\) | \(1/2\) |
| \(\{4\}\) | \(1/2\) | \(0\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
\({\cal S}\)는 세미링이고 이 두 집합함수는 \({\cal S}\)에서 add를 만족하므로 확장정리1에 의하여 각각 \(\mathbb{P}_1:\sigma({\cal S}) \to [0,1]\), \(\mathbb{P}_2: \sigma({\cal S}) \to [0,1]\)로 확장가능하다. 그런데 이렇게 확장된 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\)의 값을 \({\cal A}=\{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\)에서 조사해보면
\[\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)=\tilde{P}(A)\]
임을 알 수 있다. 또한 \(\sigma({\cal S}) = \sigma({\cal A})\) 임을 이용하면 결국 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\) 는 \({\cal A}\) 에서는 모두 \(\tilde{P}\)와 일치하지만 \(\sigma({\cal A})=\sigma({\cal S})\) 에서는 일치하지 않는 두 확률측도임을 알 수 있다. 따라서 \(\tilde{P}\) 는 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\) 에서의 확률측도로 확장가능하다고 주장할 수 있지만 그 확장의 유일성을 보장할 수는 없다.
#
# 예제6 – 통계학과라서 행복해
\(\Omega=\{a,b\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset,\{a\}\}\) 라고 하자. 여기에서 \({\cal A}\) 는 세미링이다. 이때 측도인 듯 측도 아닌 함수 \(\tilde{m}: {\cal A} \to [0,1]\) 를 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{m}(\emptyset)=0\)
- \(\tilde{m}(\{a\})=\frac{1}{2}\)
이 함수는 \(\tilde{m}\)은 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\) 에서의 측도로 확장가능할까? 확장가능하다면 결과는 유일할까? 만약에 \(\tilde{m}(\Omega)=1\) 이라는 조건을 추가로 준다면 어떠할까?
(풀이)
이 함수는 \({\cal A}\)에서 add를 만족한다. 함수 \(\tilde{m}\)은 잴 수 있는 공간 \((\Omega,\sigma({\cal A})\big)\)에서의 측도로 확장가능하다. 하지만 유일한 확장이 가능하지는 않다. (시그마유한하지 않아서 그래..)
| - | \(\tilde{m}\) | \(m_1\) | \(m_2\) |
|---|---|---|---|
| \(\emptyset\) | - | \(0\) | \(0\) |
| \(\{a\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{b\}\) | - | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) |
| \(\Omega\) | - | \(1\) | \(\frac{3}{2}\) |
#
# 예제7 – 르벡메저(\(\star\star\star\))
\(\Omega=\mathbb{R}\) 이라고 하고
\[{\cal A} = \big\{(a,b]: -\infty<a<b<\infty \big\} \cup \{\emptyset\}\]
라고 하자. 여기에서 \({\cal A}\)는 세미링이다. 이때 \(\bar{\cal A}\)에서 시그마유한측도인 듯 시그마유한측도 아닌 함수 \(\tilde{\lambda}: {\cal A} \to [0,1]\), \(\tilde{\lambda}(\emptyset)=0\) 를 아래와 같이 정의하자. \[\tilde{\lambda}((a,b])=b-a, \quad \tilde{\lambda}(\emptyset)=0\]
이제 \(\tilde{\lambda}\)가 \({\cal A}\)에서 (1) additivity (2) \(\sigma\)-additivity 를 만족한다면 \(\tilde{\lambda}\)는 잴 수 있는 공간 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)=(\mathbb{R}, {\cal R})\) 에서의 측도로 업그레이드 되며 이 업그레이드 결과는 유일하다. 그리고 이러한 방식으로 업그레이드된 척도를 르벡척도라고 한다.
이 예제에서 남은 부분은 \(\tilde{\lambda}\)가 \({\cal A}\)에서 (1) additivity (2) \(\sigma\)-additivity 를 만족함을 보이는 것이다. 이때 additivity가 성립함은 자명하고, \(\sigma\)-subadditivity가 성립함을 보여야 하는데 이것은 매우 어렵다. 따라서 이 예제에서는 생략하겠다. (안할건 아니고요, 다음에 할거에요..)
#
- \(\Omega\)의 모든 부분집합에 대하여 확률을 무모순으로 정의하는 것은 매우 쉬운일인 줄 알았는데 사실은 그렇지 않았다.
- 그 이유는 \(\mathbb{R}\)의 모든 부분집합에 길이를 무모순으로 재는 것이 불가능하기 때문이다.
- 우리는 \(\mathbb{R}\)의 모든 부분집합, \(2^\Omega\)에 대하여 길이를 무모순으로 재는 것은 포기하였다. 대신에 그것보다 작은 집합 \({\cal R} \subset 2^{\Omega}\) 보렐시그마필드(=길이를 잴 수 있는 집합들의 모임)에서만 길이를 재는것이 어떨까? 하는 생각을 했다. 여기에서 \({\cal R}\)은 \[{\cal A}=\big\{(a,b]: -\infty<a<b<\infty \big\} \cup \{\emptyset\}\]를 확장하여 만들 수 있는 가장 작은 시그마필드이다.
- 우리의 전략은 \({\cal A}\) 에서 길이인 듯 길이 아닌 함수 \(\tilde{\lambda}\) 를 정의하고 그 함수를 확장하여 메저로 업그레이드 하는 것이었다. 이를 위해서 측도론이라는 학문을 공부했다. 공부한결과 카라테오도리의 유산에 의하여 이러한 업그레이드방식이 가능하며, 심지어 그 결과가 유일하다는 것을 알게 되었다.
B. 확장이론2
# 이론 (확장이론2,확률측도) – 확장의 존재성이 보장될때 유일성을 보이는 테크닉
\(\big(\Omega, \sigma({\cal A}), \mathbb{P}\big)\) 가 확률공간이라고 하자. 그리고 \({\cal A}\)는 \(\pi\)-system이라고 하자. 확률측도 \(\mathbb{P}: \sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 의 값은 \({\cal A}\) 에서의 값으로 유일하게 결정된다.
\({\cal A}\) 에서의 값으로 유일하게 결정된다. \(\Longleftrightarrow\) \({\cal A}\)의 값만 결정된다면 나머지 \(\sigma({\cal A})-{\cal A}\)에서의 값은 자동결정된다.
\({\cal A}\) 에서의 값으로 유일하게 결정된다. \(\Longleftrightarrow\) \({\cal A}\)의 값이 다르고, \(\sigma({\cal A})-{\cal A}\)에서의 값이 일치하는 두 확률공간 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A}), \mathbb{P}_1\big)\), \(\big(\Omega, \sigma({\cal A}), \mathbb{P}_2\big)\) 는 존재할 수 없다.
#
# 이론 (확장이론2,시그마유한측도) – 확장의 존재성이 보장될때 유일성을 보이는 테크닉
\(\big(\Omega, \sigma({\cal A}), m\big)\) 가 시그마유한측도공간이라고 하자. 그리고 \({\cal A}\)는 \(\pi\)-system이라고 하자. 시그마유한측도 \(m: \sigma({\cal A}) \to [0,\infty]\) 의 값은 \({\cal A}\)에서의 값으로 유일하게 결정된다.
#
확장이론1은 “확장의 존재성 & 유일성”을 동시에 보장한다. 그런데 확장이론2는 “유일성”만을 보장한다.
확장이론1은 “존재성” 보이는 것이 매우 어려운 경우 특히 유용하다. (예를들면 르벡메저의 경우) 확장이론1의 논리전개는 \(\big(\Omega, {\cal A}\big)\) 에서 additivity, sub-additivity 를 체크해야하는 방향으로 흐른다.
확장이론2는 “존재성” 보장되는 상황에 “유일성”을 보이고자할때 특히 유용하다. 확장이론2는 아래와 같은 논리전개로 써먹을 수 있다.
- \((\Omega, {\cal P}, \tilde{m})\)을 알고 있을 경우: \(\tilde{m}\)을 확장하여 공간 \(\big(\Omega,\sigma({\cal P})\big)\) 에서 측도 하나를 어떻게는 “설정”해놓고 그 설정값이 유일하다는 식의 주장을 한다.
- \((\Omega, \sigma({\cal P}), m)\)을 알고 있을 경우: 측도 \(m\)의 값을 \({\cal P}\) 에서만 definine 하여 \(\tilde{m}\)을 만든다. 그리고 \(\tilde{m}\)이 \(m\)으로 유일한 확장이라고 주장한다.
# 예제8 – 예제1을 다시 풀자
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모음 (=내가 확률을 정의하고 싶은 이벤트들의 모음) 은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\},\Omega\}\]
이러한 집합에서 아래와 같은 함수를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
아쉽게도 \({\cal A}\)는 시그마필드의 정의를 만족하지 않으므로, 위와 같은 함수 \(\tilde{P}\)를 확률(=확률측도)이라고 주장할 수 없다. 그렇다고 해서 \(\sigma({\cal A})\)를 구한 다음 그 위에서 확률측도를 정의하는건 너무 귀찮은 일이다. 어쩌면 좋을까?
(풀이1) – 확장이론1 적용
아까 한 풀이.. \({\cal A}\)이 세미링임을 체크하고 \(\tilde{P}\) 가 (1) additive in \({\cal A}\) (2) \(\sigma\)-subadditive on \({\cal A}\) 임을 보임.
(풀이2) – 확장이론2 적용
아래표의 오른쪽과 같은 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률측도 \(\mathbb{P}\)를 일단 만들어보자.
| - | \(\tilde{P}\) | \(\mathbb{P}\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | - | \(\frac{3}{4}\) |
| \(\{1,3,4\}\) | - | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,3,4\}\) | - | \(\frac{3}{4}\) |
심심풀이로 \(\tilde{P}\)를 확장한 확률측도 \(\mathbb{P}\)를 만들어 봤는데, 이 확률측도는 유일하다. 왜냐하면 \({\cal A}\)가 파이시스템이니까..
#
# 예제9 – 예제5를 다시 살펴보자..
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자. 아래와 같은 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
이러한 집합함수 \(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률측도로 확장가능한가? 이 확장결과는 유일할까?
(살펴봄)
이미 한번 푼 적있는 예제이다. 즉 \({\cal A}\)에서의 아래와 같이 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률측도 \(\mathbb{P}_1\) 와 \(\mathbb{P}_2\) 를 고려하자.
| - | \(\mathbb{P}_1\) | \(\mathbb{P}_2\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1,2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,3\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\{3\}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\{1,3\}\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\{1,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,4\}\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,3,4\}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{1,3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) |
| \(\{1,2,4\}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{1,2,3\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) |
여기에서 \(\mathbb{P}_1\)와 \(\mathbb{P}_2\)는 분명히 \({\cal A}\)에서는 일치하지만, \(\sigma({\cal A})\) 에서는 일치하지 않는다. 즉 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\) 에서의 모든 확률측도의 값은 \({\cal A}\) 에서의 값으로 유일하게 결정되지는 않는다. 따라서 확장가능하지만 (\(\mathbb{P}_1,\mathbb{P}_2\) 의 존재로 인하여 확장가능함이 보장) 유일하지 않다 (\(\mathbb{P}_1 \neq \mathbb{P}_2\) 이니까).
추가설명: 유일한 확장이 보장되지 않는 이유는 여기에서 주어진 \({\cal A}\)가 파이시스템이 아니기 때문이다. 따라서 \({\cal A}\)에서의 값은 agree하지만 \((\Omega, \sigma({\cal A}))\)에서 agree하지 않는 서로 다른 확률측도가 존재할 수도 있는 것이다. 만약에 이 예제에서 \({\cal A}\)를 아래와 같이 수정한다면
\[{\cal A}=\{\emptyset, \{1,2\}, \{2,3\}, \{2\}\}\]
이번에는 \({\cal A}\)는 파이시스템이 된다. 따라서 이 경우 \((\Omega, \sigma({\cal A}))\)에서의 모든 확률측도는 \({\cal A}\)의 값에 의하여 유일하게 결정된다.
# 예제10 – 예제3을 다시풀자.
\(\Omega = \{a,b,c,d\}\) 의 부분집합들의 모임
\[{\cal A}=\big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}\big\}\]
를 고려하자. 확률인 듯 확률 아닌 함수 \(\tilde{P}: {\cal A} \to [0,1]\) 을 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{P}(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\tilde{P}(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)
\(\tilde{P}\) 를 확장하여 확률측도의 정의를 만족하는 적당한 함수 \(\mathbb{P}:\sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 를 유일하게 만들 수 있는가?
(풀이)
편의상 \({\cal A}=\big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}\big\}\) 에서 정의된 집합함수\(\tilde{P}\)를 \(\tilde{P}_1\)라고 하자.
- \(\tilde{P}_1(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\tilde{P}_1(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)
먼저 존재성을 따져보자
세미링 \({\cal S}=\big\{\emptyset, \{a\},\{b,c\},\{d\}\big\}\) 을 고려하고, 이 세미링에서 정의된 집함함수 \(\tilde{P}_2\)를 생각하자.
- \(\tilde{P}_2(\{a\})=\tilde{P}_2(\{d\})=\frac{1}{4}\)
- \(\tilde{P}_2(\{b,c\})=\frac{1}{2}\)
\(\tilde{P}_2\)는 \(\sigma({\cal S})\) 에서 add를 만족하므로 \(\big(\Omega,\sigma({\cal S})\big)\) 에서의 확률측도로 유일하게 확장된다. 이렇게 확장된 측도를 \(\mathbb{P}_2\) 라고 하자. 그런데 \(\mathbb{P}_2\)는
\[\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_2(A) = \tilde{P}_1(A)\]
를 만족하고 \(\sigma({\cal S})\)는 사실 \(\sigma({\cal A})\)와 같으므로 \(\mathbb{P}_2\)는 \(\tilde{P}_1(A)\)이 확장된 확률측도이다. 따라서 존재성이 증명되었다.
이제 유일성을 따져보자.
귀류법: \(\tilde{P}_1\)가 \(\mathbb{P}_2\)가 아닌 다른 \(\mathbb{P}_1\) 으로 확장되었다고 가정하자. \(\mathbb{P}_1\)는 \(\tilde{P}_1\) 의 확장이므로 아래가 성립한다.
- \(\mathbb{P}_1(\{a,b,c\})=\frac{3}{4}\)
- \(\mathbb{P}_1(\{b,c,d\})=\frac{3}{4}\)
\(\mathbb{P}_1\)는 확률측도의정의를 만족하므로 아래가 성립한다.
- \(\mathbb{P}_1(\{\emptyset\})=0\)
- \(\mathbb{P}_1(\{d\})=\frac{1}{4}\)
- \(\mathbb{P}_1(\{a\})=\frac{1}{4}\)
- \(\mathbb{P}_1(\{b,c\})=\frac{1}{2}\)
따라서 \(\mathbb{P}_1\)는 \({\cal S}\)에서 \(\mathbb{P}_2\)와 일치한다. 따라서 \(\mathbb{P}_1\)와 \(\mathbb{P}_2\)가 다르기 위해서는 파이시스템 \({\cal S}\)에서는 일치하지만, \(\sigma({\cal S})\)에서는 그 값이 다른 측도이어야 한다. 그런데 이는 확장이론2에 모순된다.
#
# 예제11 – 르벡메져
측도공간 measure space \((\mathbb{R}, {\cal R}, \lambda)\) 를 선언하자. 여기에서
\[{\cal R} = \sigma({\cal A}_1), \text{ where } {\cal A}_1 = \big\{(a,b]:-\infty < a <b < \infty \big\} \cup \{\emptyset\}\]
이고 \(\lambda\)는 르벡메져이다. 이제 아래와 같은 서로 다른 3개의 collection을 고려하자.
- \({\cal A}_2 = \big\{[a,b):-\infty < a <b < \infty \big\} \cup\{\emptyset\}\)
- \({\cal A}_3 = \big\{[a,b]:-\infty < a <b < \infty \big\}\cup \{\emptyset\}\)
- \({\cal A}_4 = \big\{(a,b):-\infty < a <b < \infty \big\}\cup \{\emptyset\}\)
그리고 \({\cal A}_2 ,{\cal A}_3,{\cal A}_4\) 에서 각각 정의된 아래와 같은 3개의 집합함수 \(\tilde{\lambda}_2: {\cal A}_2 \to [0,\infty]\), \(\tilde{\lambda}_3: {\cal A}_3 \to [0,\infty]\), \(\tilde{\lambda}_4: {\cal A}_4 \to [0,\infty]\) 를 고려하자.
- \(\tilde{\lambda}_2([a,b))=b-a,~\tilde{\lambda}_2(\emptyset)=0\)
- \(\tilde{\lambda}_3((a,b))=b-a,~\tilde{\lambda}_3(\emptyset)=0\)
- \(\tilde{\lambda}_4([a,b])=b-a,~\tilde{\lambda}_4(\emptyset)=0\)
함수 \(\tilde{\lambda}_2\), \(\tilde{\lambda}_3\), \(\tilde{\lambda}_4\)는 모두 잴 수 있는 공간 \((\mathbb{R},{\cal R})\)에서의 르벡측도로 유일하게 업그레이드 된다.
(풀이)
아래를 보이면 충분하다.
1. \(\sigma({\cal A}_1)=\sigma({\cal A}_2)=\sigma({\cal A}_3)=\sigma({\cal A}_4)={\cal R}\)
2. \(\lambda\)는 공간 \({\cal A}_2, {\cal A}_3, {\cal A}_4\) 에서 각각 \(\tilde{\lambda}_2\), \(\tilde{\lambda}_3\), \(\tilde{\lambda}_4\) 와 일치함. 즉 아래가 성립
- \(\forall A \in {\cal A}_2:~ \tilde{\lambda}_2(A) = \lambda(A)\)
- \(\forall A \in {\cal A}_3:~ \tilde{\lambda}_3(A) = \lambda(A)\)
- \(\forall A \in {\cal A}_4:~ \tilde{\lambda}_4(A) = \lambda(A)\)
3. \({\cal A}_2,{\cal A}_3, {\cal A}_4\) 는 모두 파이시스템
왜냐하면 1,2가 의미하는건 르벡측도가 \(\tilde{\lambda}_2\), \(\tilde{\lambda}_3\), \(\tilde{\lambda}_4\)의 확장이라는 의미이고, 3이 의미하는건 그 확장이 유일함을 의미하는 것이기 때문이다.
본격적인 증명에 앞서 아래를 보이자.
Claim: \(\sigma({\cal A}_1)\), \(\sigma({\cal A}_2)\), \(\sigma({\cal A}_3)\), \(\sigma({\cal A}_4)\) 가 모두 한점만 포함된 집합 \(\{c\}\) 를 원소로 가짐을 보이자.
(증명)
우선 \(\{c\}=[c-1,c] \cap [c,c+1]\) 에 의하여 \(\{c\} \in {\cal A}_4\) 임은 쉽게 보일 수 있다. 이제 아래수식을 관찰하자.
\[\{c\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\big(c-\frac{1}{n},c \big]=\bigcap_{n=1}^{\infty}\big[c,c+\frac{1}{n}\big)=\bigcap_{n=1}^{\infty}\big(c-\frac{1}{n},c+\frac{1}{n}\big)\]
그러면 \(\{c\} \in {\cal A}_1\), \(\{c\} \in {\cal A}_2\), \(\{c\} \in {\cal A}_3\) 임을 순차적으로 보일 수 있다.
이제 본격적으로 아래가 성립함을 보이자.
- \(\sigma({\cal A}_2) = \sigma({\cal A}_1)\)
- \(\sigma({\cal A}_3) = \sigma({\cal A}_1)\)
- \(\sigma({\cal A}_4) = \sigma({\cal A}_1)\)
논의를 간단하게 하기 위해서 \[\sigma({\cal A}_2) = \sigma({\cal A}_1)\] 만 따져보자. (나머지는 같은 논리로 따질 수 있음) 만약 \({\cal A}_1\)를 확장하는 과정에서 \({\cal A}_2\)가 포함되고, \({\cal A}_2\)를 확장하는 과정에서 \({\cal A}_1\)이 포함됨을 보이면,
\[\sigma({\cal A}_1) = \sigma({\cal A}_1 \cup {\cal A}_2)=\sigma({\cal A}_2)\]
가 성립되어 \(\sigma({\cal A}_2) = \sigma({\cal A}_1)\)를 보일 수 있다. 따라서 아래를 보이면 된다.
- \(\sigma({\cal A}_1) = \sigma({\cal A}_1 \cup {\cal A}_2) \Leftrightarrow \forall A \in {\cal A}_2: A \in \sigma({\cal A}_1) \Leftrightarrow {\cal A}_2 \subset \sigma({\cal A}_1)\)
- \(\sigma({\cal A}_2) = \sigma({\cal A}_2 \cup {\cal A}_1) \Leftrightarrow \forall A \in {\cal A}_1: A \in \sigma({\cal A}_2) \Leftrightarrow {\cal A}_1 \subset \sigma({\cal A}_2)\)
그런데
- \((a,b] = ([a,b) - \{a\}) \cup \{b\}\)
- \([a,b) = ((a,b] - \{b\}) \cup \{a\}\)
이므로 증명되었음.
아래를 보이면 증명이 된다.
\[\forall x \in \mathbb{R}: \lambda(\{x\})=0\]
(풀이1) – 알 수 없는 풀이..
\(\lambda:{\cal R}\to[0,\infty]\)는 \({\cal A}\)에서의 함수 \(\tilde{\lambda}_1((a,b])=b-a\) 를 확장한 것이다.
\[\begin{align*} \lambda(\{x\})=&\lambda\left(\bigcap_{n\to \infty}\big(x-\frac{1}{n},x\big]\right)\\ =&\lambda\left(\lim_{n\to \infty}\big(x-\frac{1}{n},x\big]\right) \\ =& \lim_{n\to \infty}\lambda\left(\big(x-\frac{1}{n},x\big]\right)\\ =&\lim_{n\to \infty}\tilde{\lambda}_1\left(\big(x-\frac{1}{n},x\big]\right)\\ =&\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\end{align*}\]
(풀이2) – 일단은 이렇게 푸는게 나을듯
임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(\lambda(\{x\}) > 0\) 이라고 하자.
\(\mathbb{R}\)에서 하나의 원소 \(c\) 를 고정하자. 임의의 구간 \((c-1,c+1]\) 에 존재하는 모든 유리수 집합 \(\mathbb{Q}^\star\)를 생각하자. 즉
\[\mathbb{Q}^\star = (c-1,c+1] \cap \mathbb{Q}^\star\]
그런데 \(\mathbb{Q}^\star \subset (c-1,c+1]\) 이므로
\[\lambda(\mathbb{Q}^{\star}) \leq \lambda((c-1,c+1]) = \tilde{\lambda}_1((c-1,c+1) =2 \quad \cdots (\star)\]
이다.5 여기에서 첫 부등호는 세미링에서 add를 만족하는 집합함수는 monotone임을 이용한 것이고, 첫번째 등호는 르벡측도는 \(\tilde{\lambda}_1\)의 확장임을 이용한 것이며 두번째 등호는 \(\tilde{\lambda}_1\)의 정의에 의하여 성립한다. 그런데 집합 \(\mathbb{Q}^\star\) 는 아래와 같이 한점을 포함하는 집합의 countable union 으로 표현가능하다. 따라서 아래가 성립한다.
\[\lambda\left(\mathbb{Q}^{\star}\right) = \lambda\left(\bigcup_{x\in \mathbb{Q}^\star}\{x\}\right) =\sum_{x \in \mathbb{Q}^\star} \lambda(\{x\})= \infty \quad \cdots(\star\star)\]
여기에서 첫번째 등호가 성립하는 이유는 집합의 표현, 두번째 등호가 성립하는 이유는 \(\lambda\)가 measure 라는 사실 (메저는 \(\sigma\)-additivity가 성립해요..) 그리고 마지막등호가 성립하는 이유는 귀류법에 의하여 가정된 \(\lambda(\{x\})>0\) 라는 사실때문에 성립한다. \((\star)\)와 \((\star\star)\)는 모순이므로 증명되었음.
5 아직 \(\lambda(\mathbb{Q}^{\star})=0\) 이건 모르는 상태에요
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확률을 정의할 때 엄밀하게 정의한답시고 시그마필드에서 정의하는건 원래 말도 안되는 일이에요. 적당히 세미링에서만 정의해도 충분히 엄밀하다 생각하고 넘어갈 수 있습니다. 예를들어 “공평한 동전”을 던지는 확률을 기술하고자 할때
표본공간 \(\Omega=\{H, T\}\)에서, 앞면과 뒷면이 나옥 확률이 각각 1/2인 동전던지기 상황을 생각해보자.
정도로 서술하면 되는 것이지
표본공간 \(\Omega=\{H, T\}\)를 고려하자. 이때, \({\cal F}=\{\emptyset, \{T\}, \{H\}, \Omega\}\)가 \(\Omega\)에 대한 시그마 필드라고 하자. 또한, 확률은 \(\mathbb{P}(\emptyset)=0\), \(\mathbb{P}(\{H\})=\frac{1}{2}\), \(\mathbb{P}(\{T\})=\frac{1}{2}\), \(\mathbb{P}(\Omega)=1\)로 정의되는 동전 던지기 상황을 생각해보자.
와 같이 서술하는건 일반적인 서술방법은 아닙니다. 세미링인 \({\cal A}=\{\emptyset,\{H\},\{T\}\}\) 에서 확률값 \(\mathbb{P}(\{H\})=\mathbb{P}(\{T\})=\frac{1}{2}\) 만을 잘 정의해도6, \(\sigma({\cal A}) = {\cal F}\) 에서의 확률값이 자동결정된다는 점을 알고 있기 때문입니다.
6 총합이 1이 되도록