06wk: 측도론의 중요이론들 (1)

Author

최규빈

Published

October 20, 2024

1. 강의영상

2. 측도론의 중요이론들

(1) \(\sigma({\cal A})\) 와 같은 표현은 항상 가능하다. 즉 \({\cal A}\)를 포함하는 가장 작은 시그마필드는 항상 잘 정의된다는 (존재하고 유일함) 의미이다. 이전의 강의노트에서는 [귀찮아서 만든 이론1]이라는 이름으로 소개했었다.

(2) 파이시스템이고 람다시스템이면 시그마필드이다. 5주차 강의 \(\sigma\)-field의 motivation2 에서 교집합을 넣을지 말지 고민하는 부분이 있었는데 (# 생각2), 여기에서 교집합을 넣기전의 \({\cal F}\)가 람다시스템, 그리고 교집합을 넣은 이후의 \({\cal F}\)가 시그마필드가 된다는 의미다.

(3) (딘킨의 \(\pi\)-\(\lambda\) thm) 파이시스템 \({\cal P}\)에 대하여 \(l({\cal P}) = \sigma({\cal P})\) 이다. 이 이론은 당장은 그렇게 중요하게 안느껴질 것이다. 하지만 여러 이론을 증명하는데 치팅에 가까운 테크닉을 제공한다. (증명을 너무 쉽게 만들어줘 치트처럼 느껴진다는 의미)

(4) (확장이론1) 세미링 \({\cal A}\)에서의 set-function \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\), \(\tilde{m}(\emptyset)=0\) 을 고려하자. 함수 \(\tilde{m}\)이 (1) additive (2) \(\sigma\)-subadditive (3) \(\sigma\)-finite 를 만족하면, 이 함수 \(\tilde{m}\)을 확장하여 \(\sigma({\cal A})\)에서의 \(\sigma\)-finite measure \(m: \sigma({\cal A}) \to [0,\infty]\) 으로 만들 수 있다. 그리고 이 확장은 유일하다. 이 정리는 이전 강의노트에서 [귀찮아서 만든 이론2] 라고 소개했으며 이 이론에 의하여 르벡메저가 정의된다.

(5) (확장이론2) \({\cal A}\)가 파이시스템일때, \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률측도 \(\mathbb{P}\)는 \({\cal A}\)에서의 값으로 유일하게 결정된다. 이 이론에 의하면 공평한 주사위를 표본공간 \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\) 에 대한 확률을 정의하기 위하여 \({\cal F}=2^{\Omega}\) 에서의 값을 모두 정의할 필요 없이 단순히 \(\mathbb{P}(\{1\})=\dots = \mathbb{P}(\{6\})=\frac{1}{6}\) 라고만 선언해도 충분하다.

3. 여러가지 collection

- 아래의 기호를 약속

  • 전체집합: \(\Omega\)
  • 관심있는 집합의 모임: \({\cal A} \subset 2^{\Omega}\)
  • \({\cal A}\) 중에서 특별히 시그마필드는 \({\cal F}\), 파이시스템은 \({\cal P}\), 람다시스템은 \({\cal L}\)로 정의한다.

- \(\Omega \neq \emptyset\), \({\cal A} \neq \emptyset\) 를 가정.

- 성질에 대한 정리표

\(A \cap B\) \(\emptyset\) \(A-B\) \(\Omega\) \(A^c\) \(A\cup B\) \(\cup_{i=1}^{\infty}A_i\) \(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i\) \(\cap_{i=1}^{\infty}A_i\)
\(\pi\)-system \(O\) \(X\) \(X\) \(X\) \(X\) \(X\) \(X\) \(X\) \(X\)
semi-ring \(O\) \(O\) \(\Delta\) \(X\) \(X\) \(X\) \(X\) \(X\) \(X\)
\(\lambda\)-system \(X\) \(O\) \(\Delta\)’ \(O\) \(O\) \(X\) \(X\) \(O\) \(X\)
\(\sigma\)-field \(O\) \(O\) \(O\) \(O\) \(O\) \(O\) \(O\) \(O\) \(O\)

A. 시그마필드 (\(\star\star\star\))

# 정의 – \(\Omega\)의 부분집합 중 아래의 조건1~ 조건3을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal F}\)를 “\(\Omega\)에 대한 시그마필드 (\(\sigma\)-field)”라고 한다.

조건1. \(\Omega \in {\cal F}\)

조건2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)

조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F}\big) \Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\)

#

B. 파이시스템 (\(\star\star\))

# 정의 – \(\Omega\)의 부분집합 중 아래의 조건1을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal P}\)를 “\(\Omega\)에 대한 파이시스템 (\(\pi\)-system)”이라고 한다.

조건1. \(A, B \in {\cal P} \Rightarrow A \cap B \in {\cal P}\)

#

- 파이시스템이 공집합을 포함할 필요는 없다.

- 파이시스템의 예시: 아래는 모두 \(\Omega=\mathbb{R}\) 에 대한 파이시스템이다.

  • 예시1: \({\cal A} = \{(a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
  • 예시2: \({\cal A} = \{[a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
  • 예시3: \({\cal A} = \{(a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
  • 예시4: \({\cal A} = \{[a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)

C. 람다시스템 (\(\star\star\))

# 정의 – \(\Omega\)의 부분집합 중 아래의 조건1~ 조건3을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal L}\)를 “\(\Omega\)에 대한 람다시스템 (\(\lambda\)-system)”이라고 한다.

조건1. \(\Omega \in {\cal L}\)

조건2. \(A \in {\cal L} \Rightarrow A^c \in {\cal L}\)

조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: B_n \in {\cal L} \big) \text{ and } \big(\forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \big) \Longrightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} B_n \in~ {\cal L}\)

위의 조건은 아래의 조건으로 바꾸어 쓸 수 있다.

조건1. \(\Omega \in {\cal L}\)

조건2'. \(\big(A,B \in {\cal L}\big) \text{ with } \big( A \subset B\big) \Longrightarrow B-A \in {\cal L}\)

조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: B_n \in {\cal L} \big) \text{ and } \big(\forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \big) \Longrightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} B_n \in~ {\cal L}\)

#

시그마필드를 정의할 때 “교집합에 닫혀있음” 을 포함히시킬지 말지 고민한적이 있었는데, 결국 포함시켰던 기억이 있다. 포함시키지 않은 버전이 람다시스템이다.

# 이론 – \(\Omega\)의 부분집합의 모임 \({\cal A}\)가 \(\Omega\)에 대한 파이시스템이면서 동시에 람다시스템이면 \({\cal A}\)는 \(\Omega\)에 대한 시그마필드이다.

D. 세미링 \((\star\star\star)\)

# 정의 – \(\Omega\)의 부분집합 중 아래의 조건1 ~ 조건3을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal A}\)를 “\(\Omega\)에 대한 세미링 (semiring)”이라고 한다.

조건1. \(\emptyset \in {\cal A}\)

조건2. \(\big(\forall A,B \in {\cal A}\big)~ \big(\exists \{C_n\}_{n=1}^{N} \subset {\cal A} \text{ and } \forall {i,j} \in \{1,\dots,N\}, i\neq j:~ C_i \cap C_j = \emptyset)\) such that \(B-A = \uplus_{n=1}^{N}C_n\)1

  • 1 for any tow sets \(A,B \in {\cal A}\) the difference set \(B-A\) is a finite union of mutually disjoint sets in \({\cal A}\)

    • 조건3. \(A, B \in {\cal A} \Rightarrow A \cap B \in {\cal A}\)

    여기에서 조건2를 차집합에 “반쯤” 닫혀있다고 표현한다.

    #

    - 세미링의 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 모두 \(\Omega\)에 대한 세미링이다.

    • 예시1: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b,c\}\}\)
    • 예시2: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\}\)
    • 예시3: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset,\{a\},\{b,c,d\},\{e,f\}, \{a,b,c,d,e,f\}\}\)

    - 세미링의 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 모두 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 세미링이다.

    • 예시1: \({\cal A} = \{(a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
    • 예시2: \({\cal A} = \{[a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)

    - 세미링이 아닌 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 세미링이 아니다.

    • 예시1: \({\cal A} = \{(a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
    • 예시2: \({\cal A} = \{[a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)

    4. \(\sigma({\cal A})\)의 존재성 및 유일성

    A. 시그마필드의 교집합

    # 예제1 – \({\cal F}_1\), \({\cal F}_2\) 가 모두 \(\Omega\) 에 대한 시그마필드라면, \({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2\) 역시 \(\Omega\) 에 대한 시그마필드이다.

    (풀이)

    \({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2 = {\cal F}\) 가 시그마필드임을 보이려면 \({\cal F}\)가

    1. 전체집합을 포함하고
    2. 여집합에 닫혀있고
    3. 가산합집합에 닫혀있음을

    보이면 된다. 아래의 식을 관찰하면 1-3 이 성립함을 쉽게 체크할 수 있음.

    • \(\big(\Omega \in {\cal F}_1 \text{ and } \Omega \in {\cal F}_2\big) \Leftrightarrow \Omega \in {\cal F}\)
    • \(A \in {\cal F} \Leftrightarrow \big(A \in {\cal F}_1 \text{ and } A \in {\cal F}_2\big) \Rightarrow \big(A^c \in {\cal F}_1 \text{ and } A^c \in {\cal F}_2\big) \Leftrightarrow A^c \in {\cal F}\)
    • \(\big(\forall n: A_n \in {\cal F}\big)\) \(\Leftrightarrow\) \(\big((\forall n: A_n \in {\cal F}_1) \text{ and } (\forall n: A_n \in {\cal F}_2)\big)\) \(\Rightarrow\) \(\big(\cup_{n=1}^{\infty}A_n \in {\cal F}_1 \text{ and } \cup_{n=1}^{\infty}A_n \in {\cal F}_2\big)\) \(\Leftrightarrow\) \(\cup_{n=1}^{\infty}A_n \in {\cal F}\)

    #

    # 예제2 – \({\cal F}_n\) 이 모두 \(\Omega\) 에 대한 시그마필드라면, \(\cap_{n=1}^{\infty} {\cal F}_n\) 역시 \(\Omega\) 에 대한 시그마필드이다.

    # 예제3 – 예제2에서 countable intersection을 uncountable intersection으로 바꾸어도 성립한다.

    # 결론 – 시그마필드를 무한번 (uncountable many) 교집합해도 시그마필드이다.

    # 참고예제 – 세미링의 교집합: 아래를 고려하자.

    • \(\Omega = \{1,2,3,4\}\)
    • \({\cal A}_1 = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{4\}, \{1,2,3,4\} \}\)
    • \({\cal A}_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3,4\}, \{1,2,3,4\} \}\)

    \({\cal A}_1, {\cal A}_2\)는 모두 세미링이다. 하지만 \({\cal A}_1 \cap {\cal A}_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2,3,4\}\}\)은 세미링이 아니다.

    #

    # 생각 – 교집합은 하면 할수록 작아지는 성질이 있다. 즉 아래가 성립한다.

    \[{\cal F}_1 \supset \big({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2\big) \supset \big({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2 \cap {\cal F}_3\big) \dots\]

    B. smallest \(\sigma\)-field containing \({\cal A}\)

    # 이론 – \({\cal A} \subset 2^\Omega\) 을 포함하는 가장 작은 시그마필드 \(\sigma({\cal A})\) 는 항상 (유일하게) 존재한다.

    (증명) 우선 \(2^{\Omega}\)가 (1) \({\cal A}\) 를 포함하는 집합이고 (2) 시그마필드임을 고려하면 “\({\cal A}\) 를 포함하는 시그마필드가 적어도 하나는 존재함”은 주장할 수 있다. 이제 \({\cal A}\) 를 포함하는 시그마필드를 모두 교집합한 집합 \({\cal F}\) 를 상상하자. 즉

    \[{\cal F} = \bigcap_{X \in {\cal X}} X, \quad \text{ where } {\cal X}=\{X: {\cal A} \subset X \text{ and } X \text{ is $\sigma$-field} \}\]

    시그마필드의 교집합은 시그마필드이므로 \({\cal F}\)는 시그마필드이다. 또한 \({\cal F}\)는 \({\cal A}\) 를 포함하는 시그마필드를 모두 교집합하여 만들었으므로, \({\cal A}\) 를 포함하는 시그마필드중 가장 작은 시그마필드이다.

    #

    # 참고예제 – \({\cal A} \subset 2^\Omega\)를 포함하는 가장 작은 세미링은 존재하지 않는다. 아래를 고려하자.

    • \(\Omega = \{1,2,3,4\}\)
    • \({\cal A} = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2,3\}\}\)

    이때 \({\cal A}\)를 포함하는 가장 작은 세미링이

    \[{\cal A}_1 = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2,3\}, \{2,3\}\}\]

    라고 주장할 수는 없음. 왜냐하면

    \[{\cal A}_2 = \{\emptyset, \Omega, \{1\}, \{1,2,3\},\{2\},\{3\}\}\]

    역시 \({\cal A}\)를 포함하는 세미링이지만 \({\cal A}_1 \not \subset {\cal A}_2\)이므로.

    #

    # 이론 – \({\cal A} \subset 2^\Omega\) 을 포함하는 가장 작은 람다시스템 \(l({\cal A})\) 는 항상 (유일하게) 존재한다.

    (증명) – 생략

    #

    5. 딘킨의 \(\pi-\lambda\) theorem

    # 예제1

    \(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 일때 아래의 집합 \({\cal A}\) 가 교집합에 닫혀있음을 체크해보자.

    \[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \}\]

    • \(\emptyset: \big(\emptyset, \emptyset, \emptyset, \emptyset, \emptyset, \emptyset\big) \Rightarrow {\cal D}_{\emptyset}={\cal A}\)
    • \(\{1\}: \big(\emptyset, \{1\}, \emptyset, \emptyset, \{1\}, \{1\}\big) \Rightarrow {\cal D}_{\{1\}}={\cal A}\)
    • \(\{2\}: \big(\emptyset, \emptyset, \{2\}, \{2\}, \emptyset, \{2\}\big) \Rightarrow {\cal D}_{\{2\}}={\cal A}\)
    • \(\{2,3,4\}: \big(\emptyset, \emptyset, \{2\}, \{2,3,4\}, \textcolor{red}{\{3,4\}}, \{2,3,4\}\big) \Rightarrow {\cal D}_{\{2,3,4\}}={\cal A}-\{1,3,4\}\)
    • \(\{1,3,4\}: \big(\emptyset, \{1\}, \emptyset, \textcolor{red}{\{3,4\}}, \{1,3,4\}, \{2\}\big) \Rightarrow {\cal D}_{\{1,3,4\}}={\cal A}-\{2,3,4\}\)
    • \(\{\Omega\}: \big(\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega\big) \Rightarrow {\cal D}_{\Omega}={\cal A}\)

    여기에서 \({\cal D}_A= \{B: A\cap B \in {\cal A},~B \in {\cal A}\}\) 로 정의할 수 있다. 만약에

    \[\forall A \in {\cal A}: {\cal D}_A = {\cal A}\]

    가 성립한다면 \({\cal A}\)는 교집합에 닫혀있다고 볼 수 있다.

    #

    # 이론 – Dynkin’s \(\pi-\lambda\) theorem (\(\star\))

    \({\cal P} \subset 2^{\Omega}\)가 파이시스템이면 \(l({\cal P})=\sigma({\cal P})\)이다.

    (증명)

    아래를 보이는 것이 목표이다.

    (a) \(l({\cal P})=\sigma({\cal P})\)

    이를 위해서는 아래를 보이면 충분하다.

    (b) \(l(\cal P) \subset \sigma({\cal P})\) and \(l(\cal P) \supset \sigma({\cal P})\).

    그런데 \(l(\cal P) \subset \sigma({\cal P})\) 은 당연하므로2 우리는 아래를 보이면 충분하다.

  • 2 직접 만들어봐, 시그마필드가 당연히 조건이 더 복잡하므로 이거저것 추가할 집합이 많음

    • (c) \(l({\cal P}) \supset \sigma({\cal P})\)

    그런데 만약 \(l({\cal P})\) 가 시그마필드라면 \(\sigma({\cal P})\)의 정의에 의하여 (c)가 성립하므로 우리는 아래를 보이면 충분하다.

    (d) \(l({\cal P})\) is \(\sigma\)-field

    그런데 만약 \(l({\cal P})\) 은 이미 람다시스템이므로 \(l({\cal P})\)가 추가적으로 파이시스템임을 보인다면 \(l({\cal P})\)를 시그마필드라고 주장할 수 있다. 따라서 우리는 아래가 성립함을 보이면 충분하다.

    (e) \(l({\cal P})\) is \(\pi\)-system

    \({\cal D}_E = \{F: E\cap F \in l({\cal P}), ~F \in l({\cal P})\}\) 라고 정의할 때 \(\forall E \in l({\cal P}): ~ {\cal D}_E = l({\cal P})\) 를 보이면, \(l({\cal P})\) 이 파이시스템을 보이는 것이 된다. 즉 아래를 보이면 된다.

    (e) \(\forall E \in l({\cal P}): ~ {\cal D}_E = l({\cal P})\).

    이를 위해서는 다시 아래를 보이면 충분하다.

    (f) \(\forall E \in l({\cal P}): ~ {\cal D}_E \subset l({\cal P})\) and \(l({\cal P}) \subset {\cal D}_E\)

    그런데 \({\cal D}_E \subset l({\cal P})\) 는 당연하므로 아래를 보여도 충분하다.

    (g) \(\forall E \in l({\cal P}): ~ l({\cal P}) \subset {\cal D}_E\)

    그런데 \({\cal D}_E\)가 \({\cal P}\)를 포함하는 람다시스템이라면, \(l({\cal P})\)의 정의에 의하여 (g)가 성립하므로 아래를 보이면된다.

    (h) \(\forall E \in l({\cal P}):\) (1) \(\Omega \in {\cal D}_E\) (2) \({\cal D}_E\) is \(^c\)-closed (3) \({\cal D}_E\) is \(\uplus\)-closed.
    (i) \(\forall E \in l({\cal P}): {\cal P} \subset {\cal D}_E\).

    \(F \in {\cal D}_E \Leftrightarrow \big( F \in l({\cal P}) \text{ and } E \cap F \in l({\cal P}) \big)\) 임을 이용하여 (h)를 체크해보자.

    람다시스템의 첫 조건 체크

    (h)-(1)을 체크해보자. 아래를 보이면 된다.

    \[\forall E \in l({\cal P}): \Omega \in {\cal D}_E\]

    아래의 state가 모두 같은 뜻임을 떠올려보자.

    • \(\forall x\in \mathbb{R}: x^2 \geq 0\)
    • \(x\in \mathbb{R} \Rightarrow x^2 \geq 0\)
    • \(x^2 \geq 0, \text{ where } x\in \mathbb{R}\)
    • \(x^2 \geq 0, \text{ where } x \text{ is arbitrary real number}\)
    • \(x^2 \geq 0, \forall x\in \mathbb{R}\)

    그러면 (h)-(1)을 보이기 위해서 아래를 보이면 충분함을 알 수 있다.

    \[E \in l({\cal P}) \Rightarrow \Omega \in {\cal D}_E\]

    그런데 \(\Omega \in {\cal D}_E \Leftrightarrow \big( \Omega \in l({\cal P}) \text{ and } \Omega \cap E \in l({\cal P}) \big)\) 이므로 아래를 보이면 충분하다.

    \[E \in l({\cal P}) \Rightarrow E \cap \Omega \in l({\cal P})\]

    따라서 (h)-(1)은 체크되었음.

    람다시스템의 두번째 조건 체크

    이제 (h)-(2)를 체크해보자.

    \[\forall E \in l({\cal P}): {\cal D}_E \text{ is $^c$-closed}\]

    그런데 (h)-(2)의 조건은 “포함관계에 있는 차집합에 닫혀있음” 으로 바꿀 수 있으므로 아래를 체크해도 무방하다.

    \[\forall E \in l({\cal P}): (A,B \in {\cal D}_E \text{ and } A\subset B) \Rightarrow B-A \in {\cal D}_E\]

    이제 각 조건을 아래와 같이 정리하면

    • \(A \in {\cal D}_E \Leftrightarrow \big(A \in l({\cal P}) \text{ and } A \cap E \in l({\cal P})\big)\)
    • \(B \in {\cal D}_E \Leftrightarrow \big(B \in l({\cal P}) \text{ and } B \cap E \in l({\cal P})\big)\)
    • \(B -A \in {\cal D}_E \Leftrightarrow \big( B-A \in l({\cal P}) \text{ and } (B-A) \cap E \in l({\cal P})\big)\)

    (h)-(2)를 보이기 위해서 아래를 보이면 충분하다는 것을 알 수 있다.

    • \(\forall E \in l({\cal P}): \big( A \cap E \in l({\cal P}), B \cap E \in l({\cal P}) \text{ and } A \subset B \big) \Rightarrow (B-A) \cap E \in l({\cal P})\)

    그런데 이것은 아래의 식을 관찰하면 보일 수 있다.

    • \((B-A) \cap E = (B\cap E) - (A\cap E)\)
    • \((A\cap E) \subset (B\cap E)\)

    따라서 (h)-(2)는 체크되었음.

    람다시스템의 세번째 조건 체크

    이제 (h)-(3)을 체크해보자.

    \[\forall E \in l({\cal P}): {\cal D}_E \text{ is $\uplus$-closed}\]

    의미를 좀 더 풀어쓰면 아래와 같이 쓸 수 있다.

    FOR ALL \(E \in l({\cal P})\):
    \(\quad\) IF we arbitrarily choose \(B_1, B_2, \dots \in {\cal D}_E\) such that \(B_1, B_2, \dots\) are disjoint,
    \(\quad\)THEN \(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n \in {\cal D}_E\).

    좀 더 기호화 하여 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

    \(\forall E \in l({\cal P})\):
    \(\quad \big(B_n \in {\cal D}_E, ~\forall n \in \mathbb{N}\big) \text{ and } \big(\forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \big)\)
    \(\quad\) \(\Rightarrow \biguplus_{n=1}^{\infty}B_n \in D_{E}\)

    이제 아래와 같이 표현을 정리하여 보자.

    • \(B_1 \in {\cal D}_E \Leftrightarrow \big(B_1 \in l({\cal P}) \text{ and } B_1 \cap E \in l({\cal P})\big)\)
    • \(B_2 \in {\cal D}_E \Leftrightarrow \big(B_2 \in l({\cal P}) \text{ and } B_2 \cap E \in l({\cal P})\big)\)
    • \(\dots\)
    • \(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n \in {\cal D}_E \Leftrightarrow \Big(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n \in l({\cal P}) \text{ and } (\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n) \cap E \in l({\cal P})\Big)\)

    여기에서 \(\big(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n\big) \cap E \in l({\cal P})\) 는 아래와 같이 정리할 수 있음을 쉽게 체크할 수 있다.

    • \(\big(\biguplus_{n=1}^{\infty} B_n\big) \cap E = \biguplus_{n=1}^{\infty}(B_n \cap E)\)
    • \((B_1 \cap E), (B_2 \cap E), \dots\) are disjoint

    이제 편의상 \(E^\star \in l({\cal P})\) 를 고정하자. 그러면 단순히 아래를 보이면 된다.

    \[\big(B_n \cap E^\star \in l({\cal P}), ~\forall n \in \mathbb{N}\big) \Rightarrow \biguplus_{n=1}^{\infty}(B_n \cap E^\star)\in l({\cal P})\quad \cdots (\star)\]

    \((B_1 \cap E), (B_2 \cap E), \dots\) 이 서로소인 집합열이라는 사실과 \(l({\cal P})\)이 람다시스템임을 이용하면 \((\star)\)는 쉽게 보일 수 있다. 또한 이러한 논리전개가 임의의 \(E \in l({\cal P})\) 에 대하여서도 동일하게 성립하므로 (h)-(3)을 체크할 수 있다.

    따라서 (h)를 보일 수 있다. 이제 (i)를 보이자.

    (i) \(\forall E \in l({\cal P}): {\cal P} \subset {\cal D}_E\).

    만약에 \(E \in {\cal P}\) 라면 \({\cal P} \subset {\cal D}_E\) 이다. 즉 아래가 성립한다.

    • \(E \in {\cal P} \Rightarrow {\cal P} \subset {\cal D}_E\)

    따라서 \(E \in {\cal P}\)를 가정한다면 \({\cal D}_E\) 는 \({\cal P}\) 를 포함하는 람다시스템이 된다. 따라서 아래가 성립한다.

    • \(E \in {\cal P} \Rightarrow l({\cal P}) \subset {\cal D}_E \cdots (\star)\)

    그런데 조건 \(l({\cal P}) \subset {\cal D}_E\) 는 \(\big( X\in l({\cal P}) \Rightarrow X \in {\cal D}_E \big)\) 로 쓸 수 있다. 이제 \(X \in {\cal D}_E\) \(\Leftrightarrow\) \(X \in l({\cal P}) \text{ and } E\cap X \in l({\cal P})\) 임을 이용하고 (\(\star\))을 정리하자.

    • \(E \in {\cal P} \Rightarrow \Big( X\in l({\cal P}) \Rightarrow X \in l({\cal P}) \text{ and } E\cap X \in l({\cal P})\big)\)

    위의 조건을 다시 정리하면 아래와 같이 정의할 수 있다.

    • \(E \in {\cal P}, X \in l({\cal P}) \Rightarrow E\cap X \in l({\cal P}) \cdots (\star\star)\)

    이때 \((\star\star)\) 의 의미를 곱씹으면, “\({\cal P}\) 와 \(l({\cal P})\) 에서 각각 원소를 하나씩 뽑으면, 그 두 원소의 교집합은 반드시 \(l({\cal P})\) 의 원소가 된다”는 의미이다. 이를 이용하면 아래의 수식을 쓸 수 있다. (혹은 단지 (\(\star\)) 에서 \(E\)와 \(X\)를 교환해도 아래를 쓸 수 있다.)

    • \(E \in l({\cal P}), X \in {\cal P} \Rightarrow E\cap X \in l({\cal P})\)

    이것이 의미하는 것은 \(E \in l({\cal P})\) 일때 \({\cal D}_E = \{F \in l({\cal P}): E \cap F \in l({\cal P})\} = {\cal P} \cup \text{???}\) 라는 의미이다. 따라서 아래를 보일 수 있다.

    \[E \in l({\cal P}) \Rightarrow {\cal D}_E \supset {\cal P}\]

    따라서 (i) 역시 증명되었다.

    #

    # 예제1

    \(\Omega = \{1,2,3,4\}\) 에 대하여 관심있는 집합을 아래와 같이 설정하자.

    \[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\}, \{2\} \}\]

    이제 \(\sigma({\cal A})\)를 상상하자. \(\sigma({\cal A})\)를 구하는 방법을 아래와 같이 한다고 하자.

    1. \(l({\cal A})\)를 구한다.
    2. \(l({\cal A})\)가 교집합에 닫혀있는지 체크한다.
    3. 2가 성립한다면, \(l({\cal A})=\sigma({\cal A})\)로 주장한다.

    \(l({\cal A})\)를 만들기 위해서 아래와 같이 확장한다.

    • \({\cal A}_1 = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \Omega, \{2,3,4\}, \{1,3,4\} \}\) // \(^c\)-closed
    • \(l({\cal A})={\cal A}_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \Omega, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\} \}\) // \(^c\)-closed, \(\uplus\)-closed

    \(l({\cal A})\)는 교집합에 닫혀있다. 따라서 \(l({\cal A})\)는 시그마필드라고 주장할 수 있다. 그런데 파이람다이론의 state를 잘 이해했으면 \({\cal A}\)가 파이시스템이므로 2-3을 체크할 필요가 없이 \(l({\cal A}=\sigma({\cal A})\) 로 주장할 수 있을 것이다. 따라서 파이람다이론을 잘 이해하면 이 예제에서 \(\sigma({\cal A})\) 를 좀 더 수월하게 구할 수 있을 것이다.

    그렇지만 파이람다이론의 정수는 \(\sigma({\cal A})\) 따위를 쉽게 구하는 것에 있지 않음.. 훨씬 대단한걸 할 수 있음

    #