05wk: 시그마필드 – Motivation2, 측도와 확률측도
1. 강의영상
2. 지금까지의 스토리
- 지금까지의 이야기.
- 우리가 원래 원했던 것은 \(\Omega=[0,1)\) 의 모든 부분집합에 대해서 확률을 “무모순”으로 정의 하는 것이었다.
- \(\Omega=[0,1)\) 의 모든 부분집합에 대해서 확률을 “무모순”으로 정의하는게 엄청 쉬운일 인줄 알았는데 사실은 그렇지가 않았다. 확률을 정의하는건 매우 까다로운 일이었다.
- 이러한 까다로움을 해결하기 위해서 “르벡메져”라는 새로운 도구를 사용했다. 이 도구는 몇 가지 까다로운 집합에 대해서도 확률을 무모순으로 정의할 수 있었다.
- 그런데 “르벡메저”를 사용해도 \(\Omega=[0,1)\)의 부분집합 중 확률을 잴 수 없는 집합이 존재함을 알았다. (비탈리집합이라나 뭐라나..)
- “르벡메저”를 사용하여 \(\Omega=[0,1)\)의 모든 부분집합에 대한 확률을 정의하는 일은 포기하기로 했다. 즉 비탈리집합의 경우 길이를 정의하지 않기로 했다. 그런데 문제는 비탈리집합의 길이만 정의하지 않으면 끝나는것이 아니었다.1
- 따라서 \(\Omega=[0,1)\)의 부분집합중, 확률을 정의할 수 있는 집합들의 모임이라는 개념을 논의할 필요성이 생겼고 이러한 집합들의 모임이 가져야 할 성질에 대하여 상상해보는 시간을 가졌었다.
1 예를들면 \([0,1)\)에서 비탈리집합의 길이를 정의하지 않는다는 말은, \([0,1)\)에서 비탈리집합을 뺀 집합의 길이도 정의하지 않는다는 말과 동일해지는 문제가 있음
3. \(\sigma\)-field - Motivation2
A. 시그마필드
# 생각1 – trivial \(\sigma\)-field
\(\Omega=[0,1)\) 이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적일까?
\[{\cal F}=\{\emptyset, \Omega \}\]
(해설)
이렇게 잡으면 모순이 일어나진 않음. (그렇지만 쓸모가 없음..)
#
# 생각2 – 교집합..?
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)라고 하자. 아래와 같은 \({\cal F}\)는 합리적일까?
\[{\cal F}= \big\{ \emptyset, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}, \Omega\big\}\]
(해설)
집합 \(A\)와 \(B\)에 대한 확률값을 매길 수 있다면 \(\mathbb{P}(A \cap B)\)를 정의할 수 있어야 할까? 이 문항은 이 질문에 대한 답을 준다. 주어진 \({\cal F}\)는 아래의 조건을 만족한다.
조건1. \(\Omega \in {\cal F}\)
조건2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: B_n \in {\cal F} \big) \text{ and } \big(\forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \big) \quad \Longrightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} B_n \in~ {\cal F}\)
그렇지만 \({\cal F}\)는
\[\{1,2\} \cap \{1,3\} = \{1\}\]
와 같은 집합이라든가,
\[\{1,2\} \cup \{1,3\} = \{1,3,4\}\]
와 같은 집합의 확률값을 잴 수 없다고 한다. 즉 \(\mathbb{P}(A)\), \(\mathbb{P}(B)\)를 잴 수 있음에도 \(\mathbb{P}(A \cap B)\), \(\mathbb{P}(A \cup B)\) 의 확률값은 모두 잴 수 없다고 하는 것이다. 하지만 이 접근법은 확률의 공리에 모순을 불러일으키는 건 아니다. (그렇지만 “확률”을 쓸모없게 만들지)
통계학과 입장: 확률의 공리상 \(A\)와 \(B\)에 대한 확률을 모두 정의할 수 있다고 해서 \(A\cap B\)를 잴 수 있어야 하는건 아니다.
수학과의 입장: 그런데, 사실 \(\Omega\) 에서의 확률이라는 것은 사실 “길이”의 개념을 일반화 한 것이다. 확률을 무모순으로 정의가능한 집합은 사실 어떠한 집합의 크기,길이,넓이,부피 등 “재다”라는 개념을 무모순으로 정의가능한 집합을 잘 정의하면 되는 일이다. 이러한 집합에 한정하여 말한다면 집합 \(A\)를 잴 수 있고 집합 \(B\)를 잴 수 있는데, 집합 \(A \cap B\)는 잴 수 없다는 것이 오히려 이상하다. (오히려 \(\Omega\)를 잴 수 있다는게 더 이상한거 아니야?)
합의: 그냥 \(A \cap B\) 도 잴 수 있다고 하시죠
#
# 조건의정리 (교집합을 추가하면)
두 집합 \(A\), \(B\)에 대한 확률을 무모순으로 정의가능하다면 그것의 교집합인 \(A\cap B\)에 대하여서도 확률값을 무모순으로 정의가능하다고 가정하자. 즉 \(\Omega\)의 부분집합중 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\) 는 아래의 조건1~ 조건4을 만족하는 집합의 집합 (collection) 이라고 정의하자.
조건1. \(\Omega \in {\cal F}\)
조건2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: B_n \in {\cal F} \big) \text{ and } \big(\forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \big) \quad \Longrightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} B_n \in~ {\cal F}\)
조건4. \(A \in {\cal F}, B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\)
그런데 조건3과 조건4를 이용하면 아래와 같은 조건5를 유추할 수 있다.
조건1. \(\Omega \in {\cal F}\)
조건2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: B_n \in {\cal F} \big) \text{ and } \big(\forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \big) \quad \Longrightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} B_n \in~ {\cal F}\)
조건4. \(A \in {\cal F}, B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\)
조건5. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \big) \Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\)
그런데 조건5는 조건3을 imply 하므로 조건3을 삭제할 수 있다.
조건1. \(\Omega \in {\cal F}\)
조건2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
조건4. \(A \in {\cal F}, B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\)
조건5. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \big) \Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\)
그런데 조건5와 조건2가 조건4를 imply 하므로 조건4 역시 삭제할 수 있다. 따라서 정리하면 아래와 같다.
조건1. \(\Omega \in {\cal F}\)
조건2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F}\big) \Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\)
#
# 정의: 시그마필드
\(\Omega\)의 부분집합중 아래의 조건1~ 조건3을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal F}\)를 “\(\Omega\)에 대한 시그마필드”라고 한다.
조건1. \(\Omega \in {\cal F}\)
조건2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F}\big) \Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\)
그리고 \({\cal F}\)의 원소를 \({\cal F}\)-measurable set 이라고 한다.
#
- 좀 더 편리하게 아래와 같이 기억하면 좋다.
시그마필드는 아래와 같은 규칙을 만족해야 한다. (1) 전체집합을 포함한다. (2) 여집합에 닫혀있다. (3) 가산합집합에 닫혀있다.
- 참고1: 시그마필드라는 것은 유일하게 정의되지 않는다. 즉 동일한 \(\Omega\)에 대하여 정의할 수 있는 시그마필드 \({\cal F}\)는 유일하지 않다.
- 참고2: 시그마필드는 \(\Omega\) 없이 단독으로 정의되지 않는다. 즉
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}\]
는 단지 그냥 시그마필드라고 언급하기 보다 \(\Omega=\{H,T\}\)에 대한 시그마필드라고 해야 정확한 표현이다.
- 참고3: 참고2에 따라서 \({\cal F}\) 단독으로 표기하는 것 보다 \(\Omega\)를 붙여서 \((\Omega,{\cal F})\)와 같이 쌍으로 표기하는게 더 합리적이다. 앞으로는 이러한 쌍을 measurable space 라고 부른다.
B. 시그마필드의 성질
- 정리표:
| \(A \cap B\) | \(\emptyset\) | \(A-B\) | \(\cup_iA_i \to \uplus_i B_i\) | \(\Omega\) | \(A^c\) | \(A\cup B\) | \(\cup_{i=1}^{\infty}A_i\) | \(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i\) | \(\cap_{i=1}^{\infty}A_i\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\pi\)-system | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) |
| semi-ring | \(O\) | \(O\) | \(\Delta\) | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) |
| semi-algebra | \(O\) | \(O\) | \(\Delta\) | \(O\) | \(O\) | \(\Delta\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) |
| ring | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) |
| algebra | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) |
| \(\sigma\)-ring | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) |
| \(\lambda\)-system | \(X\) | \(O\) | \(\Delta\)’ | \(X\) | \(O\) | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(O\) | \(X\) |
| \(\sigma\)-field | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) |
- 아래를 체크해보자.
- \(A, B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\)
- \(\emptyset \in {\cal F}\)
- \(A, B \in {\cal F} \Rightarrow A-B \in {\cal F}\)
- \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \big) \Rightarrow \cap_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\)
4. 측도와 확률측도
- 강의오류 공지 – 시그마필드는 사실 “확률값”을 무모순으로 정의가능한 집합들의 모임이 아닙니다. 엄밀하게는 (확률이든 길이든 넓이든 뭐든) “잰다”라는 행위를 합리적이게 만드는 집합들의 모임입니다. 따라서 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서 \({\cal F}\) 는 \(\Omega\) 의 부분집합중, (확률이든 길이든 넓이든 뭐든) “잰다”라는 행위가 말이되게 만드는 집합들의 모임을 의미한다고 볼 수 있습니다. 혼란을 드려 죄송합니다. (그런데 내년에도 이렇게 설명하지 않을까요?.. ㅎㅎ)
강의오류에도 불구하고 시그마필드는 의미가 있다. 시그마필드를 만들었다고 거기에서 항상 확률을 항상 정의가능한 것은 아니지만, 확률은 항상 시그마필드에서 정의해야 하기 때문. 즉 “시그마필드 \(\Leftrightarrow\) \(\Omega=[0,1)\)의 부분집합중 확률을 잴 수 있는 집합의 모임” 은 아니지만 “시그마필드 \(\Leftarrow\) \(\Omega=[0,1)\)의 부분집합중 확률을 잴 수 있는 집합의 모임” 은 성립
- 여기에서 “잰다”라는 행위를 함수로 이해한다면, 그 함수의 정의역이 \({\cal F}\) 가 되는 것이다. 참고로 “잰다”라는 행위를 수행하는 함수를 measure 혹은 measurable function, measurable mapping 이라고 한다.
A. 측도의 정의, 확률측도의 정의
# 메져의 정의: 메져는 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)가 전제되었을 경우 정의 할 수 있는 일종의 함수 \(m: {\cal F} \to [0,\infty]\) 인데, 아래의 조건을 만족해야 한다.
조건1. \(\forall A \in {\cal F}:~ m(A) \geq 0\).
조건2. \(m(\emptyset)=0\).
조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: B_n \in {\cal F} \big) \text{ and } \big(\forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \big) \quad \Longrightarrow m\left(\uplus_{n=1}^{\infty} B_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty}m(B_n)\)
쉽게 말하면 (1) 메저는 항상 양수이어야 하고, (2) 공집합은 항상 측정값이 0이며 (3) \(\sigma\)-additivity2가 성립해야한다는 의미이다.
2 countable additivity 라고 하기도 함
#
# 확률의 정의: 확률은 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)가 전제되었을 경우 정의 할 수 있는 일종의 함수 \(\mathbb{P}:{\cal F} \to [0,1]\) 인데, 아래의 조건을 만족해야 한다.
조건1. \(\forall A \in {\cal F}:~ \mathbb{P}(A) \geq 0\).
조건2. \(\mathbb{P}(\Omega)=1\).
조건3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: B_n \in {\cal F} \big) \text{ and } \big(\forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \big) \quad \Longrightarrow \mathbb{P}\left(\uplus_{n=1}^{\infty} B_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(B_n)\)
쉽게 말하면 (1) 확률은 항상 양수이어야 하고, (2) 전체확률은 1이며 (3) \(\sigma\)-additivity3가 성립해야한다는 의미이다.
3 countable additivity 라고 하기도 함
#
# 예제1 확률은 메저의 한 종류임을 보여라. 즉 확률의 공리1-3을 만족하면 메저의 공리1-3을 만족함을 보여라.
# 예제2 메저의 정의에서 조건4 \(m(\Omega)=1\) 임을 추가하면 확률의 공리1-3이 됨을 보여라.
B. 확률측도
# 예제1 – 시그마필드에서만 확률정의가능
\(\Omega=\{H,T\}\) 라고 하고 \({\cal F}=\{\emptyset, \{H\},\Omega\}\) 이라고 하자. 아래와 같은 함수 \(\mathbb{P}\) 를 고려하고 이것을 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\mathbb{P}(\{H\}) = \frac{1}{2}\)
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
(해설) \({\cal F}\)는 시그마필드가 아니므로 이 위에서는 애초에 확률을 정의할 수 없음.
확률을 잘 정의하기 위해서는 우선 잘 정의된 “잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)” 가 필요하다.
#
# 예제2 – 잘 정의된 확률
\(\Omega=\{H,T\}\) 라고 하고 \({\cal F}=2^{\Omega}\) 이다. 아래와 같은 함수 \(\mathbb{P}\) 를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\mathbb{P}(\{H\}) = \frac{1}{100}\)
- \(\mathbb{P}(\{T\}) = \frac{99}{100}\)
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
(해설) 합리적임.
#
# 예제3 – 확률은 0보다 커야해.
\(\Omega=\{H,T\}\) 라고 하고 \({\cal F}=2^{\Omega}\) 이다. 아래와 같은 함수 \(\mathbb{P}\) 를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\mathbb{P}(\{H\}) = -\frac{1}{2}\)
- \(\mathbb{P}(\{T\}) = \frac{1}{2}\)
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
(해설) 확률은 음수가 나오면 안되므로 합리적이지 않음.
#
# 예제4 – 전체확률은 1이어야 함.
\(\Omega=\{H,T\}\) 라고 하고 \({\cal F}=\{\emptyset, \Omega\}\) 이다. 아래와 같은 함수 \(\mathbb{P}:{\cal F} \to [0,1]\)를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 0.5\)
(해설) 전체확률은 1이어야 하므로 합리적이지 않음.
#
# 예제5 – 공집합의 확률은 0이어야 함.
\(\Omega=\{H,T\}\) 라고 하고 \({\cal F}=\{\emptyset, \Omega\}\) 이다. 아래와 같은 함수 \(\mathbb{P}:{\cal F} \to [0,1]\)를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0.5\)
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
(해설) 공집합의 확률은 0이어야 하므로 합리적이지 않음.
#
# 예제6 – 서로소인 집합을 합친 확률, 여집합의 확률
\(\Omega=\{H,T\}\) 라고 하고 \({\cal F}=\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\}\) 이다. 아래와 같은 함수 \(\mathbb{P}:{\cal F} \to [0,1]\)를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\mathbb{P}(\{H\}) = 1/3\)
- \(\mathbb{P}(\{T\}) = 1/3\)
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
(해설) 합리적이지 않음. 왜냐하면
- \(P(\{H\}\cup \{T\})=P(\Omega)=1\)
- \(P(\{H\}\cup \{T\})=P(\{H\})+P(\{T\})=2/3\)
이므로 모순임.
#
# 예제7 – 포함관계에 있는 집합의 확률
\(\Omega=\{1,2,3\}\) 라고 하고
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \Omega\}\]
라고 하자. 아래와 같은 함수 \(\mathbb{P}:{\cal F} \to [0,1]\)를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\mathbb{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\mathbb{P}(\{2\}) = 1/4\)
- \(\mathbb{P}(\{3\}) = 2/4\)
- \(\mathbb{P}(\{1,2\}) = 2/4\)
- \(\mathbb{P}(\{1,3\}) = 3/4\)
- \(\mathbb{P}(\{2,3\}) = 1/4\)
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
(해설) 합리적이지 않음. 왜냐하면
- \(\mathbb{P}(\{2\}\cup \{3\})=\mathbb{P}(\{2,3\})=1/4\)
- \(\mathbb{P}(\{2\}\cup \{3\})=\mathbb{P}(\{2\})+\mathbb{P}(\{3\})=3/4\)
이므로 모순임.
#
정의역이 시그마필드이고, 확률의 공리1,2,3을 만족하는 경우만 우리는 “확률”이라 인정하겠다.
# 예제7 – 포함관계에 있는 집합의 확률
\(\Omega=\{1,2,3\}\) 라고 하고
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \Omega\}\]
라고 하자. 아래와 같은 함수 \(\mathbb{P}:{\cal F} \to [0,1]\)를 고려하고 이를 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 에서의 확률이라고 하자. 이러한 확률은 합리적인가?
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\mathbb{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\mathbb{P}(\{2\}) = 1/4\)
- \(\mathbb{P}(\{3\}) = 2/4\)
- \(\mathbb{P}(\{1,2\}) = 2/4\)
- \(\mathbb{P}(\{1,3\}) = 3/4\)
- \(\mathbb{P}(\{2,3\}) = 1/4\)
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
(해설) 합리적이지 않음. 왜냐하면
- \(\mathbb{P}(\{2\}\cup \{3\})=\mathbb{P}(\{2,3\})=1/4\)
- \(\mathbb{P}(\{2\}\cup \{3\})=\mathbb{P}(\{2\})+\mathbb{P}(\{3\})=3/4\)
이므로 모순임.
#
C. 확률측도와 측도의 차이
# 예제1 – \(|\Omega|<\infty\) 인 경우
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) 라고 하자. 이때 \(2^\Omega\)는 \(\Omega\)의 모든 부분집합들의 집합이다. 여기에서 \(2^\Omega\)는 시그마필드의 정의를 만족하므로 \((\Omega, 2^{\Omega})\) 는 잴 수 있는 공간이 된다. 이 공간위에서 함수 \(\mathbb{P}: 2^{\Omega} \to [0,1]\) 를 아래와 같의 정의하자.
\[\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.\]
이러한 함수 \(\mathbb{P}\) 는 (1) 정의역이 시그마필드이며 (2) 확률의공리1-3을 만족하므로 확률이라 주장할 수 있다.
#
# 예제2 – \(|\Omega| = \aleph_1\) 인 경우, 확률정의 불가능
\(\Omega=[0,1)\) 라고 하자. 이때 \(2^\Omega\)는 \(\Omega\)의 모든 부분집합들의 집합이다. 여기에서 \(2^\Omega\)는 시그마필드의 정의를 만족하므로 \((\Omega, 2^{\Omega})\) 는 잴 수 있는 공간이 된다. 이 공간위에서 함수 \(\mathbb{P}: 2^{\Omega} \to [0,1]\) 를 아래와 같이 정의하자.
\[\mathbb{P}(A)=\lambda(A), \quad \text{$\lambda$ is lebesgue measure}.\]
이러한 함수 \(\mathbb{P}\) 는 (1) 정의역이 시그마필드이지만 (2) 확률의공리1-3을 만족하지 않는다. (왜? 비탈리집합!) 따라서 함수 \(\mathbb{P}\) 를 확률이라고 주장할 수 없다. 또한 \(\mathbb{P}(A)=\lambda(A)\)가 아닌 그 어떠한 방식으로 정의해도 잴 수 있는 공간 \((\Omega, 2^{\Omega})\) 위에서 확률을 무모순으로 정의하는게 불가능함이 밝혀져 있다.
#
의문: 그러면 이름이 이상한것 아니야? 즉, \(\Omega=[0,1)\) 일경우 \((\Omega, 2^{\Omega})\)를 잴 수 있는 공간이라고 말하는 것 자체가 잘못된것 아니야??
# 예제3 – \(|\Omega| = \aleph_1\) 인 경우, 측도정의가능
\(\Omega=[0,1)\) 라고 하자. 이때 \(2^\Omega\)는 \(\Omega\)의 모든 부분집합들의 집합이다. 여기에서 \(2^\Omega\)는 시그마필드의 정의를 만족하므로 \((\Omega, 2^{\Omega})\) 는 잴 수 있는 공간이 된다. 이 공간위에서 함수 \(m: 2^{\Omega} \to [0,\infty]\) 를 아래와 같이 정의하자.
\[m(A)=0, \quad \forall A \in 2^{\Omega}\]
이러한 함수 \(m\) 은 (1) 정의역이 시그마필드이고 (2) 측도의공리1-3을 만족한다. 따라서 함수 \(m\) 를 측도라고 주장할 수 있다. (그런데 이따위 측도를 어디에 쓰지?)
#
D. 측도공간, 확률공간
# 정의 – 잴 수 있는 공간 \((\Omega,{\cal F})\) 와 그 공간에서의 측도 \(m:{\cal F} \to [0,\infty]\) 을 묶은 \((\Omega, {\cal F},m)\) 을 measure space 라고 한다. 만약에 측도 \(m\)이 확률측도의 정의를 만족한다면 공간 \((\Omega, {\cal F},m)\) 혹은 \((\Omega, {\cal F},\mathbb{P})\) 는 확률공간 (probability space) 라고 한다.
5. 확률을 어디에서 정의할까?
# 확장이론 \(\Omega=[0,1)\) 일 경우 확률(=길이)을 정의하는 방법:
- 사전인지사항1: \((\Omega, 2^{\Omega})\) 에서 확률(=길이)를 정의하는 것은 불가능함
- 사전인지사항2: \((\Omega, \{\emptyset, \Omega\})\) 에서 \(\mathbb{P}=\lambda\)를 정의하는 것은 의미가 없음.
- 문제를 해결하는 자세: \(\{\emptyset, \Omega\}\) 보다는 크고, \(2^{\Omega}\) 보다는 작은 어떠한 \({\cal F}\)에 대하여 확률(=길이)를 정의해야 하지 않나?
- 즉 \((\Omega, ???, \lambda)\) 를 measure space 로 만드는 적당한 시그마필드 \(???\) 를 찾으면 되는것 아닌가? 그리고 그 \(???\) 에서 확률을 정의하면 되지 않나?
우리는
- \((\Omega, ???, \lambda)\) 를 measure space 로 만드는 시그마필드는 찾는 방법??
- \(???\) 에서 확률을 정의하는 방법??
을 논의하면 된다.
#
A. 상황1 – 시그마필드 구하기 귀찮아
\((\Omega, ???, \lambda)\) 를 measure space 로 만드는 시그마필드는 찾는 방법?? 을 생각하자. 가능한 방식은 아래의 2가지가 있는데
방법1: \(2^\Omega\) 에서 확률(=길이)을 잴 수 없는 집합들을 제외한다.
방법2: 확률(=길이)를 정의할 수 있는 집합들 \({\cal A}\)를 정의하고 이를 확장시킨다.
이중에서 방법2를 채택한다.
# 예제1
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 event의 모음은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\{1\},\{2\}\}\]
당연히 이러한 이벤트에 대해서만 적절한 확률을 정의하면 좋겠는데, 이는 불가능 하다. 왜냐하면 \({\cal A}\)는 시그마필드가 아니기 때문이다. 따라서 할 수 없이 아래와 같은 방식으로 시그마필드를 구해야 했다.
\[{\cal F} = \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \Omega \big\}\]
이러한 \({\cal F}\)를 구하기는 것은 귀찮은 일인데, 이를 편리하게 해결하기 위해서 \(\sigma({\cal A})\)라는 기호를 도입하고 이를 “\(\{1\}\), \(\{2\}\)를 원소로 가지는 최소한의 \({\cal F}\)” 라고 생각 하기로 하였다. 즉 앞으로는
\[\sigma({\cal A})\]
라고만 써도 위에서 명시한 \({\cal F}\)를 의미한다고 알아서 생각하면 된다는 것이다.
걱정: 문제는 이러한 논리전개가 항상 가능하냐는 것이다.
귀찮아서 만든 이론1: 걱정할 필요 없다. 언제나 \(\sigma({\cal A})\)라는 표현은 가능하다. 즉 \(\Omega\)의 임의의 부분집합에 대하여 우리가 관심있는 집합만 모은 것을 \({\cal A}\)라고 할때, \({\cal A}\)의 모든 원소를 포함하고 시그마필드의 정의를 만족하는 최소한의 시그마필드 \(\sigma({\cal A})\)는 항상 존재한다.
#
# 예제2
\(\Omega = \mathbb{R}\) 이라고 하자. 이중에서 우리가 관심있는 집합들은 르벡메져로 길이를 명확하게 잴 수 있는 아래와 같은 형태이다.
\[[a,b]\]
여기에서 \(a,b \in \mathbb{R}\), \(a<b\) 이라고 하자. 따라서 이 경우 \({\cal A}\)를 아래와 같이 설정할 수 있다.
\[{\cal A} = \big\{[a,b]: a,b \in \mathbb{R}, a<b\big\}\]
이제 \(\sigma({\cal A}):={\cal R}\) 를 상상하자. (귀찮아서 만든 이론1에 의하면 이러한 \({\cal R}\) 는 항상 존재함) 언뜻 생각하면 \({\cal R}\)의 원소는 \([a,b]\) 의 형태만 가능하여, 확률 혹은 길이를 정의함에 너무 제한적인 정의역일것 같은데 그렇지 않다. \({\cal R}\) 은 상당히 많은 케이스를 포함하는 집합이다. 예를들면 아래와 같은 집합들은 모두 \({\cal R}\) 의 원소이다.
- \([0,2)\)
- \(\{2\}\)
- \((0,2)\)
- \([0,\infty)\), \((0,\infty)\)
- \((-\infty,0)\), \((-\infty,0]\)
- \([1,2] \cup [3,4]\)
- \((1,2] \cup [3,4)\)
- \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\)
- \([0,2] \cap \mathbb{Q}\)
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B. 상황2 – 확률 정의하기 귀찮아
# 예제1 – motivating EX
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모음은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\},\Omega\}\]
여기에서 \({\cal A}\)는 시그마필드가 아니다. 따라서 \({\cal A}\)에서는 확률을 정의할 수 없다. 확률을 정의하려면 \(\sigma({\cal A})\)에서 정의해야 한다.
- 소망: 그래도 그냥 \({\cal A}\)에서만 확률 비슷한걸4 잘 정의하면 안될까?
4 정의역이 시그마필드가 아니므로 확률이라고 말할 수 없다
- 희망: 이게 될 것 같다. 예를들면 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
이 정도만 정의해보자. \(\tilde{P}\)는 정의역이 시그마필드가 아니라는 점만 제외하면 set function \(\tilde{P}\) 는 확률의 공리 1,2,3을 따른다. 이렇게 함수 \(\tilde{P}\)를 정의하게 되면
\[\sigma({\cal A}) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \Omega \big\}\]
에서의 확률 \(\mathbb{P}:\sigma({\cal A}) \to [0,1]\)는 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}\)를 “알아서, 잘, 센스있게” 확장하여 정의할 수 있다. 구체적으로는 아래와 같이 된다.
| \(\mathbb{P}\) | \(\tilde{P}\) | |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | \(\frac{3}{4}\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(\frac{3}{4}\) | None |
#
# 예제2 – motivating EX (2)
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\}, \{3,4\}, \Omega\}\) 라고 하자. 그리고 아래와 같은 \(\sigma({\cal A})\)를 다시 상상하자.
\[\sigma({\cal A}) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \Omega \big\}\]
위의 시그마필드에서 확률을 예제1과 다른 방식으로 정의할 수 도 있다. 예를들면 아래와 같은 방식으로 정의가능하다.
| \(\mathbb{P}_1\) | \(\tilde{P}_1\) | |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
또한 아래와 같은 방식도 가능하다.
| \(\mathbb{P}_2\) | \(\tilde{P}_2\) | |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{2\}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{3,4\}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | \(0\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(1\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(1\) | None |
어떠한 방식으로 정의하든 \({\cal A}\)에서 확률 비슷한 것 \(\tilde{P}_1,\tilde{P}_2\)를 잘 정의하기만 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률로 적절하게 확장할 수 있다. 심지어 이런 확장은 유일한 듯 하다.
귀찮아서 만든 이론2: 운이 좋다면, \({\cal A}\) 에서 확률의 공리를 만족하는 적당한 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 \((\Omega, \sigma({\cal A}))\) 에서의 확률측도 \(\mathbb{P}\)로 업그레이드 할 수 있으며 업그레이드 결과는 유일하다.
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# 예제3 – 운이 안 좋은 경우 1
\(\Omega=\{1,2,3\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자.
아래와 같은 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 0\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
\(\tilde{P}\)는 분명히 \({\cal A}\)에서 확률의 공리1-3을 만족한다. 하지만 \(\sigma({\cal A})\)로의 확장은 불가능하다.
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# 예제4 – 운이 안 좋은 경우 2
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자.
아래와 같은 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
\(\tilde{P}\)는 분명히 \({\cal A}\)에서 확률의 공리1-3을 만족한다.
\(\sigma({\cal A})\)로의 확장도 가능하다. 하지만 유일한 확장을 보장하지 않는다.
| \(\mathbb{P}_1\) | \(\mathbb{P}_2\) | \(\tilde{P}\) | |
|---|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1,2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,3\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | None |
| \(\{3\}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | None |
| \(\{1,3\}\) | \(0\) | \(1\) | None |
| \(\{1,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{2,4\}\) | \(1\) | \(0\) | None |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | None |
| \(\{1,2,4\}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{1,2,3\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | None |
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# 예제5 – 혹시…
\(\Omega=\mathbb{R}\), \({\cal A}=\big\{[a,b]: a,b \in \mathbb{R}, a<b \big\}\) 라고 하자.
\({\cal A}\)에서만 측도비슷한 함수 \(\tilde{\lambda}([a,b])=b-a\)를 잘 정의한다면 그것이 \(\sigma({\cal A})\)에서의 측도 \(\lambda\)으로 업그레이드 가능하며, 그 업그레이드 결과는 유일할까? 그래서 아래의 집합들에 대한 확률을 무모순으로 정의가능할까?
- \([0,2)\)
- \(\{2\}\)
- \((0,2)\)
- \([0,\infty)\), \((0,\infty)\)
- \((-\infty,0)\), \((-\infty,0]\)
- \([1,2] \cup [3,4]\)
- \((1,2] \cup [3,4)\)
- \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\)
- \([0,2] \cap \mathbb{Q}\)
이게 가능하다면 대박인데, 결론적으로 말하면 이게 가능하다. 이게 가능한 이유는 카라테오도리의 확장정리 때문
#
6. 측도론의 유산
이걸 제가 좀 자세히 할지 못할지 모르겠네요..
# 이론 – 아래와 같은 집합을 고려하자.
- \({\cal A}_1:= \{A\subset \mathbb{R}: A \text{ is open}\}\)5
- \({\cal A}_2:= \{(a,b): a,b \in \mathbb{R}, a<b\}\)
- \({\cal A}_3:= \{[a,b): a,b \in \mathbb{R}, a<b\}\)
- \({\cal A}_4:= \{(a,b]: a,b \in \mathbb{R}, a<b\}\)
- \({\cal A}_5:= \{[a,b]: a,b \in \mathbb{R}, a<b\}\)
- \({\cal A}_6:= \{(-\infty,b): a,b \in \mathbb{R}, a<b\}\)
- \({\cal A}_7:= \{(-\infty,b]: a,b \in \mathbb{R}, a<b\}\)
- \({\cal A}_8:= \{(a,\infty): a,b \in \mathbb{R}, a<b\}\)
- \({\cal A}_9:= \{[a,\infty): a,b \in \mathbb{R}, a<b\}\)
5 여기에서 open은 엄밀하게 말하면 usual topological spcace \((\mathbb{R},{\cal U})\) 에서의 \({\cal U}\)-open set을 의미한다. 즉 보통위상공간에서 정의가능한 openset을 의미한다.
아래가 성립한다.
\[{\cal R}:={\cal B}(\mathbb{R}) = \sigma({\cal A}_1)=\sigma({\cal A}_2)=\dots=\sigma({\cal A}_9)\]
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# 정의 – 위의 이론에서 논의된 \({\cal R}\)을 보렐시그마필드라고 한다.
참고로 “시그마필드” \(\Leftarrow\) “길이를 잴 수 있는 집합들의 모임” 이지만, “보렐시그마필드” \(\Leftrightarrow\) “길이를 잴 수 있는 집합들의 모임” 이다. 그리고 보렐시그마필드야 말로 \((\mathbb{R},???,\lambda)\) 를 measure space로 만드는 가장 합리적인 집합(collection)이다.
#
# 이론 – \(\Omega=\mathbb{R}\) 에 대하여 아래와 같은 collection \({\cal A}\)를 고려하자.
\[{\cal A}=\{(a,b]: a,b\in \mathbb{R}, a<b\}\]
그리고 아래와 같은 함수 \(\tilde{\lambda}:{\cal A} \to [0,\infty]\)을 고려하자.
\[\tilde{\lambda}((a,b]) = b-a\]
이러한 함수 \(\tilde{\lambda}\)은 \((\mathbb{R},{\cal R})\)에서의 메져 \(\lambda:{\cal R} \to [0,\infty]\)로 쉽게 업그레이드 가능하며 이 업그레이드 결과는 유일하다.
#
# 정의 – 위의 이론에 의하여 업그레이드 된 메져 \(\lambda\)을 르벡메져라고 한다.