03wk: 유리수, 무리수, 실수의 Cardinality

1. 강의영상

2. 우리의 목표

우리가 원하는 것: \([0,2\pi)\)의 유리수집합과 무리수집합은 모두 원소가 무한개임. 그런데 무한에도 급이 있다는 것을 나타내고 싶어. 즉 \([0,2\pi)\)의 유리수집합의 원소수보다 \([0,2\pi)\)의 무리수집합의 원소수가 훨씬 많다는 사실을 설명하고 싶어.

3. 유리수와 실수의 Cadinality

A. 예비학습

# 정의 – 집합 \(A\) 의 cardinality 를 엄밀하게 정의하는건 어렵다. 그래서 이 수업은 아래와 같이 알고 있어도 무방하다.

• 집합 \(A\)가 유한집합일 경우: \(|A|\)는 집합의 \(A\)의 원소수와 같다.
• 집합 \(A\)가 무한집합일 경우: \(|A|\)를 직접적으로 정의할수 없다. 단지 또 다른 집합 \(B\)와의 크기 비교는 가능하다.

#

# 개념1 – 어떠한 집합 \(A\)의 cardinality가 \(\aleph_0\) 이라면, 집합 \(A\)를 아래와 같이 쓸 수 있다.

\[ A = \{a_1,a_2,a_3,\dots \} =\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{a_n\}\]

#

# 개념2 – 어떠한 집합 \(A\)의 cardinality가 \(\aleph_0\) 이라고 하자. 그리고 또 다른 집합 \(B\)의 cardinality는 \(N\) 이라고 하자. 그러면 \(A\cup B\) 의 cardinality는 \(\aleph_0\) 이다.

# 개념3 – 어떠한 집합 \(A\)의 cardinality가 \(\aleph_0\) 이라고 하자. 그리고 또 다른 집합 \(B\)의 cardinality 역시 \(\aleph_0\) 이라고 하자. 그러면 \(A\cup B\) 의 cardinality는 \(\aleph_0\) 이다.

# 개념4 – \(A \subset B\) 라면, 항상 \(A\)에서 \(B\)로 가는 단사함수가 존재한다. 즉 \(|A| \leq |B|\) 가 성립한다.

B. 유리수

# 예제1 – \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|\) 임을 보여라. (https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number)

- 전략: 자연수집합 \(\mathbb{N}\)에서 양의유리수 \(\mathbb{Q}^+\)로 가는 전단사함수가 존재함을 보이자. (그러면 아래의 2-4가 자동으로 보여진다.)

1. \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{Q}^+|\)
2. \(|\mathbb{Q}^+| = |\mathbb{Q}^-| \Rightarrow |\mathbb{N}| = |\mathbb{Q}^-|\)
3. \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{Q}^+ \cup \mathbb{Q}^-|\)
4. \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|\)

- 단사: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}^+\) 이므로, \(\mathbb{N} \to \mathbb{Q}^+\) 인 단사함수가 존재한다. 즉 \(|\mathbb{N}| \leq |\mathbb{Q}^+|\) 이다.

- 전사: 이제 \(\mathbb{N} \to \mathbb{Q}^+\)인 전사함수가 존재함을 보이면 된다. 아래의 그림을 보면 직관적으로 \(\mathbb{N} \to \mathbb{Q}^+\)인 전사함수가 존재함을 알 수 있음. (모든 양의유리수 \(q \in \mathbb{Q}^+\)에 대하여 대응하는 \(n \in \mathbb{N}\)이 적어도 하나는 존재함)

좀 더 엄밀한 증명을 원한다면?

- 결론: 유리수집합 \(\mathbb{Q}\)의 카디널넘버는 \(\aleph_0\)이다. 좀 더 자극적으로 말하면 “자연수의 갯수와 유리수의 갯수는 같다” 라고 말할 수 있다.

- 조금 무식하게 쓰면 아래와 같이 쓸 수 있다.

• \(\aleph_0 \times \aleph_0 = \aleph_0^2 = \aleph_0\)

#

C. 실수

# 예제2 – \(|\mathbb{R}| > |\mathbb{Q}|\) 임을 보여라.

- 그런데 \(|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}|\) 이므로, \(|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|\) 임을 보여도 충분하다.

• \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) 인 단사함수는 존재하지만, 전사함수는 존재할 수 없음을 보이자.

- \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) 인 단사함수의 존재성은 쉽게 논의할 수 있다. (자연수는 실수의 부분집합이니까)

- \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) 인 전사함수는 존재할 수 없음을 보이고 싶다. 그런데 이는 \(\mathbb{N} \to [0,1]\)로 향하는 전사가 존재할 수 없음을 보여도 충분하다.¹

¹ \(\mathbb{R}\)은 커녕 \([0,1]\)도 꽉 채우지 못한다는 의미니까..

- 전략: \(\mathbb{N} \to [0,1]\) 인 전사함수가 존재한다고 가정하고 모순을 이끌어 내자.

1. 아래와 같은 주장을 하는 가상의 인물을 세움:

\(\mathbb{N} \to [0,1]\)로 향하는 전사함수 \(a(n)\) 이 존재한다.

2. 그 가상의 인물이 하는 주장을 잘 생각해보면 아래와 같음

\(a\)는 정의역이 자연수이고 공역이 실수인 함수이므로 아래와 같은 형태일 것임.

• \(a(1)=a_1= 0.1\)²
• \(a(2)=a_2= 0.3141592\cdots\)³
• \(a(3)=a_3=0.14142135\cdots\)⁴
• \(\dots\)

² 유리수

³ 무리수, \(\frac{\pi}{10}\)

⁴ 무리수, \(\frac{\sqrt{2}}{10}\)

그 가상의 인물의 주장대로라면

\[[0,1]=\{a_1,a_2,a_3,\dots\}\]

이라는 의미임.⁵

⁵ 다시 말하면 \([0,1]\) 사이의 모든 실수는 “셀수있다”라는 의미임

3. 전사함수의 정의에 의하여 아래가 성립해야 함

\(\forall y\in [0,1] ~\exists x \in \mathbb{N}\) such that \(a(x)=y\)

아래의 원리에 따라서 \(y=0.x_1x_2x_3\cdots\)를 뽑는다면?

• \(y\)의 첫번째 소수점의 값 \(x_1\)은 \(a(1)=a_1\)의 첫번째 소수점과 다르게 한다. \(\Rightarrow\) \(y\neq a(1)\) \(\Rightarrow\) \(y \notin \{a_1\}\)
• \(y\)의 두번째 소수점의 값 \(x_2\)은 \(a(2)=a_2\)의 두번째 소수점과 다르게 한다. \(\Rightarrow\) \(y\neq a(1)\) and \(y\neq a(2)\) \(\Rightarrow\) \(y \notin \{a_1, a_2\}\)
• \(\dots\)

이러한 \(y\)는 분명히 실수이지만 \(y \notin \{a_1,a_2,a_3,\dots,\}\) 이다.⁶

⁶ 모순이네?

#

D. 무리수

# 예제3 – \(|\mathbb{R}-\mathbb{Q}| > |\mathbb{Q}|\) 임을 보여라.

- 유리수의 집합 \(\mathbb{Q}\) 에서 무리수의 집합 \(\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) 로의 단사함수가 존재하므로 \(|\mathbb{Q}| \leq |\mathbb{R}-\mathbb{Q}|\) 가 성립함은 자명하다.

- 이제 \(|\mathbb{Q}| \neq |\mathbb{R}-\mathbb{Q}|\) 임을 귀류법을 이용하여 보이자.

#

# 예제4 – \(|\mathbb{R} - \mathbb{Q}| = |\mathbb{R}|\) 임을 보여라.

정리하면 \(\aleph_0 =|\mathbb{Q}| < |\mathbb{R}-\mathbb{Q}| \leq |\mathbb{R}|=\aleph_1\) 와 같이된다.

이 다음은 제 실력으로는 증명할 수 없어요.. 연속체가설을 믿으세요..

#

4. 셀 수 있는

- 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합.

• countable: finite, countable many
• uncountable: uncountable many

- 예시1: countable set, uncountable set

• \(\{1,2,3,4,5\}\)는 셀 수 있는 집합이다.
• \(\mathbb{N}\)은 셀 수 있는 집합이다.
• \(\mathbb{Z}\)는 셀 수 있는 집합이다.
• \(\mathbb{Q}\)는 셀 수 있는 집합이다.
• \(\mathbb{R}\)은 셀 수 없는 집합이다.

- 예시2: countable sum: 아래는 모두 countable sum을 의미한다.

• \(\sum_{i=1}^{n}a_i\).
• \(\sum_{i \in I} a_i\), where \(I=\{1,2,3,\dots,10\}\).
• \(\sum_{i=1}^{\infty} a_i\), \(\sum_{i=0}^{\infty} a_i\).
• \(\sum_{i \in \mathbb{N}}a_i\).
• \(\sum_{x \in \mathbb{Q}}m(\{x\})\), where \(m\) is Lebesgue measure

- 예시3: countable union: 아래는 countable union을 의미한다.

• \(\cup_{i=1}^n A_i\)
• \(\cup_{i=1}^{\infty} A_i\)
• \(\cup_{x \in \mathbb{Q}} \{x\}\)

- 예시4: 아래는 uncountable sum을 의미한다.

• \(\sum_{x \in [0,1]}m(\{x\})\), where \(m\) is Lebesgue measure

- 예시5: 아래는 uncountable union을 의미한다.

• \(\cup_{x \in [0,1]} \{x\}\)

5. 집합정리

집합	카디널리티	분류	르벡메져
\(\{1,2,3\}\)	3	가산집합	0
\(\mathbb{N}\)	\(\aleph_0\)	가산집합	0
\(\mathbb{Z}\)	\(\aleph_0\)	가산집합	0
\(\mathbb{Q}\)	\(\aleph_0\)	가산집합	0
\([0,1]\)	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	1
\([0,1]\cap \mathbb{Q}\)	\(\aleph_0\)	가산집합	0
\([0,1]\cup \mathbb{Q}\)	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	1
\([0,1]\cap \mathbb{Q}^c\)	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	1
\([0,\infty)\)	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	\(\infty\)
비탈리집합	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	NA
칸토어집합	\(2^{\aleph_0}\)	비가산집합	0