02wk-2: 파이썬은 좋은 계산기다 (2)

Author

최규빈

Published

March 15, 2024

1. 강의영상

2. Imports

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

3. 2024 수능 – 16,11,8,26,19,12

(풀이1)

x = np.linspace(1,3,101)
lhs = 3**(x-8) # lhs = left hand side 의 약자
rhs = (1/27)**x 
plt.plot(x,lhs,'--',label=r"$3^{x-8}$")
plt.plot(x,rhs,'--',label=r"$(\frac{1}{27})^x$")
plt.legend()

대충 \(x=2\) 에서 만나는것 같다. 확인해보자.

3**(2-8), (1/27)**2
(0.0013717421124828531, 0.0013717421124828531)

두 값이 같음. 따라서 \(x=2\)에서 만난다.

(풀이2)

x = np.linspace(1,3,101)
lhs = 3**(x-8) # lhs = left hand side 의 약자
rhs = (1/27)**x 
x[np.argmin(np.abs(lhs-rhs))]
2.0

따라서 \(x=2\)에서 만난다.

(풀이1)

n = np.linspace(1,15,15)
d = 4
an = d*n-d*7
an
array([-24., -20., -16., -12.,  -8.,  -4.,   0.,   4.,   8.,  12.,  16.,
        20.,  24.,  28.,  32.])

좀 더 보기 편하게 하기 위해서..

np.stack([n,an],axis=1) 
array([[  1., -24.],
       [  2., -20.],
       [  3., -16.],
       [  4., -12.],
       [  5.,  -8.],
       [  6.,  -4.],
       [  7.,   0.],
       [  8.,   4.],
       [  9.,   8.],
       [ 10.,  12.],
       [ 11.,  16.],
       [ 12.,  20.],
       [ 13.,  24.],
       [ 14.,  28.],
       [ 15.,  32.]])

\(d\)에 따라 바뀌는 \(\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{a_k a_{k+1}}\) 값을 조사하고 이 값이 \(\frac{5}{96}\)이 되는 \(d\)를 찾아보자.

n = np.linspace(1,15,15)
d = 4
an = d*n-d*7
np.sum(1/(an[:5]*an[1:6])), 5/96
(0.052083333333333336, 0.052083333333333336)

찾아보니까 \(d=4\)이다.

np.sum(an)
60.0
Note

np.stack()을 이용하는 부분은 너무 내용이 많아 이후에 다시 설명할 예정입니다. 이런것이 가능하다 정도만 알아두시고 이번퀴즈에서 공부하실때는 제외하세요.

(풀이2)

n = np.linspace(1,15,15)
d = 4
an = d*n-d*7
print(f'{np.sum(1/(an[:5]*an[1:6]))-5/96} --> 이 값이 0이 되도록 해야함')
0.0 --> 이 값이 0이 되도록 해야함

구조를 살펴보니까

\[d \to np.sum(1/(an[:5]*an[1:6]))-5/96\]

와 같은 역할을 하는 함수 \(dff(d)\)를 선언하고 \(dff(d)\)가 0이 되는 \(d\)의 값을 찾으면 된다.

def dff(d):
    an = d*n-d*7
    return np.sum(1/(an[:5]*an[1:6]))-5/96 
d = np.linspace(3,5,101)
plt.plot(list(map(dff,d)))

dff_vector = list(map(dff,d)) 
d[np.argmin(np.abs(dff_vector))]
4.0

따라서 \(d=4\)에서 \(dff(d)=\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{a_k a_{k+1}}-\frac{5}{96}=0\)이 만족한다. 따라서 답은

n = np.linspace(1,15,15)
d = 4
an = d*n-d*7
np.sum(an)
60.0

(풀이1)

f = lambda x: (3*x**4 -3*x)/(x-1)
x = np.linspace(-2,2,1000)
plt.plot(x,f(x),'--')

np.mean(f(x)) *4
16.032032032032035

(풀이2)

f = lambda x: (3*x**4 -3*x)/(x-1)
x = np.linspace(-2,2,1000)
plt.plot(x,f(x),'--')

x_rand = np.random.rand(1000000)*4 - 2  ## -2~2 까지 임의의수가 골고루 퍼져있음. 
np.mean(f(x_rand)) * 4
16.08910128495068

(풀이3)

f = lambda x: (3*x**4 -3*x)/(x-1)
x = np.linspace(-2,2,1000)
delta = x[1]-x[0]
f_arr = f(x)
F_arr = np.cumsum(f_arr) * delta
plt.plot(x,f_arr,label=r'$f(x)$')
plt.plot(x,F_arr,label=r'$\int_{-2}^{x}f(x)dx$')
plt.legend()

F_arr[-1]
16.048080112143815

(풀이)

x = np.linspace(3/4*np.pi, 5/4*np.pi, 101)
y = np.sqrt((1-2*x)*np.cos(x))
plt.plot(x,y)

np.mean(y**2) * 2/4*np.pi
7.4555248716100895
np.sqrt(2)*np.pi-np.sqrt(2), np.sqrt(2)*np.pi-1, 2*np.sqrt(2)*np.pi-np.sqrt(2), 2*np.sqrt(2)*np.pi-1, 2*np.sqrt(2)*np.pi
(3.028669375785271,
 3.442882938158366,
 7.471552313943637,
 7.885765876316732,
 8.885765876316732)

(풀이)

x = np.linspace(1,15,15)
f = lambda x: np.sin(np.pi/4*x)
bool_array = f(2+x)*f(2-x) < 1/4
bool_array
array([False,  True, False, False, False,  True, False, False, False,
        True, False, False, False,  True, False])
x[bool_array] # bool_array에서 True에 해당하는 원소들만 출력됨. 
array([ 2.,  6., 10., 14.])
np.sum(x[bool_array])
32.0

(풀이)

f = lambda x: 1/9*x*(x-6)*(x-9)
# note: 함수g는 t에 따라서 달라짐. t->g(x) 를 구현해주는 함수 make_gfunction 을 만들자. 
def make_gfunction(t):
    def g(x):
        if x<t: 
            return f(x)
        else:
            return -(x-t)+f(t)
    return g
x = np.linspace(0,10,1001)
t = 3.2
g = make_gfunction(t)
fx = list(map(f,x))
gx = list(map(g,x))
plt.plot(x,fx,label=r'$f(x)$',alpha=0.5)
plt.plot(x,gx,label=r'$g(x)$')
plt.title(f"t={t}")
plt.vlines(t,ymin=-2,ymax=7,color='lime',linestyles='dashed')
plt.legend()

#t -> 주황색곡선의 면적이 계산되는 함수 
def cal_area(t):
    #t = 3.2
    g = make_gfunction(t)
    fx = list(map(f,x))
    gx = list(map(g,x))
    Gx = np.cumsum(gx)*0.01 
    S = np.max(Gx)
    return S 
t = np.linspace(0,6,101)[1:-1]
St = list(map(cal_area,t))
plt.plot(t,St,label=r"$S(t)$")
plt.title(f'area = {np.max(St):.4f}')
plt.legend()

125/4, 127/4, 129/4, 131/4, 133/4
(31.25, 31.75, 32.25, 32.75, 33.25)

4. 자료형과 형변환 – 파이썬 문법

- 파이썬의 기본자료형은 int, float, bool, str, list, tuple, dict, set 등이 있다.

  • 0차원 자료형: int, float, bool
  • 1차원 자료형: str, list, tuple, dict, set

A. int, float, bool

- int형

a=100
type(a)
int

- float형

a=1.2*3
a
3.5999999999999996
type(a)
float
a?
Type:        float
String form: 3.5999999999999996
Docstring:   Convert a string or number to a floating point number, if possible.

- bool형

a=True ## 숫자1으로 생각할 수 있음 
b=False ## 숫자0으로 생각할 수 있음
type(a)
bool
type(b)
bool
a?
Type:        bool
String form: True
Docstring:  
bool(x) -> bool
Returns True when the argument x is true, False otherwise.
The builtins True and False are the only two instances of the class bool.
The class bool is a subclass of the class int, and cannot be subclassed.
b?
Type:        bool
String form: False
Docstring:  
bool(x) -> bool
Returns True when the argument x is true, False otherwise.
The builtins True and False are the only two instances of the class bool.
The class bool is a subclass of the class int, and cannot be subclassed.

- bool형의 연산

a=True ## 1
b=False ## 0 
a+b
1
a*b 
0

- 형태변환: float \(\to\) int

(예시1)

a=3.0
type(a)
float
a=int(a)
type(a)
int

(예시2) 이경우는 정보의 손실이 발생

a=3.14 
int(a)
3

- 형태변환: int \(\to\) float

a=3
type(a)
int
a=float(a)
type(a)
float

- 형태변환: bool \(\to\) int/float, int/float \(\to\) bool

(예시1)

a=True
type(a)
bool
int(a)
1
float(a)
1.0

(예시2)

a=1 
bool(a)
True
a=0
bool(a)
False

(예시3)

a=1.0
bool(a)
True
a=0.0
bool(a)
False

B. 1차원 자료의 형태변환

- list \(\to\) np.array

[1,2,3]
[1, 2, 3]
np.array([1,2,3])
array([1, 2, 3])

- np.array \(\to\) list

np.linspace(1,10,10)
array([ 1.,  2.,  3.,  4.,  5.,  6.,  7.,  8.,  9., 10.])
list(np.linspace(1,10,10))
[1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0]

- range \(\to\) list, np.array

range(10) # 이게 뭐야??
range(0, 10)
list(range(10)) # 리스트화 
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
np.array(range(10)) # 넘파이배열화
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

보충학습: range의 다양한 활용을 익혀보자.

list(range(10))
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
list(range(0,10))
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
list(range(3,10))
[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
list(range(3,10,2))
[3, 5, 7, 9]

- map 결과물 \(\to\) list

f = lambda x: x**2
list(map(f,[1,2,3])) # [f(1),f(2),f(3)]
[1, 4, 9]

- map 결과물 \(\to\) np.array로는 불가능

f = lambda x: x**2
np.array(map(f,[1,2,3]))
array(<map object at 0x7f3a09e887f0>, dtype=object)
# 아래는 가능 
f = lambda x: x**2
np.array(list(map(f,[1,2,3])))
array([1, 4, 9])

5. 등차수열을 선언하는 다양한 방법 – 파이썬 문법

아래와 같은 등차수열을 만드는 방법을 살펴보자.

\[1,4,7,\dots,31 \]

np.linspace(1,31,11)
array([ 1.,  4.,  7., 10., 13., 16., 19., 22., 25., 28., 31.])
list(range(1,32,3))
[1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31]
np.array(range(1,32,3))
array([ 1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31])
np.arange(1,32,3)
array([ 1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31])
# len(np.arange(1,32,3)) # 원소의 수는 11
n = np.arange(1,12)
3*n-2
array([ 1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31])
a = lambda n: 3*n-2
a(1),a(2),a(3),a(4),a(5),a(6),a(7),a(8),a(9),a(10),a(11)
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31)
n = np.arange(1,12)
a = lambda n: 3*n-2
a(n)
array([ 1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31])
n = np.arange(1,12)
a = lambda n: 3*n-2
list(map(a,n))
[1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31]
n = np.arange(32)
n[1::3]
array([ 1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31])

6. \(\text{map}(f,{\bf x})\) – 파이썬 문법

- 브로드캐스팅은 매우 편리한 기능임

f = lambda x: x+1 
arr = np.array([1,2,3])
f(arr)
array([2, 3, 4])

- 불가능한 경우도 있음 (1)

f = lambda x: np.max(x) - np.min(x)
x1 = [1,2,3]
x2 = [2,3]
x3 = [3,3,4,5,5,6] 
f(x1),f(x2),f(x3)
(2, 1, 3)
list(map(f,[x1,x2,x3]))
[2, 1, 3]

- 불가능한 경우도 있었음 (2)

def dff(d):
    n = np.linspace(1,15,15)
    an = d*n-d*7
    return np.sum(1/(an[:5]*an[1:6]))-5/96 
d = 1
dff(d)
0.78125

이게 되는이유?

d = 1 
n = np.linspace(1,15,15)
an = d*n-d*7
np.sum(1/(an[:5]*an[1:6]))-5/96 
0.78125
d = np.array([1,2,3])
dff(d)
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,) (15,)

이게 안되는 이유?

d = np.array([1,2,3])
n = np.linspace(1,15,15)
an = d*n-d*7
np.sum(1/(an[:5]*an[1:6]))-5/96 
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,) (15,)

- 그동안 가능했던 이유

def f(x):
    return x+1
x=5
x+1
6
x=np.array([5,6])
x+1
array([6, 7])

요약: 어떠한 함수가 원소별로 각각 적용은 가능하지만 한번에 적용 (브로드캐스팅) 은 불가능할때 map은 매우 강력한 도구이다.

7. Bool을 이용한 인덱싱 – 파이썬 문법

- 기본개념

arr = np.array([1,-2,3,44])
arr[[True,False,True,True]]
array([ 1,  3, 44])

- 응용 1 – 양수만 출력

arr = np.array([1,-2,3,44])
arr[arr>0] 
array([ 1,  3, 44])

- 응용 2 – 짝수만 출력

arr = np.array([1,-2,3,44])
arr[arr % 2 == 0]
array([-2, 44])

보충학습: 아래의 테크닉도 알아둘것

- 예시1 – 양수를 카운트

arr = np.array([1,-2,3,44])
sum(arr>0)
3

- 예시2 – 짝수를 카운트

arr = np.array([1,-2,3,44])
sum(arr % 2 == 0)
2

8. if문 – 파이썬 문법

- 예시1

def f(x):
    if x>0:
        return x
    else:
        return -x 
x = np.linspace(-10,10,101)
fx = np.array(list(map(f,x)))
plt.plot(x,fx)

- 예시2

def f(x):
    return x if x>0 else -x 
x = np.linspace(-10,10,101)
fx = np.array(list(map(f,x)))
plt.plot(x,fx)

- 예시3

f = lambda x: x if x>0 else -x 
x = np.linspace(-10,10,101)
fx = np.array(list(map(f,x)))
plt.plot(x,fx)

9. np.random 모듈 – 파이썬 문법

A. np.random.rand()

- 0~1 사이에서 10개의 난수생성

np.random.rand(10)
array([0.43345371, 0.48324862, 0.48046707, 0.41056049, 0.56188841,
       0.58762904, 0.6645858 , 0.60568829, 0.83033841, 0.4660302 ])

- 0~2 사이에서 10개의 난수생성

np.random.rand(10)*2
array([0.44894259, 1.8416822 , 0.50164259, 1.01601855, 0.21073439,
       1.8049244 , 0.86548008, 0.38544391, 0.13816874, 1.22858088])

- 1~3 사이에서 10개의 난수생성

np.random.rand(10)*2 + 1
array([1.58013021, 1.96358901, 2.62137695, 1.74617053, 2.38021729,
       1.00043864, 1.42801985, 1.65666288, 2.80405753, 1.23691426])

B. np.random.randn()

- N(0,1)에서 10개의 난수생성

np.random.randn(10) # 표준정규분포에서 10개의 샘플 추출 
array([-0.88043002, -0.75000612, -0.46393189,  0.73721724, -0.66208613,
        0.84740615, -0.31835775,  0.60157946,  0.62744116,  2.06223706])

- N(1,1)에서 10개 난수생성

np.random.randn(10) + 1
array([ 1.50801901,  0.06945884,  2.52305677,  0.25080242, -0.25058225,
        1.81696343, -0.47341629,  0.51879014,  2.55038708,  0.58788704])

- N(0,4) 에서 10개 난수생성

np.random.randn(10)*2
array([-2.26593271, -1.62304968, -1.71372316,  2.93723947,  0.63497107,
        2.96605112,  0.71536533,  2.64037886,  0.10782247, -2.97822434])

- N(3,4) 에서 10개 난수생성

np.random.randn(10)*2+3 
array([ 3.71923104,  1.77496469,  4.04116354,  4.27443252,  2.59130929,
        5.48551961, -1.09164073,  3.08090641,  0.88721243,  3.34579357])

C. np.random.randint()

- [0,7) 에서 10개의 정수생성

np.random.randint(0,7,size=10) # [0,7)의 범위에서 10개의 정수 생성 
array([0, 1, 5, 0, 2, 3, 1, 3, 0, 5])

- [10,20) 에서 10개의 정수생성

np.random.randint(10,20,size=10) # [0,7)의 범위에서 10개의 정수 생성 
array([11, 10, 10, 19, 13, 11, 11, 11, 15, 19])

D. np.random.choice()

- [11,22,33] 에서 중복허용하여 20개 추출

np.random.choice([11,22,33],20) 
array([33, 33, 11, 33, 11, 11, 33, 22, 11, 33, 33, 33, 22, 33, 11, 11, 22,
       22, 33, 22])

- [11,22,33] 에서 중복허용하여 3개 추출

np.random.seed(4)
np.random.choice([11,22,33],3) 
array([33, 33, 22])
np.random.seed(5)
np.random.choice([11,22,33],3) 
array([33, 22, 33])

- [11,22,33] 에서 중복허용하지 않고 3개 추출

np.random.choice([11,22,33],3,replace=False) 
array([22, 33, 11])

10. 함수를 리턴하는 함수 – 파이썬 문법

- 예제1: \((P,Q)\)를 입력으로 받아, 기울기가 2이고 점 \((P,Q)\)를 지나는 함수를 리턴하는 함수를 구현하라.

def make_func(p,q):
    def func(x):
        return 2*(x-p)+q
    return func
x = np.linspace(-5,5,101)
p,q = 2,3
f = make_func(p,q)
plt.plot(x,f(x),'--')
plt.plot([p],[q],'x')

- 예제2: \(f(x)=x^2\) 위의 임의의 점을 입력하면 접선을 리턴하는 함수를 구현하라.

def make_func(x0):
    f = lambda x: x**2
    def func(x):
        h = 0.0001
        a = (f(x0+h)-f(x0))/h 
        return a*(x-x0) + f(x0)
    return func
x = np.linspace(-5,5,101)
tan_line = make_func(1.2)
plt.plot(x,x**2,'--')
plt.plot(x,tan_line(x),'--')