중간고사 (2025.10.28)

1. 바늘이 하나 있는 시계 – 20점

우리는 단순한 시계 하나를 생각해볼 수 있다. 이 시계에는 바늘이 하나 있고, 이 바늘을 무작위로 돌렸을 때, 바늘이 시계에서 어떤 위치에 멈추게 될 확률을 계산하는 상황을 상상해보자.

여기서 시계의 위치를 각도로 나타낸다. 시계의 각도는 \(0\)에서 \(2\pi\) 사이로 표현된다. 즉, 시계바늘이 12시를 가리킬 때는 각도가 \(0\)이고, 시계바늘이 시계 방향으로 6시를 가리킬 때는 각도가 \(\pi\)이다. 이 문제에서 전체 각도 공간을 sample space \(\Omega\)로 정의한다. \(\Omega = [0, 2\pi)\)는 시계의 모든 각도를 나타내는 구간이다.

시계바늘이 \(0\)부터 \(2\pi\) 사이의 각도를 랜덤하게 가리킨다고 가정할 때, 우리는 특정 각도 범위 \(\Omega^*\)에 바늘이 있을 확률을 아래와 같이 계산할 수 있다.

\[ P(\Omega^*) = \frac{m(\Omega^*)}{2\pi} \]

여기에서 \(m\)는 길이를 재는 함수이다. 길이를 재는 함수 \(m\)에 대하여 아래와 같은 약속을 하자.

• 약속1: 구간 \((a,b)\)의 길이는 \(b-a\)이다. 즉 \(m((a,b))=b-a\) 이다.
• 약속2: 한 점의 길이는 0이다.
• 약속3: 점을 무한히 합치면 선이 되는것 처럼, 점의 길이를 무한히 합치면 0이 아니라 0보다 큰 어떠한 수가 된다.
• 약속4: 구간 \((a,b)\)사이의 모든 무리수의 길이는 \(b-a\)이다.

이와 같은 방식으로 길이를 잰다면 확률을 정의함에 있어서 모순이 일어나지 않는가? 모순이 일어나지 않으면 모순이 없다고 답을 쓰고 모순이 일어난다면 모순이 일어나는 이유를 설명하라.

(풀이)

구간 \((a,b)\)사이의 모든 무리수의 길이는 \(b-a\)라는 것은 구간 \((a,b)\)사이의 모든 유리수의 길이가 \(0\)이라는 의미가 된다. 그런데 이것은 약속3에 모순이 된다.

2. 수학과의 표현 – 20점

아래가 의미하는 바를 한국어로 풀어 작성하라. (의역도 정답으로 인정)

(1) \(\forall n,m \in \mathbb{N}: n+m \in \mathbb{N}\).

(풀이)

두 자연수를 더한 결과는 항상 자연수이다.

(2) \(\forall a \in \mathbb{N}: \exists b \in \mathbb{Z}\) such that \(a+b=0\).

(풀이)

모든 자연수 \(a\)는 덧셈에 대한 역원 \(b\)를 정수범위에서 가진다.

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아래를 만족하는 함수 \(f:X \to Y\)가 어떠한 함수인지 판단하라.

전사, 단사, 전단사중 하나를 답으로 쓰면 됩니다.

(3) \(\forall x, x' \in X, f(x)=f(x') \Longrightarrow x=x'\)

(풀이)

단사함수

(4) \(\forall y \in Y, \exists x \in X\) such that \(y=f(x)\)

(풀이)

전사함수

3. 유리수의 카디널리티 – 20점

자연수와 \([0,1]\cap \mathbb{Q}\)¹의 카디널리티가 동일함을 보여라. (단, 이 문제에서 \(|\mathbb{Q}|=\aleph_0\) 임은 모른다고 가정)

¹ 구간 \([0,1]\)사이의 유리수

(풀이)

\(Q=[0,1]\cap \mathbb{Q}\) 라고 정의하자. \(f(n)=\frac{1}{n}\)이라면 \(f\)는 \(\mathbb{N} \to Q\)인 단사함수이다. 이제 아래와 같은 무한집합을 생각하자.

\[\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots,\}=\{\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\dots\}\]

함수 \(a(n)=a_n\)은 \(\mathbb{N}\to Q\)인 전사함수가 된다. 따라서 \(\mathbb{N}\)와 \(Q\)의 카디널리티는 동일하다.

4. 실수의 카디널리티 – 20점

자연수집합 \(\mathbb{N}\)에서 \([0,1]\)로의 전사함수가 존재하지 않음을 보여라.

(풀이)

생략

5. 카디널리티와 전단사함수 – 20점

(1) 자연수집합 \(\mathbb{N}\)과 3의배수의 집합 \(\{3,6,9,\dots\}\)의 카디널리티를 비교하고, 두 집합의 카디널리티가 서로 다른지 또는 같은지를 판단한 뒤, 그 이유를 설명하라.

(풀이)

\(f(n)=3n\)은 자연수집합에서 3의배수의 집합으로가는 전단사함수이므로 두 집합의 카디널리티는 동일하다.

(2) 구간 \([0,1]\)과 \([0,2]\)의 카디널리티를 비교하고, 두 집합의 카디널리티가 서로 다른지 또는 같은지를 판단한 뒤, 그 이유를 설명하라.

(풀이)

\(f(x)=2x\)은 \([0,1] \to [0,2]\)인 전단사함수이므로 두 집합의 카디널리티는 동일하다.

(3) 함수 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)가 \(f(x)=x^2\)로 정의되어 있을 때, 이 함수가 전사함수인지 아닌지 단사함수인지 아닌지 판단하고 그 근거를 설명하라.

(풀이)

\(f(-1)=f(1)=1\) 이므로 단사가 아니고, \(f(x)=-1\)에 대응하는 \(x\)가 \(\mathbb{R}\)에 존재하지 않으므로 전사가 아니다.

(4) 함수 \(f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+\)가 \(f(x)=\sqrt{x}\)로 정의되어 있을 때, 이 함수가 전사함수인지 아닌지 단사함수인지 아닌지 판단하고 그 근거를 설명하라. (단, \(\mathbb{R}^+\)는 양의실수의 집합이다)

(풀이)

\(x_1 \neq x_2\)일때 항상 \(\sqrt{x_1}\neq \sqrt{x_2}\)이므로 단사이며, 모든 \(y\in \mathbb{R}^+\)에 대하여 \(f(x)=y\)를 만족하는 \(x=y^2\)가 항상 존재하므로 전사이다.