13wk-1: 연습문제 (1)

역확률

1. 다음은 08wk-1의 엑스노트 광고에 대한 진술이다.

그림1: 엑스노트 X300의 광고

1. 신민아가 고층빌딩에서 엑스노트를 벽면유리에 테잎을 붙여 프리젠테이션을 하고 있다.
2. 젋은여성이 노트북을 활용하여 프리젠테이션을 하고 있다.
3. 여성이 프리젠테이션을 하고 있다.

아래는 위의 그림(예제1)을 통해 통계학적 개념의 혼란을 논의하는 학생들의 대화이다. 피셔(R. A. Fisher)의 이론에 근거했을 때, 적절한 진술을 모두 고르시오.

• 학생 A: 광고 그림(데이터)이 주어졌을 때, ’신민아가 엑스노트를 활용해 프리젠테이션을 하고 있다’는 진술(1번)이 ’여성이 프리젠테이션을 하고 있다’는 진술(3번)보다 훨씬 더 구체적으로 관찰된 사실을 묘사하고 있어. 따라서 1번 진술이 가장 정확한 설명이라고 생각해.
• 학생 B: 설명의 ’정확성’과 ’확률’은 구분해야 해. 우리가 그림이 참일 ’확률’을 따진다면, 가장 범위가 넓고 포괄적인 3번 진술이 참일 확률이 가장 높지. 1번 진술이 참이 되기 위해서는 신민아, 고층빌딩, 엑스노트 등 모든 구체적인 조건이 맞아야 하니까 확률은 가장 낮아.
• 학생 C: 나는 A와 B의 주장이 충돌하는 이유가 피셔가 지적한 확률에 대한 혼란 때문이라고 봐. 이 예제에서 우리는 이미 데이터의 세계에 해당하는 그림을 관측한 상태인데, 그 상황에서 ’참일 확률이 높은 진술’을 묻는 질문 자체가 잘못된 방향성을 내포하고 있어.
• 학생 D: C의 말대로, 피셔는 ’진실의 세계’에서 ’데이터의 세계’로 넘어갈 때만 “확률”이라는 개념이 적용되어야 한다고 생각했어. 이 예시처럼 데이터가 고정된 상황에서 그 데이터를 만들어냈을 ’진실’이나 ’모델’에 대해 확률을 부여하는 것은 적절하지 않아.

2. 다음은 베르누이 시행의 관측치 \((x_i)\)를 통해 모수를 해석하는 과정에서 학생들이 나눈 대화이다. \(X_1, X_2, X_3 \overset{i.i.d.}{\sim} B(0.5)\)가 주어져 있으며, 실제 관측값은 \((0, 1, 0)\)이다. 피셔(R. A. Fisher)의 관점에 의하여, 확률 개념 적용의 오류를 가장 잘 비판하고 있는 진술을 고르시오.

• 학생 A: 우리가 얻은 관측치 \((0,1,0)\)을 보면, 동전이 공평하다는 가정 \(p = 0.5\)가 틀렸을 확률이 얼마나 되는지 계산해야 하지 않을까?
• 학생 B: 피셔의 통찰에 따르면, 확률은 진실의 세계가 주어졌을 때 관측 데이터가 나타날 가능성을 측정하는 데 사용해야 한다. 따라서 \(p = 0.5\)가 참이라면, 관측치 \((0,1,0)\)이 나올 확률은 \(0.5 \times 0.5 \times 0.5 = \frac{1}{8}\).
• 학생 C: B의 설명이 맞다면, A처럼 ’진실세계의 정보가 틀렸을 확률’을 묻는 것은 확률의 방향성을 거꾸로 적용하는 셈이다.
• 학생 D: 난 A의 말이 더 자연스러운 것 같아. 이미 데이터를 봤으니까, 이 데이터를 기준으로 \(p\)가 0.5가 아닐 확률도 당연히 계산할 수 있어야 하지 않을까?

평균과 평균?

문제 배경: 피셔(R. A. Fisher)는 통계학의 기본적인 혼란이 용어가 불분명해서 발생한다고 지적했으며, 특히 참값과 도출된 특정 값에 같은 이름을 붙이는 관습을 비판했다.

1. 피셔가 같은 이름을 사용하는 관습이 혼란을 야기한다고 지적한 통계적 쌍은 다음 중 무엇인가?

• A: 확률변수 \(X\)와 확률분포 \(P\)
• B: 모수와 추정치
• C: 독립 (Independence)과 동일한 분포 (Identically Distributed)
• D: 실현치 (Realization)와 관측 행위 (Observation)

2. 어떤 확률변수 \(X\)가 성공 확률 \(p=0.5\)인 베르누이 분포(\(X \sim \text{Bernoulli}(0.5)\))를 따른다고 가정하자. 여기서 \(X\)는 성공(1) 또는 실패(0)의 결과를 숫자로 대응시키는 함수이다. 이 확률변수 \(X\)의 모평균 \(\mathbb{E}(X)\) (기댓값)은 얼마인가?

3. 1의 분포를 따르는 시행을 5번 반복하여 \(\{0, 1, 0, 0, 1\}\)이라는 구체적인 실현치(\(x_1, \dots, x_5\))를 얻었다고 하자. 이 관측값들의 산술평균인 표본평균 \(\bar{x}\)은 얼마인가?

4. 다음 중 통계학에서 모수의 성격을 가장 정확하게 설명하는 진술은 무엇인가?

• A: 관측치들의 산술평균으로, 표본에서 실제로 계산되는 값이다.
• B: 추정 방법을 통해 도출된 특정 값이다.
• C: 모집단의 분포를 특정하며, 알고 싶지만 오직 추정만 할 수 있는 참값이다.
• D: 확률변수를 관측하여 얻은 구체적인 실제값(실현치)들의 집합이다.

5. 성공 확률 \(p=0.5\)인 베르누이 분포 \(X \sim Bernoulli(0.5)\)가 있다고 가정하자. 5번의 시행을 통해 관측값 \(\{0,1,0,0,1\}\)을 얻었을 때, 모평균 \(E(X)\)와 이 관측값들의 표본평균 \(\bar{x}\)에 대한 설명으로 옳은 것은?

• A: 모평균은 0.5이며 (모수), 표본평균은 0.4이다 (추정치).
• B: 모평균은 0.4이며, 표본평균은 0.5이다.
• C: 모평균과 표본평균은 같은 개념이므로 항상 0.5로 일치해야 한다.
• D: 모평균 \(E(X)\)는 표본평균 \(\bar{x}\)를 추정하기 위해 사용되는 참값이다.

6. 다음문항의 참/거짓을 판단하라.

• 모수는 표본에서 계산된 값이고, 추정치는 모집단의 참값이다.
• 데이터에서 계산한 평균값은 모수이다.
• \(X \sim \text{Bernoulli}(0.5)\)에서 한 번 시행하여 얻은 값 1은 실현치이다.
• 실현치는 시행할 때마다 달라질 수 있지만, 확률변수의 분포는 변하지 않는다.
• CSV 파일에 저장된 키 데이터 168, 175, 182는 확률변수의 실현치로 볼 수 있다.
• 표본평균은 분포를 모르더라도 구할 수 있다.
• 표본평균과 모평균은 항상 같은 값을 가진다.
• 동일한 분포에서 서로 다른 표본을 추출하면, 각 표본의 표본평균은 서로 다를 수 있다.
• 모평균 \(\mathbb{E}(X)\)를 계산하려면 반드시 관측 데이터가 필요하다.
• 추정치는 표본이 달라지면 함께 달라지지만, 모수는 고정된 값이다.
• 모평균을 알면 표본평균도 자동으로 알 수 있다.
• 동전을 100번 던져 앞면이 48번 나왔다면, 48/100은 앞면이 나올 확률 \(p\)의 추정치이다.
• 추정치가 모수와 다르다면 추정 방법이 잘못된 것이다.