02wk-1: 수학과의 표현, 귀류법과 일반화

최규빈

2025-09-09

강의영상

수학과의 표현: (1) 기호

- 아래와 같은 기호들의 의미를 알고 있는가?

\(\because\)
\(\therefore\)

- 이처럼 수학에서는 특별한 의미를 가지는 몇 가지 기호가 있다.

- 아래는 특별한 의미를 가지는 수학기호들의 모음이다.

언어	기호
for all	∀
exists	∃
such that, satisfying	s.t., st
if-then, implies	⇒
if and only if	⇔
quod erat	□, ■

# 예시1: 아래의 문장

“모든 실수 \(x\)에 대하여, \(x^2\)은 양수이다.”

을 다양하게 표현하여 보자.

(언어)

for any \(x\) in \(\mathbb{R}\), \(x^2 \geq 0\).
for arbitrary \(x \in \mathbb{R}\), \(x^2 \geq 0\).
if \(x \in \mathbb{R}\), then \(x^2 \geq 0\).

(기호)

\(\forall x \in \mathbb{R}\): \(x^2\geq 0\).
\(\forall x \in \mathbb{R}\), \(x^2\geq 0\).
\(x^2 \geq 0\), for all \(x \in \mathbb{R}\).
\(x^2 \geq 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
\(x \in \mathbb{R} \Rightarrow x^2 \geq 0\).

어떻게 쓰느냐에 대한 규칙은 없음. 거의 쓰는 사람 마음임. (그런데 뉘앙스는 조금씩 다름)

#

# 예시2: 이번에는

“\(\Omega\)의 임의의 부분집합 \(A\),\(B\)에 대하여, \(A=B\) 일 필요충분조건은 \(A\subset B\) 이고 \(B \subset A\) 이어야 한다.”

라는 문장을 다양하게 표현하여 보자.

(언어)

For all \(A,B \subset \Omega\), \(A=B\) if and only if (1) \(A \subset B\) and (2) \(B \subset A\).
Consideer \(A,B \subset \Omega\). \(A=B\) if and only if (1) \(A \subset B\) and (2) \(B \subset A\).

(기호)

\(A = B \Leftrightarrow A \subset B \text{ and } B \subset A, \forall A,B \in \Omega\).
\(A = B \Leftrightarrow \big(A \subset B \text{ and } B \subset A\big), \forall A,B \in \Omega\).
\(\forall A,B \subset \Omega\): \(A = B \Leftrightarrow \big(A \subset B \text{ and } B \subset A\big)\)

의미가 좀 모호해질수도 있는데, “눈치껏” 알아 먹어야 한다.

#

# 예시3: 이번에는

“임의의 양수 \(\epsilon>0\) 에 대하여 \(|x| \leq \epsilon\) 이라면 \(x=0\) 일 수 밖에 없다.”

라는 문장을 표현해보자.

(언어)

If \(|x|< \epsilon\) for all \(\epsilon>0\), then \(x=0\).
If \(|x|< \epsilon\), \(\forall \epsilon>0\), then \(x=0\).
For all \(\epsilon>0\), \(|x|< \epsilon\) implies \(x=0\). – 틀린표현

(기호)

\(|x| < \epsilon,~ \forall \epsilon>0 \Rightarrow x=0\)
\(\forall \epsilon>0: |x| < \epsilon \Rightarrow x=0\) – 애매하다?
\(\big(\forall \epsilon>0:|x| < \epsilon\big) \Rightarrow x=0\)
\(\big(\forall \epsilon>0\big)\big(|x| < \epsilon \Rightarrow x=0\big)\) – 틀린표현

수학과의 표현: (2) 약어

- 약어

\({\sf WLOG}\): Without Loss Of Generality
\({\sf WTS}\): What/Want To Show
\({\sf iff}\): if and only if
\({\sf Q.E.D.}\): 증명완료 (쓰지마..)
\({\sf LHS}\): Left Hand Side
\({\sf RHS}\): Right Hand Side

수학과의 표현: (3) 수의 집합

- 수학과에서는 수의 집합에 대한 약속된 기호가 있다.

실수전체의 집합을 \(\mathbb{R}\)로 표현한다.
자연수전체의 집합을 \(\mathbb{N}\)으로 표현한다.
정수전체의 집합을 \(\mathbb{Z}\)로 표현한다.
유리서전체의 집합을 \(\mathbb{Q}\)로 표현한다.

Important

\(\infty\)는 수가 아니다.

\(\{-\infty,\infty\} \not\subset \mathbb{R}\)
\(\infty \notin \mathbb{N}\)

아무리봐도 숫자라고 생각한다면 아래의 예시를 보라.

# 예시 – 아래 문장의 참 거짓을 판별하라.

\(\forall n \in \mathbb{N}\): \(0 < \frac{1}{n} \leq 1\)

(답변)

참이다. (하지만 \(\infty \in \mathbb{N}\) 을 가정한다면 이것이 참이라고 주장하기 애매하겠지)

#

- \(\infty\)는 숫자가 아니지만 편의상 \(\infty\)를 수처럼 생각하여 아래와 같은 집합기호로 표현하기도 한다.

\[\bar{\mathbb{R}}:=\mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\}\]

여기에서 “\(:=\)”는 “정의한다” 라는 의미를 가진다.

귀류법

- 귀류법: 니 논리 대로면… <- 인터넷 댓글에 많음..

Note

님 논리대로면.. (ref: 하이브레인넷)

XXX가 문제 없으면 서울 전체가 문제가 없고 (애초에 서울은 문제도 아니라는데 왜 이소리는 하고 계신지 모르겠지만)
수도권 모 대학이 문제가 없으면 전체가 문제가 없겠네요?
지방도 1개 대학이 문제가 없으니 전체가 문제 없겠네요? 와우! 모든 문제가 해결되었습니다! 출산율 감소로 인한 한국대학의 위기가 해결되었.. 아니 애초에 위기가 없었군요!. 어휴.. ㅠㅠ

- 섀도복싱

상대가 없는 허공에 대고 샌드백 없이 권투 연습을 하는 것. https://www.youtube.com/embed/dvzTKtMHsJw
인터넷 상에서는 혼자서 허공에 대고 공격한다는 의미로 사용되고 있음. 어휘의 원래 뜻과 마찬가지로 아무도 뭐라 하지 않았는데 혼자 가상의 공격 상대를 만들어 놓고 비판하거나 욕하는 모습을 표현할 때 많이 쓰임. (출처: 나무위키)

기습질문 (지난시간의 난제) 바늘이 하나있는 시계에서, 바늘을 랜덤으로 돌려서 딱 6시에 멈출 확률이 0이어야 하는 이유?

(풀이)

추상화(일반화)

- 연필이란? 필기도구의 하나. 흑연과 점토의 혼합물을 구워 만든 가느다란 심을 속에 넣고, 겉은 나무로 둘러싸서 만든다. 1565년에 영국에서 처음으로 만들었다. (출처: 네이버국어사전)

질문: 아래는 연필인가?

Figure: 애플펜슬..

새로운 개념을 적용해야하는 어떠한 일이 있을때, 사람들은 익숙한 정의에서 확장을 하기를 원한다. 확장을 하는 방식은 익숙한 정의에 의해 파생되는 성질을 이용하여 (혹은 성질들을 조합하여), “마치 정의처럼” 쓰는 것이다.
수학에서는 약속에 의하여 성질이 생기고, 그 성질로부터 확장된 약속이 생기는 것은 매우 흔한일이다.