중간고사 (2025.10.28)

8주차강의는 중간고사 해설로 대체하겠습니다

1. 바늘이 하나 있는 시계 – 10점

우리는 단순한 시계 하나를 생각해볼 수 있다. 이 시계에는 바늘이 하나 있고, 이 바늘을 무작위로 돌렸을 때, 바늘이 시계에서 어떤 위치에 멈추게 될 확률을 계산하는 상황을 상상해보자.

여기서 시계의 위치를 각도로 나타낸다. 시계의 각도는 \(0\)에서 \(2\pi\) 사이로 표현된다. 즉, 시계바늘이 12시를 가리킬 때는 각도가 \(0\)이고, 시계바늘이 시계 방향으로 6시를 가리킬 때는 각도가 \(\pi\)이다. 이 문제에서 전체 각도 공간을 sample space \(\Omega\)로 정의한다. \(\Omega = [0, 2\pi)\)는 시계의 모든 각도를 나타내는 구간이다.

시계바늘이 \(0\)부터 \(2\pi\) 사이의 각도를 랜덤하게 가리킨다고 가정할 때, 우리는 특정 각도 범위 \(\Omega^*\)에 바늘이 있을 확률을 아래와 같이 계산할 수 있다.

\[ P(\Omega^*) = \frac{m(\Omega^*)}{2\pi} \]

여기에서 \(m\)는 길이를 재는 함수이다. 길이를 재는 함수 \(m\)에 대하여 아래와 같은 약속을 하자.

• 약속1: 구간 \((a,b)\)의 길이는 \(b-a\)이다. 즉 \(m((a,b))=b-a\) 이다.
• 약속2: 한 점의 길이는 0이다.
• 약속3: 점을 무한히 합치면 선이 되는것 처럼, 점의 길이를 무한히 합치면 0이 아니라 0보다 큰 어떠한 수가 된다.
• 약속4: 구간 \((a,b)\)사이의 모든 무리수의 길이는 \(b-a\)이다.

이와 같은 방식으로 길이를 잰다면 확률을 정의함에 있어서 모순이 일어나지 않는가? 모순이 일어나지 않으면 모순이 없다고 답을 쓰고 모순이 일어난다면 모순이 일어나는 이유를 설명하라.

(풀이)

구간 \((a,b)\)사이의 모든 무리수의 길이가 \(b-a\)라는 것은 구간 \((a,b)\)사이의 모든 유리수의 길이가 0임을 의미하므로 이는 약속3에 모순이 된다.

2. 수학과의 표현 – 10점

아래가 의미하는 바를 한국어로 풀어 작성하라. (의역도 정답으로 인정)

(1) \(\forall n,m \in \mathbb{N}: n+m \in \mathbb{N}\).

답: 두 자연수의 합은 항상 자연수이다.

(2) \(\forall a \in \mathbb{N}: \exists b \in \mathbb{Z}\) such that \(a+b=0\).

답: 모든 자연수는 정수영역에서 덧섬에 대한 역원을 가진다.

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아래를 만족하는 함수 \(f:X \to Y\)가 어떠한 함수인지 판단하라.

전사, 단사, 전단사중 하나를 답으로 쓰면 됩니다. (답만 쓰면 됩니다)

(3) \(\forall x, x' \in X, f(x)=f(x') \Longrightarrow x=x'\)

답: 단사

(4) \(\forall y \in Y, \exists x \in X\) such that \(y=f(x)\)

답: 전사

3. 유리수의 카디널리티 – 10점

자연수와 \([0,1]\cap \mathbb{Q}\)¹의 카디널리티가 동일함을 보여라. (단, 이 문제에서 \(|\mathbb{Q}|=\aleph_0\) 임은 모른다고 가정)

¹ 구간 \([0,1]\)사이의 유리수

(풀이)

편의상 \(Q=[0,1]\cap \mathbb{Q}\)라고 하자.

1. \(f(x)=\frac{1}{x}\)는 \(\mathbb{N} \to Q\)인 단사함수이다.
2. 집합 \(\{a(1),a(2),a(3),a(4),a(5)\dots\}=\{\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\dots\}\)을 고려하자. \(a(n)\)은 \(\mathbb{N} \to Q\)인 전사함수이다.

따라서 \(Q\)와 \(\mathbb{N}\)의 카디널리티는 동일하다.

4. 실수의 카디널리티 – 10점

자연수집합 \(\mathbb{N}\)에서 \([0,1]\)로의 전사함수가 존재하지 않음을 보여라.

(풀이) – 생략. 강의노트 참고

5. 카디널리티와 전단사함수 – 10점

(1) 구간 \([0,1]\)과 \([0,2]\)의 카디널리티를 비교하고, 두 집합의 카디널리티가 서로 다른지 또는 같은지를 판단한 뒤, 그 이유를 설명하라.

(2) 함수 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)가 \(f(x)=x^2\)로 정의되어 있을 때, 이 함수가 전사함수인지 아닌지 단사함수인지 아닌지 판단하고 그 근거를 설명하라.

(풀이)

(1) \(f(x)=2x\)는 \([0,1] \to [0,2]\)에서의 전단사함수이므로 두 구간의 카디널리티는 같다.

(2) \(f(-1)=f(1)\)이므로 단사가 아니며, \(f(x)=-1\)에 대응하는 \(x\)가 존재하지 않으므로 전사가 아니다.

6. 시그마필드 – 10점

\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심이 있는 확률은 \(\mathbb{P}(\{1,3\})\), \(\mathbb{P}(\{2,4\})\) 밖에 없다고 하자. 이러한 확률들이 무모순으로 정의되기 위한 최소한의 시그마필드 \({\cal F}\)를 정의하라. – 10점

(풀이)

\[\{\emptyset,\{1,3\}, \{2,4\},\Omega\}\]

7. 조건의 정리 – 10점

\(\Omega\)의 부분집합 중 잴 수 있는 집합들의 모임 \({\cal F}\)은 아래의 조건을 만족한다고 하자.

1. \({\cal F}\neq \emptyset\)
2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
3. \(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\)
4. \(\begin{cases} \forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \\ \forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ A_m \cap A_k = \emptyset\end{cases} \Rightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} A_n \in {\cal F}\)

아래를 보여라. (모두 맞출 경우만 정답으로 인정)

(1) \({\cal F}\)가 전체집합을 포함함을 보여라.

(풀이) \({\cal F}\neq \emptyset\) 이라고 하였으므로, 적어도 하나의 원소는 \({\cal F}\)에 소속된다. 그 원소를 \(A\)라고 하자. \(A \in {\cal F}\)이라면 \(A^c \in {\cal F}\)이고 (조건2), \(A\cup A^c =\Omega \in {\cal F}\)이다(조건4).

(2) \({\cal F}\)가 차집합에 닫혀있음을 보여라.

(풀이) \(A-B = A \cap B^c\)이고 집합 \({\cal F}\)는 교집합과 여집합에 닫혀있으므로 (조건2,조건3) 차집합에 닫혀있다.

(3) \({\cal F}\)가 합집합에 닫혀있음을 보여라.

(풀이) \(A\cup B = (A^c \cap B^c)^c\)이고 집합 \({\cal F}\)는 교집합과 여집합에 닫혀있으므로 (조건2,조건3) 합집합에 닫혀있다.

8. 확률측도와 측도 – 10점

\(\Omega = \{H,T\}\)에 대한 시그마필드 \({\cal F}=\{\emptyset, \{H\}, \{T\},\Omega\}\)를 고려하자.

(1) 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)에서 확률측도의 정의를 만족하는 함수 \(f: \Omega \to [0,1]\)를 제시하라.

(풀이)

• \(f(\emptyset) =0\)
• \(f(\Omega) =1\)
• \(f(\{H\}) = \frac{1}{2}\)
• \(f(\{T\}) =\frac{1}{2}\)

(2) 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)에서 측도의 정의를 만족하지만 확률측도의 정의를 만족하지 않는 함수 \(f: \Omega \to [0,\infty]\)를 제시하라. 단 아래의 함수를 제시할 경우 정답으로 인정하지 않음.

• \(f(\emptyset)=0\)
• \(f(\{H\})=0\)
• \(f(\{T\})=0\)
• \(f(\Omega)=0\)

(풀이)

• \(f(\emptyset)=0\)
• \(f(\{H\})=3\)
• \(f(\{T\})=5\)
• \(f(\Omega)=8\)

9. 보렐시그마필드 – 10점

\(\Omega = \mathbb{R}\) 이라고 하자. 그리고 \[{\cal A} = \big\{(a,b]: a,b \in \mathbb{R}, a<b\big\}\]

리고 하자. 이제 \(\sigma({\cal A}):={\cal R}\)에 대하여 아래를 보여라.

모두 맞출 경우만 정답으로 인정

(1) \(\{2\} \in {\cal R}\)

(풀이) \(\{2\} = \cap_{n=1}^{\infty}(2-\frac{1}{n},2] \in {\cal R}\)

(2) \([0,2] \in {\cal R}\)

(풀이) \([0,2]= (0,2]\cup \{0\}\) 이므로 \([0,2] \in {\cal R}\).

(3) \([0,\infty) \in {\cal R}\)

(풀이) \([0,n) = (0,n] -\{n\} \cup \{0\}\) 이므로 \([0,n) \in {\cal R}\) 이고 따라서 \([0,\infty) = \cup_{n=1}^{\infty}[0,n) \in {\cal R}\) 이다.

(4) \(\mathbb{Q} \in \mathbb{R}\)

(풀이) (1)의 논의를 확장하면 \(\forall q \in \mathbb{Q}: \{q\} \in {\cal R}\) 이고 따라서 그것의 countable union역시 \({\cal R}\)의 원소이다.

10. 확장이론 – 10점

\(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2,3\},\{2,3,4\}, \Omega\}\) 라고 하자.

아래와 같은 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.

• \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
• \(\tilde{P}(\{1,2,3\}) = 1/2\)
• \(\tilde{P}(\{2,3,4\}) = 1/2\)
• \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)

\(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률측도로 유일하게 확장가능한가?

(풀이)

결국 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률을 무모순으로 정의하기 위해서는

• \(P(\{2,3\})=a\)
• \(P(\{1\})=b\)
• \(P(\{4\})=c\)

의 값을 무모순으로 정의해야 한다. 이를 위해서는

• \(a+b+c=1\)
• \(a+b=\frac{1}{2}\)
• \(a+c=\frac{1}{2}\)

를 만족하는 해를 찾아야 하는데 이 해는 \(a=0, b=\frac{1}{2}, c=\frac{1}{2}\) 이외에 없다. 따라서 유일하게 확장가능하다.