기말고사 (2025.12.16)
1. True/False (20점)
\(\Omega\)의 부분집합들의 모임 \({\cal A}\)에 대하여 다음을 읽고 참 거짓을 판단하라.
- \({\cal A}\)가 세미링이면 \({\cal A}\)는 파이시스템이다.
- \({\cal A}\)가 파이시스템이면 \({\cal A}\)는 시그마필드이다.
- \({\cal A}\)가 시그마필드이면 \({\cal A}\)는 파이시스템이다.
- \({\cal A}\)가 시그마필드이면 \({\cal A}\)는 람다시스템이고 파이시스템이다.
- \({\cal A}\)가 람다시스템이고 파이시스템이면 \({\cal A}\)는 시그마필드이다.
2. 딘킨의 \(\pi\)-\(\lambda\) theorem (50점)
\({\cal P} \subset 2^\Omega\)가 파이시스템이라고 하자.
(1) \(l({\cal P}) = \sigma({\cal P})\) 임을 보이기 위해서는 \(l({\cal P})\)가 파이시스템임을 보이면 충분하다. 왜그런지 설명하라.
(2) \(\Omega = \{1,2,3,4\}\) 일때 아래의 집합 \({\cal A}\) 가 교집합에 닫혀있지 않은 이유를 \({\cal D}_A\)를 이용하여 설명하라.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}, \Omega\}\]
(3) \({\cal D}_E = \{F: E \cap F \in l({\cal P}), F \in l({\cal P})\}\) 라고 하자. \(l({\cal P})\) 이 파이시스템이 되는 조건을 \({\cal D}_E\)를 이용하여 서술하라.
(4) \({\cal D}_E\)가 포함관계에 있는 차집합에 닫혀있음을 보여라.
(5) \(X \in {\cal P}\) 이면 \({\cal P} \subset {\cal D}_X\)임을 설명하라.
3. 확장이론 (30점)
(1) \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모임은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}, \Omega\}\]
이러한 집합에서 아래와 같은 함수를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{5,6\}) = 2/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
\(\tilde{P}\)는 가측공간 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\)에서의 확률측도로 유일하게 확장가능한가? (질문에 대한 답과 함께 근거를 설명할 것)
(2) \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모임은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}\}\]
이러한 집합에서 아래와 같은 함수를 정의하자.
- \(\tilde{m}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{m}(\{1,2,\}) = 1/4\)
- \(\tilde{m}(\{3,4\}) = 1/4\)
\(\tilde{m}\)는 가측공간 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\)에서의 측도로 유일하게 확장가능한가? (질문에 대한 답과 함께 근거를 설명할 것)
(3) \(\Omega = \{H,T\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모임은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\{H\}\}\]
이러한 집합에서 아래와 같은 함수를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\{H\}) = 1/2\)
이 함수를 확장하여 \(\sigma({\cal A})=\{\emptyset,\{H\},\{T\},\Omega\}\)에서의 함수를 아래와 같이 정의하였다.
- \(P(\{\emptyset\}) = 0\)
- \(P(\{H\}) = 1/2\)
- \(P(\{T\}) = 1/2\)
- \(P(\{\Omega\}) = 1\)
\(P\)는 \((\Omega,\sigma({\cal A}))\)에서의 확률측도의 정의를 만족하며 \(\tilde{P}\)의 확장이다. \(\tilde{P}\)를 확장하여 얻을수 있는 확률측도는 \(P\)가 유일하다고 주장할 수 있는가? (질문에 대한 답과 함께 근거를 설명할 것)