12wk - 확장이론1, 확장이론2, 르벡메저
강의영상
\(\sigma\)-finite
# 정의 – 공간 \((\Omega,{\cal A})\) 를 상상하자. 여기에서 \({\cal A}\)는 \(\Omega\)에 대한 세미링이다. 만약에 어떠한 집합함수 \(\tilde{m}: {\cal A} \to [0,\infty]\) with \(\tilde{m}(\emptyset) =0\) 이 아래를 만족한다면
\(\exists~ \Omega_1,\Omega_2, \dots \in {\cal A}\) such that
\(\cup_{i=1}^{\infty}\Omega_i=\Omega\)
\(\forall n \in \mathbb{N}: \tilde{m}(\Omega_n)< \infty\)
\(\tilde{m}\)을 \({\cal A}\)에서 시그마유한하다고 표현한다.
#
# 예제1
Is \(\tilde{m}\) \(\sigma\)-finite on \({\cal A}\)?
- \(\Omega = \mathbb{R}\)
- \({\cal A}= \{\emptyset,\mathbb{R}\} \cup \{[-n,n]: n \in \mathbb{N}\}\)
- \(\tilde{m}(A) = \begin{cases} \infty & A = \mathbb{R} \\ 0 & o.w. \end{cases}\)
(풀이)
\(\tilde{m}\)은 \(\sigma\)-finite하다.
확장이론1
# 이론 (카라테오도리의 유산, 확률버전) – \({\cal A} \subset 2^{\Omega}\)를 \(\Omega\)에 대한 세미링이라고 하자. \({\cal A}\) 에서 확률 비슷한 집합함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\) 가 아래의 조건을 만족한다고 하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset)=0\)
- \(\tilde{P}(\Omega)=1\)
- \(\tilde{P}\) is additive on \({\cal A}\)
- \(\tilde{P}\) is \(\sigma\)-subadditive on \({\cal A}\)
그러면 이 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률 \(\mathbb{P}\) 로 확장할 수 있다. 그리고 이 확장은 유일하다.
#
# 이론 (카라테오도리의 유산, 시그마유한측도버전) – \({\cal A} \subset 2^{\Omega}\)를 \(\Omega\)에 대한 세미링이라고 하자. \({\cal A}\) 에서 시그마유한측도 비슷한 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)가 아래를 만족한다고 가정하자.
- \(\tilde{m}(\emptyset)=0\)
- \(\text{$\tilde{m}$ is $\sigma$-finite on ${\cal A}$.}\)
- \(\tilde{m}\) is additive on \({\cal A}\)
- \(\tilde{m}\) is \(\sigma\)-subadditive on \({\cal A}\)
그러면 이 시그마유한측도 비슷한 집합함수 \(\tilde{m}\)은 \(\sigma({\cal A})\)에서의 \(\sigma\)-유한측도로 확장될 수 있다. 그리고 이 확장은 유일하다.
#
이 이론은 확률 비슷한 함수, 유한측도 비슷한 함수, 시그마유한측도 비슷한 함수에는 성립하지만 측도 비슷한 함수에 대해서는 성립하지 않음.
# 예제2
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모음 (=내가 확률을 정의하고 싶은 이벤트들의 모음) 은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\},\Omega\}\]
이러한 집합에서 아래와 같은 함수를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
아쉽게도 \({\cal A}\)는 시그마필드의 정의를 만족하지 않으므로, 위와 같은 함수 \(\tilde{P}\)를 확률(=확률측도)이라고 주장할 수 없다. 어쩌면 좋을까?
(풀이)
\({\cal A}\)는 세미링이고 \(\tilde{P}\)는 확장이론1의 조건 1-2를 만족한다. 그리고 \(\tilde{P}\)는 \({\cal A}\)에서 add를 만족한다. (따라서 \(\sigma\)-add를 만족함, 즉 확장이론1의 조건 3-4를 만족함) 확장이론1을 사용하면 \({\cal A}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3,4\}, \Omega\}\) 에서의 집합함수
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
만 정의해도, 확률을 정의한 셈 칠 수 있다! (왜냐면 유일하게 확장될테니까)
#
# 예제3
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\}, \{3,4\}, \Omega\}\) 라고 하자. 그리고 아래와 같은 \(\sigma({\cal A})\)를 다시 상상하자.
\[\sigma({\cal A}) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \Omega \big\}\]
위의 시그마필드에서 확률을 예제1과 다른 방식으로 정의할 수 도 있다. 예를들면 아래와 같은 방식으로 정의가능하다.
| - | \(\mathbb{P}_1\) | \(\tilde{P}_1\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(\frac{2}{3}\) | None |
또한 아래와 같은 방식도 가능하다.
| - | \(\mathbb{P}_2\) | \(\tilde{P}_2\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{2\}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{3,4\}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | \(0\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(1\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(1\) | None |
어떠한 방식으로 정의하든 \({\cal A}\) 에서 확률 비슷한 집합함수 \(\tilde{P}_1,\tilde{P}_2\) 를 잘 정의하기만 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률 \(\mathbb{P}_1,\mathbb{P}_2\) 로 적절하게 확장할 수 있다. 심지어 이러한 확장은 유일하다.
#
# 예제4
\(\Omega = \{a,b,c,d\}\) 의 부분집합들의 모임
\[{\cal A}=\big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}\big\}\]
를 고려하자. 확률 비슷한 집합함수 \(\tilde{P}: {\cal A} \to [0,1]\) 을 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{P}(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\tilde{P}(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)
\(\tilde{P}\) 를 확장하여 확률측도의 정의를 만족하는 적당한 함수 \(\mathbb{P}:\sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 를 유일하게 만들 수 있는가?
(풀이)
\({\cal A}\)는 세미링이 아니므로 확장정리를 쓸 수 없다. (즉 \(\tilde{P}\)는 확률 비슷하다고 주장할 수 조차 없음) 그렇지만 \({\cal A}\)를 변형하여 아래를 만든다면
\[\bar{\cal A} = \big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}, \emptyset, \Omega, \{b,c\}, \{a\}, \{d\}\big\}\]
\(\bar {\cal A}\) 는 세미링이 된다.
이제 확률 비슷한 집합함수 \(\bar{P}: \bar{\cal A} \to [0,1]\) 를 고려하자.
- \(\tilde{P}(\{a,b,c\}) = \bar{P}(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\tilde{P}(\{b,c,d\}) = \bar{P}(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\bar{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\bar{P}(\Omega) = 1\)
- \(\bar{P}(\{a\}) = \frac{1}{4}\)
- \(\bar{P}(\{d\}) = \frac{1}{4}\)
- \(\bar{P}(\{b,c\}) = \frac{1}{2}\)
\(\bar{P}\)는 \(\tilde{P}\)를 확장한 확률 비슷한 집합 함수이다. 즉 \(\bar{P}\)는 확장이론의 조건 1-4를 만족한다. 따라서 \(\bar{P}\)를 확장하여 \(\sigma(\bar{\cal A})=\sigma({\cal A})\) 에서의 확률 \(\mathbb{P}\)를 만들 수 있으며, 이렇게 만들어진 \(\mathbb{P}\)는 유일하다. 또한 \(\tilde{P}\)를 확장하여 \(\bar{\cal A}\)에서의 확률 비슷한 함수로 확장하는 방법이 \(\bar{P}\)가 유일함을 떠올리면1 \({\cal A}\)에서의 집합함수 \(\tilde{P}\)를 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률로 업그레이드 하는 방법은 이것이 유일함을 알 수 있다.
#
# 예제5
\(\Omega=\{1,2,3\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자. 아래와 같은 집합함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 0\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
이러한 집합함수 \(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률측도로 확장가능할까?
(느낌)
그냥 안될 것 같다. 일단 \({\cal A}\)는 세미링이 아니다. 적당히 \({\cal A}\)를 확장하여 세미링 \(\bar{\cal A}\)를 만든다고 하여도 \(\bar{\cal A}\)에서 add 혹은 \(\sigma\)-subadd 가 성립하지 않을것 같다. 즉 확률 비슷한 집합함수 조차 만들 수 없다. 따라서 이 경우는 확장이 불가능할 것 같다.
(풀이)
확장가능하다고 하자. 즉 아래를 만족하는 함수 \(\mathbb{P}: \sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 가 존재한다고 하자.
- \(\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}(A) = \tilde{P}(A)\)
- \(\mathbb{P}\) is prob-msr on \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\)
1에 의하여 \(\mathbb{P}(\{1,2\}) = \mathbb{P}(\{2,3\}) = 0\) 이어야 한다. 또한 2에 의하여 \(\mathbb{P}\)는 \(\big(\Omega,\sigma({\cal A})\big)\) 에서의 확률이고 따라서 아래가 성립해야 한다.
\[\mathbb{P}\big(\{1,2\} \cup\{2,3\} \big) \leq \mathbb{P}(\{1,2\}) + \mathbb{P}(\{2,3\})\]
그런데 1에 의하여 우변은 0이고 좌변은 1 이므로 이는 모순이다.
#
# 예제6
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자. 아래와 같은 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
이러한 집합함수 \(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률측도로 확장가능할까? 확장가능하다면 결과는 유일할까?
(풀이1)
이 예제의 경우 위의 예제와 다르게 \(\bar{\cal A}\)에서 add가 성립해보인다. 확장을 시도해보자. 우선 \({\cal A}\)를 적당히 확장하여 세미링을 만든다. \[\bar{\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\}, \{2,3\}, \Omega, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\}\]
이제 \(\tilde{P}\)를 적절히 확장하여 확률 비슷한 집합함수 \(\bar{P}: \bar{\cal A} \to [0,1]\) 를 정의해보자. 그런데…
| - | \(\bar{P}_1\) | \(\bar{P}_2\) | \(\tilde{P}\) |
|---|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1,2\}\) | \(1/2\) | \(1/2\) | \(1/2\) |
| \(\{2,3\}\) | \(1/2\) | \(1/2\) | \(1/2\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(1/2\) | NA |
| \(\{2\}\) | \(1/2\) | \(0\) | NA |
| \(\{3\}\) | \(0\) | \(1/2\) | NA |
| \(\{4\}\) | \(1/2\) | \(0\) | NA |
와 같이 유일하게 \(\bar{P}\)를 정할 수 없다. 이때 위에서 정의된 함수 \(\bar{P}_1\), \(\bar{P}_2\) 는 모두 세미링 \(\bar{\cal A}\) 에서 add하다. 따라서 확률비슷한 집합함수 \(\bar{P}_1\), \(\bar{P}_2\) 는 각각 확률 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\)로 업그레이드 될 수 있다. 요약하면 \(\tilde{P}\)는 확장되어 확률 \(\mathbb{P}_1\) 로 업그레이드 될 수도 있고 \(\mathbb{P}_2\) 로 업그레이드 될 수도 있다. 따라서 일단 \(\tilde{P}\) 는 업그레이드는 가능하지만 그 결과가 유일하지 않다고 볼 수 있다.
(풀이2)
아래와 같은 집합을 고려하자. \({\cal S} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\}\) 라고 하자. 아래와 같은 두개의 집합함수 \(\tilde{P}_1:{\cal S} \to [0,1]\), \(\tilde{P}_2:{\cal S} \to [0,1]\)를 정의하자.
| - | \(\tilde{P}_1\) | \(\tilde{P}_2\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(1/2\) |
| \(\{2\}\) | \(1/2\) | \(0\) |
| \(\{3\}\) | \(0\) | \(1/2\) |
| \(\{4\}\) | \(1/2\) | \(0\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
\({\cal S}\)는 세미링이고 이 두 집합함수는 \({\cal S}\)에서 add를 만족하므로 확장정리1의 조건1-4를 만족한다. 따라서 각각 \(\mathbb{P}_1:\sigma({\cal S}) \to [0,1]\), \(\mathbb{P}_2: \sigma({\cal S}) \to [0,1]\)로 유일하게 확장가능하다.
그런데 이렇게 확장된 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\)의 값을 \({\cal A}=\{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\)에서 조사해보면
\[\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_1(A)=\mathbb{P}_2(A)=\tilde{P}(A)\]
임을 알 수 있다. 또한 \(\sigma({\cal S}) = \sigma({\cal A})\)임을 떠올리면 결국 \(\mathbb{P}_1\), \(\mathbb{P}_2\) 는 \({\cal A}\) 에서는 모두 \(\tilde{P}\)와 일치하지만 \(\sigma({\cal A})=\sigma({\cal S})\) 에서는 일치하지 않는 두 확률측도임을 알 수 있다. 따라서 \(\tilde{P}\) 는 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\) 에서의 확률측도로 확장가능하다고 주장할 수 있지만 그 확장의 유일성을 보장할 수는 없다.
#
# 예제7 – 통계학과라서 행복해
\(\Omega=\{a,b\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset,\{a\}\}\) 라고 하자. 여기에서 \({\cal A}\) 는 세미링이다. 이때 측도 비슷한 집합함수 \(\tilde{m}: {\cal A} \to [0,1]\) 를 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{m}(\emptyset)=0\)
- \(\tilde{m}(\{a\})=\frac{1}{2}\)
이 함수는 \(\tilde{m}\)은 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\) 에서의 측도로 확장가능할까? 확장가능하다면 결과는 유일할까? 만약에 \(\tilde{m}(\Omega)=1\) 이라는 조건을 추가로 준다면 어떠할까?
(풀이)
이 함수는 \({\cal A}\)에서 add를 만족한다. 함수 \(\tilde{m}\)은 잴 수 있는 공간 \((\Omega,\sigma({\cal A})\big)\)에서의 측도로 확장가능하다. 하지만 유일한 확장이 가능하지는 않다. (시그마유한하지 않아서 그래..)
| - | \(\tilde{m}\) | \(m_1\) | \(m_2\) |
|---|---|---|---|
| \(\emptyset\) | - | \(0\) | \(0\) |
| \(\{a\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{b\}\) | - | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) |
| \(\Omega\) | - | \(1\) | \(\frac{3}{2}\) |
#
# 예제8 – 르벡메저(\(\star\star\star\))
\(\Omega=\mathbb{R}\) 이라고 하고
\[{\cal A} = \big\{(a,b]: -\infty<a<b<\infty \big\} \cup \{\emptyset\}\]
라고 하자. 여기에서 \({\cal A}\)는 세미링이다. 이때 \({\cal A}\)에서 시그마유한측도 비슷한 함수 \(\tilde{\lambda}: {\cal A} \to [0,1]\)를 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{\lambda}(\emptyset)=0\)
- \(\tilde{\lambda}((a,b])=b-a\)
이제 \(\tilde{\lambda}\)가 \({\cal A}\)에서 (3) additivity (4) \(\sigma\)-subadditivity 를 만족한다면 \(\tilde{\lambda}\)는 잴 수 있는 공간 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)=(\mathbb{R}, {\cal R})\) 에서의 측도로 업그레이드 되며 이 업그레이드 결과는 유일하다. 그리고 이러한 방식으로 업그레이드된 척도를 르벡측도라고 한다.
이 예제에서 남은 부분은 \(\tilde{\lambda}\)가 \({\cal A}\)에서 (3) additivity (4) \(\sigma\)-subadditivity 를 만족함을 보이는 것이다. 이때 additivity가 성립함은 자명하고, \(\sigma\)-subadditivity가 성립함을 보여야 하는데 이것은 매우 어렵다. 따라서 이 예제에서는 생략하겠다.
#
- \(\Omega\)의 모든 부분집합에 대하여 확률을 무모순으로 정의하는 것은 매우 쉬운일인 줄 알았는데 사실은 그렇지 않았다.
- 그 이유는 \(\mathbb{R}\)의 모든 부분집합에 길이를 무모순으로 재는 것이 불가능하기 때문이다.
- 우리는 \(\mathbb{R}\)의 모든 부분집합, \(2^\Omega\)에 대하여 길이를 무모순으로 재는 것은 포기하였다. 대신에 그것보다 작은 집합 \({\cal R} \subset 2^{\Omega}\) 보렐시그마필드(=길이를 잴 수 있는 집합들의 모임)에서만 길이를 재는것이 어떨까? 하는 생각을 했다. 여기에서 \({\cal R}\)은 \[{\cal A}=\big\{(a,b]: -\infty<a<b<\infty \big\} \cup \{\emptyset\}\]를 확장하여 만들 수 있는 가장 작은 시그마필드이다.
- 우리의 전략은 \({\cal A}\) 에서 길이비슷한 함수 \(\tilde{\lambda}\) 를 정의하고 그 함수를 확장하여 메저로 업그레이드 하는 것이었다. 이를 위해서 측도론이라는 학문을 공부했다. 공부한결과 카라테오도리의 유산에 의하여 이러한 업그레이드방식이 가능하며, 심지어 그 결과가 유일하다는 것을 알게 되었다.
확장이론2
# 이론 (확장이론2,확률측도)
\(\big(\Omega, \sigma({\cal A}), \mathbb{P}\big)\) 가 확률공간이라고 하자. 그리고 \({\cal A}\)는 \(\pi\)-system이라고 하자. 확률측도 \(\mathbb{P}: \sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 의 값은 \({\cal A}\) 에서의 값으로 유일하게 결정된다.
#
# 이론 (확장이론2,시그마유한측도)
\(\big(\Omega, \sigma({\cal A}), m\big)\) 가 시그마유한측도공간이라고 하자. 그리고 \({\cal A}\)는 \(\pi\)-system이라고 하자. 시그마유한측도 \(m: \sigma({\cal A}) \to [0,\infty]\) 의 값은 \({\cal A}\)에서의 값으로 유일하게 결정된다.
#
# 예제9 – 예제2을 다시 풀자
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모음 (=내가 확률을 정의하고 싶은 이벤트들의 모음) 은 아래와 같다.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\},\Omega\}\]
이러한 집합에서 아래와 같은 함수를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\{2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
아쉽게도 \({\cal A}\)는 시그마필드의 정의를 만족하지 않으므로, 위와 같은 함수 \(\tilde{P}\)를 확률(=확률측도)이라고 주장할 수 없다. 어쩌면 좋을까?
(풀이1) – 확장이론1 적용
아까 한 풀이.. \({\cal A}\)이 세미링임을 체크하고 \(\tilde{P}\)가 확장이론1의 조건 1-4를 만족함을 보임.
(풀이2) – 확장이론2 적용
아래표의 오른쪽과 같은 \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률측도 \(\mathbb{P}\)를 일단 만들어보자.
| - | \(\tilde{P}\) | \(\mathbb{P}\) |
|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1\}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) |
| \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\{1,2\}\) | - | \(\frac{3}{4}\) |
| \(\{1,3,4\}\) | - | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,3,4\}\) | - | \(\frac{3}{4}\) |
심심풀이로 \(\tilde{P}\)를 확장한 확률측도 \(\mathbb{P}\)를 만들어 봤는데, 이 확률측도는 유일하다. 왜냐하면 \({\cal A}\)가 파이시스템이니까..
#
# 예제10 – 예제6을 다시 살펴보자..
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이라고 하고 \({\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}\) 라고 하자. 아래와 같은 확률 비슷한 함수 \(\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]\)를 정의하자.
- \(\tilde{P}(\emptyset) = 0\)
- \(\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\{2,3\}) = 1/2\)
- \(\tilde{P}(\Omega) = 1\)
이러한 집합함수 \(\tilde{P}\)는 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률측도로 확장가능한가? 이 확장결과는 유일할까?
(살펴봄)
이미 한번 푼 적있는 예제이다. 즉 \({\cal A}\)에서의 아래와 같이 \(\sigma({\cal A})\) 에서의 확률측도 \(\mathbb{P}_1\) 와 \(\mathbb{P}_2\) 를 고려하자.
| 정의역 | \(\mathbb{P}_1\) | \(\mathbb{P}_2\) | \(\tilde{P}\) |
|---|---|---|---|
| \(\emptyset\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\{1,2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\{2,3\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\Omega\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| — | — | — | — |
| \(\{1\}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{2\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | None |
| \(\{3\}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | None |
| 정의역 | \(\mathbb{P}_1\) | \(\mathbb{P}_2\) | \(\tilde{P}\) |
|---|---|---|---|
| \(\{1,3\}\) | \(0\) | \(1\) | None |
| \(\{1,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{2,4\}\) | \(1\) | \(0\) | None |
| \(\{3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{2,3,4\}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{1,3,4\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | None |
| \(\{1,2,4\}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) | None |
| \(\{1,2,3\}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | None |
여기에서 \(\mathbb{P}_1\)와 \(\mathbb{P}_2\)는 분명히 \({\cal A}\)에서는 일치하지만, \(\sigma({\cal A})\) 에서는 일치하지 않는다. 즉 \(\big(\Omega, \sigma({\cal A})\big)\) 에서의 모든 확률측도의 값은 \({\cal A}\) 에서의 값으로 유일하게 결정되지는 않는다. 따라서 확장가능하지만 (\(\mathbb{P}_1,\mathbb{P}_2\) 의 존재로 인하여 확장가능함이 보장) 유일하지 않다 (\(\mathbb{P}_1 \neq \mathbb{P}_2\) 이니까).
추가설명: 유일한 확장이 보장되지 않는 이유는 여기에서 주어진 \({\cal A}\)가 파이시스템이 아니기 때문이다. 따라서 \({\cal A}\)에서의 값은 agree하지만 \((\Omega, \sigma({\cal A}))\)에서 agree하지 않는 서로 다른 확률측도가 존재할 수도 있는 것
# 예제10 – 예제3을 다시풀자. \(\Omega = \{a,b,c,d\}\) 의 부분집합들의 모임
\[{\cal A}=\big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}\big\}\]
를 고려하자. 확률 비슷한 집합함수 \(\tilde{P}: {\cal A} \to [0,1]\) 을 아래와 같이 정의하자.
- \(\tilde{P}(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\tilde{P}(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)
\(\tilde{P}\) 를 확장하여 확률측도의 정의를 만족하는 적당한 함수 \(\mathbb{P}:\sigma({\cal A}) \to [0,1]\) 를 유일하게 만들 수 있는가?
(풀이)
편의상 \({\cal A}=\big\{\{a,b,c\},\{b,c,d\}\big\}\) 에서 정의된 집합함수\(\tilde{P}\)를 \(\tilde{P}_1\)라고 하자.
- \(\tilde{P}_1(\{a,b,c\}) = \frac{3}{4}\)
- \(\tilde{P}_1(\{b,c,d\}) = \frac{3}{4}\)
(먼저 존재성을 따져보자)
세미링 \({\cal S}=\big\{\emptyset, \{a\},\{b,c\},\{d\},\Omega\big\}\) 을 고려하고, 이 세미링에서 정의된 집함함수 \(\tilde{P}_2\)를 생각하자.
- \(\tilde{P}_2(\emptyset)=0\), \(\tilde{P}_2(\Omega)=1\).
- \(\tilde{P}_2(\{a\})=\tilde{P}_2(\{d\})=\frac{1}{4}\)
- \(\tilde{P}_2(\{b,c\})=\frac{1}{2}\)
\(\tilde{P}_2\)는 \({\cal S}\)에서 확장정리1의 1-4를 만족하므로 \(\big(\Omega,\sigma({\cal S})\big)\) 에서의 확률측도로 유일하게 확장된다. 이렇게 확장된 측도를 \(\mathbb{P}_2\) 라고 하자. 그런데 \(\mathbb{P}_2\)는
\[\forall A \in {\cal A}: \mathbb{P}_2(A) = \tilde{P}_1(A)\]
를 만족하고 \(\sigma({\cal S})\)는 사실 \(\sigma({\cal A})\)와 같으므로 \(\mathbb{P}_2\)는 \(\tilde{P}_1(A)\)이 확장된 확률측도이다. 따라서 존재성이 증명되었다.
(이제 유일성을 따져보자)
귀류법: \(\tilde{P}_1\)가 \(\mathbb{P}_2\)가 아닌 다른 \(\mathbb{P}_1\)으로 확장되었다고 가정하자. \(\mathbb{P}_1\)는 \(\tilde{P}_1\) 의 확장이므로 아래가 성립한다.
- \(\mathbb{P}_1(\{a,b,c\})=\frac{3}{4}\)
- \(\mathbb{P}_1(\{b,c,d\})=\frac{3}{4}\)
\(\mathbb{P}_1\)는 확률측도의정의를 만족하므로 아래가 성립한다.
- \(\mathbb{P}_1(\{b,c\})=\frac{1}{2}\)
따라서 \(\mathbb{P}_1\)는 \({\cal P}={\cal A}\cup \{b,c\}\)에서 \(\mathbb{P}_2\)와 일치한다. 따라서 \(\mathbb{P}_1\)와 \(\mathbb{P}_2\)가 다르기 위해서는 파이시스템 \({\cal P}\)에서는 일치하지만, \(\sigma({\cal P})\)에서는 그 값이 다른 측도이어야 한다. 그런데 이는 확장이론2에 모순된다.
#
# 예제11 – 르벡메져
측도공간 measure space \((\mathbb{R}, {\cal R}, \lambda)\) 를 선언하자. 여기에서
\[{\cal R} = \sigma({\cal A}_1), \text{ where } {\cal A}_1 = \big\{(a,b]:-\infty < a <b < \infty \big\} \cup \{\emptyset\}\]
이고 \(\lambda\)는 르벡메져이다. 이제 아래와 같은 서로 다른 3개의 collection을 고려하자.
- \({\cal A}_2 = \big\{[a,b):-\infty < a <b < \infty \big\} \cup\{\emptyset\}\)
- \({\cal A}_3 = \big\{[a,b]:-\infty < a <b < \infty \big\}\cup \{\emptyset\}\)
- \({\cal A}_4 = \big\{(a,b):-\infty < a <b < \infty \big\}\cup \{\emptyset\}\)
그리고 \({\cal A}_2 ,{\cal A}_3,{\cal A}_4\) 에서 각각 정의된 아래와 같은 3개의 집합함수 \(\tilde{\lambda}_2: {\cal A}_2 \to [0,\infty]\), \(\tilde{\lambda}_3: {\cal A}_3 \to [0,\infty]\), \(\tilde{\lambda}_4: {\cal A}_4 \to [0,\infty]\) 를 고려하자.
- \(\tilde{\lambda}_2([a,b))=b-a,~\tilde{\lambda}_2(\emptyset)=0\)
- \(\tilde{\lambda}_3((a,b))=b-a,~\tilde{\lambda}_3(\emptyset)=0\)
- \(\tilde{\lambda}_4([a,b])=b-a,~\tilde{\lambda}_4(\emptyset)=0\)
함수 \(\tilde{\lambda}_2\), \(\tilde{\lambda}_3\), \(\tilde{\lambda}_4\)는 모두 잴 수 있는 공간 \((\mathbb{R},{\cal R})\)에서의 르벡측도로 유일하게 업그레이드 된다.
(풀이)
아래를 보이면 충분하다.
1. \(\sigma({\cal A}_1)=\sigma({\cal A}_2)=\sigma({\cal A}_3)=\sigma({\cal A}_4)={\cal R}\)
2. \(\lambda\)는 공간 \({\cal A}_2, {\cal A}_3, {\cal A}_4\) 에서 각각 \(\tilde{\lambda}_2\), \(\tilde{\lambda}_3\), \(\tilde{\lambda}_4\) 와 일치함. 즉 아래가 성립
- \(\forall A \in {\cal A}_2:~ \tilde{\lambda}_2(A) = \lambda(A)\)
- \(\forall A \in {\cal A}_3:~ \tilde{\lambda}_3(A) = \lambda(A)\)
- \(\forall A \in {\cal A}_4:~ \tilde{\lambda}_4(A) = \lambda(A)\)
3. \({\cal A}_2,{\cal A}_3, {\cal A}_4\) 는 모두 파이시스템
왜냐하면 1,2가 의미하는건 르벡측도가 \(\tilde{\lambda}_2\), \(\tilde{\lambda}_3\), \(\tilde{\lambda}_4\)의 확장이라는 의미이고, 3이 의미하는건 그 확장이 유일함을 의미하는 것이기 때문이다.
1: \(\sigma({\cal A}_1)=\sigma({\cal A}_2)=\sigma({\cal A}_3)=\sigma({\cal A}_4)={\cal R}\)
본격적인 증명에 앞서 아래를 보이자.
Claim: \(\sigma({\cal A}_1)\), \(\sigma({\cal A}_2)\), \(\sigma({\cal A}_3)\), \(\sigma({\cal A}_4)\) 가 모두 한점만 포함된 집합 \(\{c\}\) 를 원소로 가짐을 보이자.
(증명)
우선 \(\{c\}=[c-1,c] \cap [c,c+1]\) 에 의하여 \(\{c\} \in {\cal A}_4\) 임은 쉽게 보일 수 있다. 이제 아래수식을 관찰하자.
\[\{c\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\big(c-\frac{1}{n},c \big]=\bigcap_{n=1}^{\infty}\big[c,c+\frac{1}{n}\big)=\bigcap_{n=1}^{\infty}\big(c-\frac{1}{n},c+\frac{1}{n}\big)\]
그러면 \(\{c\} \in {\cal A}_1\), \(\{c\} \in {\cal A}_2\), \(\{c\} \in {\cal A}_3\) 임을 순차적으로 보일 수 있다.
이제 본격적으로 아래가 성립함을 보이자.
- \(\sigma({\cal A}_2) = \sigma({\cal A}_1)\)
- \(\sigma({\cal A}_3) = \sigma({\cal A}_1)\)
- \(\sigma({\cal A}_4) = \sigma({\cal A}_1)\)
논의를 간단하게 하기 위해서 \[\sigma({\cal A}_2) = \sigma({\cal A}_1)\] 만 따져보자. 그런데
- \((a,b] = ([a,b) - \{a\}) \cup \{b\}\)
- \([a,b) = ((a,b] - \{b\}) \cup \{a\}\)
이므로 증명되었음.
2: \(\lambda\)는 공간 \({\cal A}_2, {\cal A}_3, {\cal A}_4\) 에서 각각 \(\tilde{\lambda}_2\), \(\tilde{\lambda}_3\), \(\tilde{\lambda}_4\) 와 일치함.
아래를 보이면 증명이 된다.
\[\forall x \in \mathbb{R}: \lambda(\{x\})=0\]
(풀이1) – 알 수 없는 풀이..
\(\lambda:{\cal R}\to[0,\infty]\)는 \({\cal A}\)에서의 함수 \(\tilde{\lambda}_1((a,b])=b-a\) 를 확장한 것이다.
\[\begin{align*} \lambda(\{x\})=&\lambda\left(\bigcap_{n\to \infty}\big(x-\frac{1}{n},x\big]\right) =\lambda\left(\lim_{n\to \infty}\big(x-\frac{1}{n},x\big]\right) \\ =& \lim_{n\to \infty}\lambda\left(\big(x-\frac{1}{n},x\big]\right) =\lim_{n\to \infty}\tilde{\lambda}_1\left(\big(x-\frac{1}{n},x\big]\right)\\ =&\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0\end{align*}\]
(풀이2) – 일단은 이렇게 푸는게 나을듯
임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(\lambda(\{x\}) > 0\) 이라고 하자.
\(\mathbb{R}\)에서 하나의 원소 \(c\) 를 고정하자. 임의의 구간 \((c-1,c+1]\) 에 존재하는 모든 유리수 집합 \(\mathbb{Q}^\star\)를 생각하자. 즉
\[\mathbb{Q}^\star = (c-1,c+1] \cap \mathbb{Q}^\star\]
그런데 \(\mathbb{Q}^\star \subset (c-1,c+1]\) 이므로
\[\lambda(\mathbb{Q}^{\star}) \leq \lambda((c-1,c+1]) = \tilde{\lambda}_1((c-1,c+1]) =2 \quad \cdots (\star)\]
이다.2 여기에서 첫 부등호는 세미링에서 add를 만족하는 집합함수는 monotone임을 이용한 것이고, 첫번째 등호는 르벡측도는 \(\tilde{\lambda}_1\)의 확장임을 이용한 것이며 두번째 등호는 \(\tilde{\lambda}_1\)의 정의에 의하여 성립한다.
그런데 집합 \(\mathbb{Q}^\star\) 는 아래와 같이 한점을 포함하는 집합의 countable union 으로 표현가능하다. 따라서 아래가 성립한다.
\[\lambda\left(\mathbb{Q}^{\star}\right) = \lambda\left(\bigcup_{x\in \mathbb{Q}^\star}\{x\}\right) =\sum_{x \in \mathbb{Q}^\star} \lambda(\{x\})= \infty \quad \cdots(\star\star)\]
여기에서 첫번째 등호가 성립하는 이유는 집합의 표현, 두번째 등호가 성립하는 이유는 \(\lambda\)가 measure 라는 사실 (메저는 \(\sigma\)-additivity가 성립해요..) 그리고 마지막등호가 성립하는 이유는 귀류법에 의하여 가정된 \(\lambda(\{x\})>0\) 라는 사실때문에 성립한다. \((\star)\)와 \((\star\star)\)는 모순이므로 증명되었음.
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확률을 정의할 때 엄밀하게 정의한답시고 시그마필드에서 정의하는건 원래 말도 안되는 일이에요. 적당히 세미링에서만 정의해도 충분히 엄밀하다 생각하고 넘어갈 수 있습니다. 예를들어 “공평한 주사위”를 던지는 확률을 기술하고자 할때
표본공간 \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)에서, 각 눈금이 나올 확률이 1/6이라고 하자.
정도로 서술하면 되는 것이지
표본공간 \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)를 고려하자. 이때, \({\cal F}=\{\emptyset, \{1\},\dots,\{1,2\},\dots,\Omega\}\)가 \(\Omega\)에 대한 시그마 필드라고 하자. 또한, 확률은 \(\mathbb{P}(\emptyset)=0, \mathbb{P}(\{1\})=\frac{1}{6}, \dots, \mathbb{P}(\{1,2\})=\frac{2}{6}, \dots, \mathbb{P}(\Omega)=1\)로 정의된다고 하자.
와 같이 서술하는건 일반적인 서술방법은 아닙니다. 세미링인 \({\cal A}=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\dots \{6\},\dots,\Omega\}\) 에서 확률값 \(\mathbb{P}(\{1\})=\dots=\mathbb{P}(\{6\})=\frac{1}{6}\) 만을 잘 정의해도3, \(\sigma({\cal A}) = {\cal F}\) 에서의 확률값이 자동결정된다는 점을 알고 있기 때문입니다.