11wk - additivity, σ-additivity, subadditivity, σ-subadditivity

최규빈

2025-11-11

강의영상

궁금증

- 우리가 하고 싶은것은 “${\cal A}$에서 적당히 확률과 비슷한 집합함수 $\tilde{P}$를 정의하면, 그 $\tilde{P}$가 $\sigma({\cal A})$에서의 유일한 확률측도 $\mathbb{P}$로 업그레이드된다.” 를 보이는 것이다.

- 확률과 비슷한 집합함수라는 개념은 도데체 뭘까?

- 르벡메져와 비슷한 집합함수라는 개념도 있겠지? 그건 또 뭘까?

집합함수의 성질

- $\Omega$의 부분집합들의 모임 ${\cal A}$에서 정의된 집합함수 $\tilde{m}: {\cal A}\to [0,\infty]$, additivity, subadditivity, $\sigma$-additivity, $\sigma$-subadditivity 가 의미하는 바를 살펴보자.

Caution

교제에 따라서 집합함수 $\tilde{m}: {\cal A}\to [\infty,\infty]$를 고려하기도 하는데요. 우리는 $\tilde{m}$의 공역을 $[0,\infty]$로 한정한 정의를 사용합니다. 또한 교재에 따라서 ${\cal A}$가 어떠한 제약을 가져야함을 조건으로 거는 경우도 있는데요 (예를들면 ${\cal A}$가 field 이어야 한다든지), 우리는 이러한 조건도 무시합니다. 즉 ${\cal A}$는 어떠한 제약도 없는 일반적인 집합족이라 상상합니다.

# 정의1 – $\tilde{m}$ is additive on ${\cal A}$

${\cal A}\subset 2^\Omega$ 에서의 집합함수 $\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]$을 고려하자. “집함함수 $\tilde{m}$이 ${\cal A}$ 에서 additive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.

\[\text{(1)} B_1,\dots, B_n \in {\cal A} ~~\text{(2)}\biguplus_{i=1}^{n}B_i \in {\cal A}~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(\biguplus_{i=1}^{n} B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(B_i)\]

단, $B_1,B_2,\cdots, B_n$는 서로소인 집합열이다.

여기에서 $\infty + \infty = \infty$로 정의함.

# 예제1

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2\}$
${\cal A}= \{\emptyset, \{1\},\{1,2\}\}$
$\tilde{m}(\emptyset) = 0, \tilde{m}(\{1\}) = 1, \tilde{m}(\{1,2\})=1$

(답) $\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$.

# 예제2

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2\}$
${\cal A}= \{\emptyset, \{1\},\{1,2\}\}$
$\tilde{m}(\emptyset) = 0, \tilde{m}(\{1\}) = 1, \tilde{m}(\{1,2\})=0$

(답) $\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$.

# 예제3

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2\}$
${\cal A}= \{\emptyset, \{1\}\}$
$\tilde{m}(\emptyset) = 0, \tilde{m}(\{1\}) = 1$

(답) $\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$.

# 예제4

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2\}$
${\cal A}= \{\emptyset, \{1\}\}$
$\tilde{m}(\emptyset) = 1, \tilde{m}(\{1\}) = 0$

(답) $\tilde{m}$ is not add on ${\cal A}$.

# 예제5

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2\}$
${\cal A}= \{\emptyset\}$
$\tilde{m}(\emptyset) = 1$

(답) $\tilde{m}$ is not add on ${\cal A}$.

Note: 이 예제를 보고 “아, 여기서 add를 만족하게 하려면 꼭 $\tilde{m}(\emptyset)=0$이어야 겠구나!” 라고 정리하고 싶지 않나요?

Note: 그런데 $\tilde{m}(\emptyset)=\infty$라면 어떨까요? 우리가 원하는 바는 아니지만 add가 성립해버리죠? 그래서 우리가 상식적인 측도를 생각할때는 $\tilde{m}(\emptyset)=0$라고 약속하는 것이 중요합니다. 사실은 이러한 약속을 지금 당장 하고 싶은데요, $\emptyset \in {\cal A}$이라는 보장이 없어서 $\tilde{m}(\emptyset)=0$을 미리 정의에 넣어놓고 시작할 순 없어요.

# 예제6

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2\}$
${\cal A}= \{\emptyset,\{1\},\{2\},\Omega\}$
$\tilde{m}(\emptyset) = 0, \tilde{m}(\{1\}) = 1, \tilde{m}(\{2\})= \infty, \tilde{m}(\Omega)=\infty$

(답) $\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$.

# 정의2 – $\tilde{m}$ is $\sigma$-additive on ${\cal A}$

${\cal A}\subset 2^\Omega$ 에서의 집합함수 $\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]$을 고려하자. “집함함수 $\tilde{m}$이 ${\cal A}$ 에서 $\sigma$-additive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.

\[\text{(1)} B_1,B_2,\cdots \in {\cal A} ~~\text{(2)}\biguplus_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal A}~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(\biguplus_{i=1}^{\infty} B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(B_i)\]

단, $B_1,B_2,\cdots$ 는 서로소인 집합열이다.

# 예제7 – counting msr 비슷한것

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is $\sigma$-add on ${\cal A}$?

$\Omega = \mathbb{N}$
${\cal A}= 2^\mathbb{N}$
$\tilde{m}(A) = \begin{cases} |A| & \text{if $A$ is finite,} \\ \infty & \text{if $A$ is infinite.} \end{cases}$

(답) $\tilde{m}$ is $\sigma$-add on ${\cal A}$. $\Rightarrow$ $\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$.

Note: $\sigma$-add imply add.

# 예제8

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is $\sigma$-add on ${\cal A}$?

$\Omega = \mathbb{R}$
${\cal A}= \{\{x\}: x \in \mathbb{R}\} \cup \{\emptyset, \mathbb{Q} , \mathbb{Q}^c, \mathbb{R}\}$
$\tilde{m}(A) = \begin{cases} 0 & A = \{x\}, x\in \mathbb{R} \\ 0 & A = \emptyset \\ 1 & A=\mathbb{Q} \\ 2 & A=\mathbb{Q}^c \\ 3 & A=\mathbb{R} \end{cases}$

(답) $\tilde{m}$ is add but not $\sigma$-add on ${\cal A}$.

# 예제9

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is $\sigma$-add on ${\cal A}$?

$\Omega = \mathbb{R}$
${\cal A}= \{\{x\}: x \in \mathbb{R}\} \cup \{\emptyset, \mathbb{Q} , \mathbb{Q}^c, \mathbb{R}\}$
$\tilde{m}(A) = \begin{cases} 0 & A = \{x\}, x\in \mathbb{R} \\ 0 & A = \emptyset \\ 0 & A=\mathbb{Q} \\ 2 & A=\mathbb{Q}^c \\ 2 & A=\mathbb{R} \end{cases}$

(답) $\tilde{m}$ is add and also $\sigma$-add on ${\cal A}$.

# 예제10

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is $\sigma$-add on ${\cal A}$?

$\Omega = \mathbb{R}$
${\cal A}= \{\{x\}: x \in \mathbb{R}\} \cup \{\emptyset, \mathbb{Q} , \mathbb{Q}^c, \mathbb{R}\}$
$\tilde{m}(A) = \begin{cases} 1 & A = \{x\}, x\in \mathbb{R} \\ 0 & A = \emptyset \\ \infty & A=\mathbb{Q} \\ 0 & A=\mathbb{Q}^c \\ \infty & A=\mathbb{R} \end{cases}$

(답) $\tilde{m}$ is add and also $\sigma$-add on ${\cal A}$.

# 정의3– $\tilde{m}$ is subadditive on ${\cal A}$

${\cal A}\subset 2^\Omega$ 에서의 집합함수 $\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]$을 고려하자. “집함함수 $\tilde{m}$이 ${\cal A}$ 에서 subadditive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.

\[\text{(1)} A, A_1,\dots, A_n \in {\cal A} ~~\text{(2)}A \subset \bigcup_{i=1}^{n}A_i ~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(A\right)\leq\sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(A_i)\]

이 정의에서 subadditive는 monotone¹을 암시한다. (당연히 monotone이 subadd랑 같은건 아님)

Note

조건 (2) 대신에 $A= \bigcup_{i=1}^{n}A_i$인 경우만 subadd 라고 정의하는 교재도 존재한다. 이러한 정의에서는 subadditive가 monotone을 암시하지 않음.

# 예제11

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is subadd on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2,3\}$
${\cal A}= \{\emptyset,\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$
$\tilde{m}(\emptyset) =\tilde{m}(\{1,2\}) = \tilde{m}(\{2,3\})=0, \tilde{m}(\{1,2,3\})=1$

(답) $\tilde{m}$ is add but not subadd on ${\cal A}$. Note that $\tilde{m}$ is mono.

# 예제12

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is subadd on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2\}$
${\cal A}= \{\emptyset,\{1\},\{2\},\Omega\}$
$\tilde{m}(\emptyset) =0, \tilde{m}(\{1\})=\tilde{m}(\{2\})=\tilde{m}(\{1,2\})=1$

(답) $\tilde{m}$ is not add but subadd($\Rightarrow$ mono) on ${\cal A}$.

# 예제13

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is subadd on ${\cal A}$?

$\Omega = \mathbb{R}$
${\cal A}= \{\emptyset,\mathbb{Q},\mathbb{Q}^c,\Omega\}$
$\tilde{m}(\emptyset) =0, \tilde{m}(\mathbb{Q})=\tilde{m}(\mathbb{Q}^c)=\tilde{m}(\mathbb{R})=\infty$

(답) $\tilde{m}$ is add and also subadd($\Rightarrow$ mono) on ${\cal A}$.

Note: 만약에 $\tilde{m}(\emptyset)=0, \tilde{m}(\mathbb{Q})=\tilde{m}(\mathbb{Q}^c)=\tilde{m}(\mathbb{R})=1$ 이었다면 $\tilde{m}$은 subadd는 만족하지만 add는 만족하지 않음. (앞의 예제와 비슷한상황)

# 예제14

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is subadd on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2,3\}$
${\cal A}= \{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\Omega\}$
$\tilde{m}(A)=\begin{cases} 0 & A = \emptyset \\ 1 & A = \{1\} \\ 3 & A = \{1,2\} \\ 3 & A = \{1,3\} \\ 8 & A = \{2,3\} \\ 9 & A = \{1,2,3\} \end{cases}$

(답) $\tilde{m}$ is add and not subadd on ${\cal A}$. Note that $\tilde{m}$ is (strictly) mono.

# 예제10 – 다시 풀기

$\tilde{m}$가 이상하다고 느낀 원인이 무엇이었을까?

$\Omega = \mathbb{R}$
${\cal A}= \{\{x\}: x \in \mathbb{R}\} \cup \{\emptyset, \mathbb{Q} , \mathbb{Q}^c, \mathbb{R}\}$
$\tilde{m}(A) = \begin{cases} 1 & A = \{x\}, x\in \mathbb{R} \\ 0 & A = \emptyset \\ \infty & A=\mathbb{Q} \\ 0 & A=\mathbb{Q}^c \\ \infty & A=\mathbb{R} \end{cases}$

(답) $\tilde{m}$ is add and also $\sigma$-add on ${\cal A}$ but not subadd on ${\cal A}$. Note that $\tilde{m}$ is also not mono.

# 정의4. $\tilde{m}$ is $\sigma$-subadditive on ${\cal A}$

${\cal A}\subset 2^\Omega$ 에서의 집합함수 $\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]$을 고려하자. “집함함수 $\tilde{m}$이 ${\cal A}$ 에서 $\sigma$-subadditive 하다”는 것은 아래가 성립한다는 의미이다.

\[\text{(1)} A, A_1, A_2 \cdots \in {\cal A} ~~\text{(2)}A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i ~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(A\right)\leq\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(A_i)\]

#

# 예제15

$\tilde{m}$ is subadd on ${\cal A}$? $\tilde{m}$ is $\sigma$-subadd on ${\cal A}$?

$\Omega = \mathbb{R}$
${\cal A}= \{\emptyset,\mathbb{R}\} \cup \{[-n,n]: n \in \mathbb{N}\}$
$\tilde{m}(A) = \begin{cases} \infty & A = \mathbb{R} \\ 0 & o.w. \end{cases}$

(답) $\tilde{m}$ is subadd but not $\sigma$-subadd on ${\cal A}$.

Note: $\tilde{m}$은 심지어 add, $\sigma$-add도 성립함.

# 성질 – ${\cal A} \subset 2^\Omega$, $\tilde{m}: {\cal A} \to [0,\infty]$ 라고 하자. 함수 $\tilde{m}$에 대하여 체크해볼만한 성질들이 있다.

$\sigma$-additivity $\Rightarrow$ additivity
$\sigma$-subadditivity $\Rightarrow$ subadditivity
subadditivity $\Rightarrow$ monotone
$\Omega$가 유한집합일 경우
- $\sigma$-additivity $\Leftrightarrow$ additivity
- $\sigma$-subadditivity $\Leftrightarrow$ subadditivity

# 예제16

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2,3,4\}$
${\cal A}= \{\emptyset, \{1\},\{1,2,3\},\{1,3,4\},\{1,2,4\},\{2,3,4\}\}$
$\tilde{m}(A) = \begin{cases} 0 & A=\emptyset\\ 1 & A=\{1\}\\ 1 & A=\{1,2,3\}\\ 1 & A=\{1,3,4\}\\ 1 & A=\{1,2,4\}\\ 1 & A=\{2,3,4\} \end{cases}$

(풀이) $\tilde{m}$은 ${\cal A}$에서 add, $\sigma$-add, subadd, $\sigma$-subadd임. 그런데 뭔가 이상함.

- 결론: ${\cal A}$ 자체에서 뭔가 제약이 있어야겠는데?

$\tilde{m}(\{1\})=1$, $\tilde{m}(\{1,2,3\})=1$이라고 정의해놓고 $\tilde{m}(\{2,3\})$의 값을 정의안하는건 매우 치사함.
$\tilde{m}(\{2,3\})=0$이라고 명확하게 정의하던가, 아니면 $\tilde{m}(\{2,3\})=\tilde{m}(\{2\})=\tilde{m}(\{3\})=0$이라고 정의해아함.

- 외우세요: 측도 비스무리한 집합함수라도 정의하려면 ${\cal A}$는 “최소” 세미링이어야함.

# 예제16 – 다시보기

$\tilde{m}$ is add on ${\cal A}$?

$\Omega = \{1,2,3,4\}$
${\cal A}= \{\emptyset, \{1\},\{1,2,3\},\{1,3,4\},\{1,2,4\},\{2,3,4\}\}$
$\tilde{m}(A) = \begin{cases} 0 & A=\emptyset\\ 1 & A=\{1\}\\ 1 & A=\{1,2,3\}\\ 1 & A=\{1,3,4\}\\ 1 & A=\{1,2,4\}\\ 1 & A=\{2,3,4\} \end{cases}$

(풀이) $\tilde{m}$은 ${\cal A}$에서 add, $\sigma$-add, subadd, $\sigma$-subadd, monotone임. 그런데 ${\cal A}$가 세미링이 아니네? (=확률 혹은 측도 비슷한걸 정의할 최소한의 준비도 안되어있잖아?)

${\cal A}$가 세미링이라고 가정한다면?

- 이제부터 ${\cal A}$는 세미링이라고 가정하자. 이 추가가정은 많은 변화를 이끌어낸다. 결론을 먼저 말하면, ${\cal A}$이 세미링이라면 addtivity는 monotonicity 와 subaddtivity를 임플라이하고 $\sigma$-addivity는 $\sigma$-subadditivity를 임플라이한다. 즉 아래와 같이 된다.

그림1: 암기를 돕는 다이어그램

# 증명예제1 – ${\cal A}\subset 2^\Omega$ 에서 집합함수 $\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]$를 고려하자. 추가적으로 ${\cal A}$는 세미링이라고 가정하고 $\tilde{m}(\emptyset)=0$라고 가정하자. 이제 $1 \Rightarrow 2$ 임을 보여라.

$\tilde{m}$ is addtive on ${\cal A}$
$\tilde{m}$ is monotone on ${\cal A}$

(증명) 함수 $\tilde{m}$이 ${\cal A}$에서 monotone이라는 의미는 $A\subset B$를 만족하는 임의의 $A,B \in {\cal A}$ 에 대하여 아래를 만족한다는 의미이다.

\[\tilde{m}(A) \leq \tilde{m}(B)\]

그런데 아래의 식이 성립하므로

\[B=A \uplus (B-A)\]

위의 식의 양변에 $\tilde{m}$을 취하면, $\tilde{m}$의 add성질 때문에 아래가 성립하여 증명이 완료될 것 같다.

\[\tilde{m}(B)=\tilde{m}(A) + \tilde{m}(B-A)\]

그렇지만 세미링 ${\cal A}$는 차집합에 닫혀있지 않으므로 $A,B \in {\cal A}$ 라고 해도 $B-A \in {\cal A}$ 라는 보장이 없다. 따라서 $\tilde{m}(B-A)$ 와 같은 표현은 불가능하다. 대신에 ${\cal A}$는 차집합에 반쯤 닫혀 있으므로 아래와 같은 표현은 가능하다.

\[\tilde{m}(B)=\tilde{m}(A) + \sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(C_i)\]

(당연히) 이때 $C_1,\dots,C_n$은 서로소이고, 모두 ${\cal A}$의 원소이며 $\biguplus_{i=1}^{n}C_i=B-A$를 만족한다. 따라서 증명이 완료되었다.

사실 $\tilde{m}(\emptyset)=0$은 꼭 $1 \Rightarrow 2$임을 보이는데 필요한 조건은 아님. 에를들어 모든 메져값이 $\infty$이어도 위의 논의가 그대로 성립함. $\tilde{m}(\emptyset)=0$는 결론을 얻기위한 조건이 아니라, 그냥 $\tilde{m}(\emptyset)=\infty$를 고려할 필요가 없어서 서술적으로 들어간 조건임. 즉 “$\tilde{m}(\emptyset)=\infty$인 경우는 (따질수는 있지만) 따지지 않기로 하자” 정도의 뉘앙스.

#

# 증명예제2 – ${\cal A}\subset 2^\Omega$ 에서의 집합함수 $\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]$을 고려하자. 추가적으로 ${\cal A}$는 세미링이라고 가정하고 $\tilde{m}(\emptyset)=0$라고 가정하자. 이제 $1 \Rightarrow 2$ 임을 보여라.

$\tilde{m}$ is addtivie on ${\cal A}$
$\tilde{m}$ is subaddtive on ${\cal A}$

(증명)

일반성을 잃지 않고, 증명하고자 하는 바를 아래로 간략화 할 수 있다.

$A, A_1, A_2 \in {\cal A}$ and $A \subset (A_1\cup A_2)$ $\Rightarrow$ $\tilde{m}(A) \leq \tilde{m}(A_1) + \tilde{m}(A_2)$

일단 $B_1=A_1$, $B_2=A_2-A_1 =\uplus_{i=1}^{n}C_i$ 을 이용하여 아래의 식을 우선 정리하자.

(a) $A_1 \cup A_2 = B_1 \uplus B_2 = B_1 \uplus C_1 \uplus \dots \uplus C_n$

(b) $A_2 = (A_1 \cap A_2) \uplus C_1 \uplus \dots \uplus C_n$

이제 $A \subset (A_1 \cup A_2)$ 를 이용하면 \[A = A \cap (A_1 \cup A_2) = A \cap (B_1\uplus C_1\uplus\dots\uplus C_n)\]를 얻을 수 있고 따라서 $A$는 아래와 같이 분해할 수 있다.

\[A = (A\cap B_1)\uplus (A\cap C_1) \uplus \dots \uplus (A\cap C_n)\]

$\tilde{m}$이 add 함을 이용하면 위의 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

\[\tilde{m}(A) = \tilde{m}(A\cap B_1)+ \tilde{m}(A\cap C_1) + \dots + \tilde{m}(A\cap C_n)\]

여기에서 $A\in {\cal A}$, $A \cap B_1 \in {\cal A}$, $A \cap C_i \in {\cal A}$ 이므로, 위의 식에서 $\tilde{m}(\star)$ 와 같은 표현이 모두 가능함을 체크하자. 이제 $\tilde{m}$이 monotone 임을 이용하면 (monotone은 add에 의하여 imply 되었음)

\[\tilde{m}(A) \leq \textcolor{red}{\tilde{m}(B_1)}+ \textcolor{blue}{\tilde{m}(C_1)} + \dots + \textcolor{blue}{\tilde{m}(C_n)}\quad \cdots(*)\]

임을 알 수 있다. 이제 (b)의 양변에 함수 $\tilde{m}$을 취하여 아래를 얻자.

\[\tilde{m}(A_2) = \tilde{m}(A_1 \cap A_2) +\tilde{m}(C_1)+ \dots \tilde{m}(C_n) \quad\cdots(**)\]

이제 $\tilde{m}(A_1)=\tilde{m}(B_1)$ 임을 이용하여 $(*)$의 $\textcolor{red}{빨간색부분}$을 정리하고 $(**)$를 이용하여 $(*)$의 $\textcolor{blue}{파란색부분}$을 정리하면 아래를 얻을 수 있다. 따라서 증명끝.

\[\tilde{m}(A) \leq \tilde{m}(A_1) + \tilde{m}(A_2)\]

- 따라서 ${\cal A}$가 세미링일 경우 (그리고 $\tilde{m}(\emptyset)=0$일 경우)

additivity $\Rightarrow$ monotonicity ($A \subset B \Rightarrow \tilde{m}(A)\leq \tilde{m}(B)$)
additivity $\Rightarrow$ sub-additivity
$\sigma$-additivity $\Rightarrow$ $\sigma$-subadditivity

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