2025-11-04
# 이론 – Dynkin’s \(\pi-\lambda\) theorem (\(\star\))
\({\cal P} \subset 2^{\Omega}\)가 파이시스템이면 \(l({\cal P})=\sigma({\cal P})\)이다.
Note: \({\cal P}\)를 포함하는 최소한의 시그마필드를 찾기 위해서는 \({\cal P}\)를 포함하는 최소한의 람다시스템만 찾아도 충분하다는 의미이다.
#
(증명)
아래를 보이는 것이 목표이다.
(a) \(l({\cal P})=\sigma({\cal P})\)
이를 위해서는 아래를 보이면 충분하다.
(b) \(l(\cal P) \subset \sigma({\cal P})\) and \(l(\cal P) \supset \sigma({\cal P})\).
그런데 \(l(\cal P) \subset \sigma({\cal P})\) 은 당연하므로1 우리는 아래를 보이면 충분하다.
(c) \(l({\cal P}) \supset \sigma({\cal P})\)
그런데 만약 \(l({\cal P})\) 가 시그마필드라면 \(\sigma({\cal P})\)의 정의에 의하여 (c)가 성립하므로 우리는 아래를 보이면 충분하다.
(d) \(l({\cal P})\) is \(\sigma\)-field
그런데 만약 \(l({\cal P})\) 은 이미 람다시스템이므로 \(l({\cal P})\)가 추가적으로 파이시스템임을 보인다면 \(l({\cal P})\)를 시그마필드라고 주장할 수 있다. 따라서 우리는 아래가 성립함을 보이면 충분하다.
(e) \(l({\cal P})\) is \(\pi\)-system
\({\cal D}_E = \{F: E\cap F \in l({\cal P}), ~F \in l({\cal P})\}\) 라고 정의할 때 \(\forall E \in l({\cal P}): ~ {\cal D}_E = l({\cal P})\) 를 보이면, \(l({\cal P})\) 이 파이시스템을 보이는 것이 된다. 즉 아래를 보이면 된다.
(f) \(\forall E \in l({\cal P}): ~ {\cal D}_E = l({\cal P})\).
이를 위해서는 다시 아래를 보이면 충분하다.
(g) \(\forall E \in l({\cal P}): ~ {\cal D}_E \subset l({\cal P})\) and \(l({\cal P}) \subset {\cal D}_E\)
그런데 \({\cal D}_E \subset l({\cal P})\) 는 당연하므로1 아래를 보여도 충분하다.
(h) \(\forall E \in l({\cal P}): ~ l({\cal P}) \subset {\cal D}_E\)
그런데 임의의 \(E \in l({\cal P})\)에 대하여 \({\cal D}_E\)가 \({\cal P}\)를 포함하는 람다시스템이라면, \(l({\cal P})\)의 정의에 의하여 (h)가 성립하므로 아래를 보이면된다.
(i) \(\forall E \in l({\cal P}):\) (1) \(\Omega \in {\cal D}_E\) (2) \({\cal D}_E\) is \(^c\)-closed (3) \({\cal D}_E\) is \(\uplus\)-closed.
(j) \(\forall E \in l({\cal P}): {\cal P} \subset {\cal D}_E\).
“(i) 임의의 \(E \in l({\cal P})\)에 대해서 \({\cal D}_E\)가 람다시스템”임을 체크해보자.
(세부증명1)
따라서 \({\cal D}_E\)는 람다시스템이다
(세부증명1끝)
이제 “(j) 임의의 \(E \in l({\cal P})\)에 대하여 \({\cal P} \subset {\cal D}_E\)”임을 보이자.
(세부증명2)
먼저 아래의 사실을 증명하자.
# claim – 세부증명2를 위한 우리의 무기 \[X \in {\cal P} \Rightarrow {\cal P} \subset {\cal D}_X\]
proof. \(X \in {\cal P}\) 가 주어진 상황에서 \({\cal P}\)의 임의의 원소는 “(1) \(l(P)\)의 원소이고 (2) \(X\)와 교지합연산한 결과가 \(l(P)\)의 원소임”을 만족한다. 조건1-2는 \({\cal D}_X\)의 원소일 조건이므로 \(X \in {\cal P} \Rightarrow {\cal P} \subset {\cal D}_X\)가 증명되었다.
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이제 \(\forall E \in l({\cal P}): {\cal P} \subset {\cal D}_E\)을 보이자. 편의상 \(E \in l({\cal P})\)를 고정하자. [\({\cal P} \subset {\cal D}_E\) 임을 보이기 위해서는 \(\forall X \in {\cal P}: X \in {\cal D}_E\) 임을 보여야 한다. 우리의 무기에 의하여 \(X \in {\cal P} \Rightarrow {\cal P} \subset {\cal D}_X\) 임을 쓸 수 있다. 그런데 \({\cal D}_X\)는 (h)에 의하여 람다시스템이되므로 (따라서 \({\cal D}_X\)는 졸지에 \({\cal P}\)를 포함하는 람다시스템이 되었음) 아래가 성립한다.
\[X \in {\cal P} \Rightarrow l({\cal P}) \subset {\cal D}_X\]
그런데 “\(l({\cal P}) \subset {\cal D}_X\)” 이 의미하는건 \(l({\cal P}) = {\cal D}_X\) 라는 의미이므로 \(E \in {\cal D}_X\) 가 만족한다. 따라서 \(E \cap X \in l({\cal P})\)가 만족한다. 정리하면 아래가 만족한다.
\[X \in {\cal P} \Rightarrow E \cap X \in l({\cal P})\] 따라서 \({\cal P}\)의 모든원소는 \(l({\cal P})\)의 원소이고 \(E\)와 교집합연산을 하였을때 그 결과가 \(l({\cal P})\)에 속한다. 즉 \({\cal P}\)의 모든 원소는 \({\cal D}_E\)의 정의를 만족한다. 따라서 \({\cal P} \subset {\cal D}_E\).] 이때 […]의 논의가 임의의 \(E \in l({\cal P})\)에 대하여 성립하므로 증명끝.
# 예제1
\(\Omega = \{1,2,3,4\}\) 에 대하여 관심있는 집합을 아래와 같이 설정하자.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\}, \{2\} \}\]
\({\cal A}\)를 포함하는 최소한의 시그마필드 \(\sigma({\cal A})\)를 구하라.
(풀이)
\({\cal A}\)은 파이시스템이므로, \(\sigma({\cal A})\)를 구하는 대신 \(l({\cal A})\)을 구해도 충분하다.
파이람다이론에 의하여 \(l({\cal A})=\sigma({\cal A})\)이다.
그렇지만 파이람다이론의 정수는 \(\sigma({\cal A})\) 따위를 쉽게 구하는 것에 있지 않음.. 훨씬 대단한걸 할 수 있음
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# (간단한) 정의 – 측도는 정의역이 시그마필드이고 (1) 비음 (2) \(m(\emptyset)=0\) (3) \(\sigma\)-additivity 를 만족하는 집합함수 \(m\) 이다.
# (간단한) 정의 – \(m(\Omega)=1\) 인 측도를 확률측도라고 하고, 간단히 확률이라고 줄여부르기도 한다.
# (간단한) 정의 – \(m(\Omega)<\infty\) 인 측도를 유한측도라고 한다.
- 따라서 확률측도는 유한측도이다. 정리하면
\[\text{prob-msr $\Rightarrow$ finite-msr $\Rightarrow$ msr}\]
이다.
- 르벡메저는 유한측도가 아니다. (대신에 \(\sigma\)-finite임, 그런데 \(\sigma\)-finite이 뭔데??)
1. 시그마필드 \({\cal F}\)에서 집합함수 \(\tilde{m}: {\cal F} \to [0,\infty]\)이 \(\sigma\)-additive 하다는 의미??
\[B_1,B_2,\cdots \in {\cal F}~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(\biguplus_{i=1}^{\infty} B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(B_i)\]
단, \(B_1,B_2,\cdots\) 는 서로소인 집합열이다.
2. 일반적인 집합족 \({\cal A}\)에서 집합함수 \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\)이 \(\sigma\)-additive 하다는 의미??
\[\text{(1)} B_1,B_2,\cdots \in {\cal A} ~~\text{(2)}\biguplus_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal A}~ \Longrightarrow ~ \tilde{m}\left(\biguplus_{i=1}^{\infty} B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(B_i)\]
단, \(B_1,B_2,\cdots\) 는 서로소인 집합열이다.
# 정의 – \((\Omega,{\cal F}, m)\) 을 측도공간이라고 하자. 아래가 성립한다면
\(\exists~ \Omega_1,\Omega_2, \dots \in {\cal F}\) such that (1) \(\cup_{i=1}^{\infty}\Omega_i=\Omega\) and (2) \(\forall n \in \mathbb{N}: m(\Omega_n)< \infty\)
\(m\)을 시그마유한측도라고 한다.
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# 예제1 – 측도공간 \((\mathbb{R}, {\cal R}, \lambda)\) 를 고려하자. 여기에서 \(\lambda\) 는 르벡메저 (즉 길이를 재는 함수), \({\cal R}\) 은 보렐시그마필드 (즉 실수의 부분집합중 길이를 무모순으로 잴 수 있는 집합들의 모임) 이다. 아래가 성립하므로
\[\lambda(\mathbb{R})=\infty\]
르벡메저는 유한측도가 아니다.
그렇지만
와 같이 설정한다면,
\[\forall n \in \mathbb{N}: \lambda(\Omega_n) = 2 <\infty\]
가 성립하고
\[\cup_{i=1}^{\infty}\Omega_i = \Omega = \mathbb{R}\]
이므로 르벡메저는 시그마유한측도이다.
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Note
시그마유한측도의 뉘앙스는 “전체 집합을 유한한 값으로 나타낼 수는 없을지라도, 전체집합을 쪼개서 (비록 무한번 쪼개는 한이 있더라도), 쪼갠것들은 유한한 값으로 나타낼 수 있는 방법이 최소한 하나는 존재한다.” 의 뉘앙스를 가지고 있다. 따라서 시그마유한측도의 정의에서 집합열 \(\Omega_1,\Omega_2,\dots\) 를 무한집합열로 잡을 이유는 굳이 없다. (수 틀리면 무한번 쪼개겠다는 것이지 꼭 무한번 쪼개야 할 이유는 없으니까. 유한번 쪼개서 만들 수 있다면 오히려 좋음!)
# 예제1의 다른풀이 – 예제1에서 \(\Omega_1,\Omega_2,\dots\)을 아래와 같이 설정해도 된다.
그래도
이 성립하기 때문이다.
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- 유한측도이면 시그마유한측도이다. (\(\Omega_1=\Omega\)로 잡으면 된다) 따라서 정리하면 아래와 같다. \[\text{prob-msr $\Rightarrow$ finite-msr $\Rightarrow$ $\sigma$-finite msr $\Rightarrow$ msr}\]