07wk - 측도론의 중요이론들, 파이시스템/람다시스템/세미링, 확장이론1
강의영상
측도론의 중요이론들
(1) (확장이론1) \(\sigma({\cal A})\) 와 같은 표현은 항상 가능하다.
(2) 파이시스템이고 람다시스템이면 시그마필드이다.
(3) (딘킨의 \(\pi\)-\(\lambda\) thm) 파이시스템 \({\cal P}\)에 대하여 \(l({\cal P}) = \sigma({\cal P})\) 이다.
(4) (확장이론2) 세미링 \({\cal A}\)에서의 set-function \(\tilde{m}:{\cal A} \to [0,\infty]\), \(\tilde{m}(\emptyset)=0\) 을 고려하자. 함수 \(\tilde{m}\)이 (1) additive (2) \(\sigma\)-subadditive (3) \(\sigma\)-finite 를 만족하면, 이 함수 \(\tilde{m}\)을 확장하여 \(\sigma({\cal A})\)에서의 \(\sigma\)-finite measure \(m: \sigma({\cal A}) \to [0,\infty]\) 으로 만들 수 있다. 그리고 이 확장은 유일하다.
(5) \({\cal A}\)가 파이시스템일때, \(\sigma({\cal A})\)에서의 확률측도 \(\mathbb{P}\)는 \({\cal A}\)에서의 값으로 유일하게 결정된다.
여러가지 collection
- 기호와 약속: 앞으로의 강의노트에서는 특별한 언급이 없어도 아래와 같은 기호를 활용한다.
- 전체집합: \(\Omega\)
- 관심있는 집합의 모임: \({\cal A} \subset 2^{\Omega}\)
- \({\cal A}\) 중에서 특별히 시그마필드는 \({\cal F}\), 파이시스템은 \({\cal P}\), 람다시스템은 \({\cal L}\)로 표현한다.
- 가정: 앞으로의 강의노트에서는 특별한 언급이 없어도 아래를 가정한다고 생각하자.
- \(\Omega \neq \emptyset\)
- \({\cal A} \neq \emptyset\)
- 목표: 시그마필드 말고 다른 collection들의 정의를 배워보자.
- 파이시스템, 세미링, 람다시스템, 시그마필드
- 성질에 대한 정리표
| \(A \cap B\) | \(\emptyset\) | \(A-B\) | \(\Omega\) | \(A^c\) | \(A\cup B\) | \(\cup_{i=1}^{\infty}A_i\) | \(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i\) | \(\cap_{i=1}^{\infty}A_i\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\pi\)-system | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) |
| semi-ring | \(O\) | \(O\) | \(\Delta\)1 | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) | \(X\) |
| \(\lambda\)-system | \(X\) | \(O\) | \(\Delta'\)2 | \(O\) | \(O\) | \(X\) | \(X\) | \(O\) | \(X\) |
| \(\sigma\)-field | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) | \(O\) |
시그마필드
# 정의 – \(\Omega\)의 부분집합 중 조건1~3을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal F}\)를 “\(\Omega\)에 대한 시그마필드 (\(\sigma\)-field)”라고 한다.
1. \(\Omega \in {\cal F}\)
2. \(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\)
3. \(\big(\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F}\big) \Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\)
Note: 조건
2,3이 전제되어있을 경우 조건1과 아래는 같은 조건이다. \[{\cal F} \neq \emptyset\] 보통의 교재에서는 \({\cal F}\neq \emptyset\) 임을 이미 선언하고 챕터를 시작하므로, 조건1을 생략하기도 한다.
#
파이시스템
# 정의 – \(\Omega\)의 부분집합 중 아래의 조건1을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal P}\)를 “\(\Omega\)에 대한 파이시스템 (\(\pi\)-system)”이라고 한다.
1. \(A, B \in {\cal P} \Rightarrow A \cap B \in {\cal P}\)
Note: 파이시스템이 공집합을 포함할 필요는 없다.
#
- 파이시스템의 예시: 아래는 모두 \(\Omega=\mathbb{R}\) 에 대한 파이시스템이다.
- 예시1: \({\cal A} = \{(a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
- 예시2: \({\cal A} = \{[a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
- 예시3: \({\cal A} = \{(a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
- 예시4: \({\cal A} = \{[a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
람다시스템
# 정의 – \(\Omega\)의 부분집합 중 아래의 조건1~3을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal L}\)를 “\(\Omega\)에 대한 람다시스템 (\(\lambda\)-system)”이라고 한다.
1. \(\Omega \in {\cal L}\)
2. \(A \in {\cal L} \Rightarrow A^c \in {\cal L}\)
3. \(\begin{cases} \forall n \in \mathbb{N}: B_n \in {\cal L} \\ \forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ B_m \cap B_k = \emptyset \end{cases} \quad \Longrightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} B_n \in~ {\cal L}\)
Note: 조건
1,3이 전제되었을 경우 조건2는 \[\big(A,B \in {\cal L}\big) \text{ and } \big( A \subset B\big) \Longrightarrow B-A \in {\cal L}\] 와 같은 조건이다.
#
# 이론 – \(\Omega\)의 부분집합의 모임 \({\cal A}\)가 \(\Omega\)에 대한 파이시스템이면서 동시에 람다시스템이면 \({\cal A}\)는 \(\Omega\)에 대한 시그마필드이다.
세미링
# 정의 – \(\Omega\)의 부분집합 중 아래의 조건1~3을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal A}\)를 “\(\Omega\)에 대한 세미링 (semiring)”이라고 한다.
1. \(\emptyset \in {\cal A}\)
2. For all \(A,B \in {\cal A}\) there exists \(C_1,C_2,\dots,C_n \in {\cal A}\) such that
- \(C_1,C_2,\dots,C_n \in {\cal A}\)
- \(C_1,C_2,\dots,C_n\) are disjoint
- \(B-A = \uplus_{n=1}^{N}C_n\)
3. \(A, B \in {\cal A} \Rightarrow A \cap B \in {\cal A}\)
Note: 여기에서
2를 차집합에 “반쯤” 닫혀있다고 표현한다.
#
- 세미링의 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 모두 \(\Omega\)에 대한 세미링이다.
- 예시1: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b,c\}\}\)
- 예시2: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\}\)
- 예시3: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset,\{a\},\{b,c,d\},\{e,f\}, \Omega \}\)
- 세미링의 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 모두 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 세미링이다.
- 예시1: \({\cal A} = \{(a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
- 예시2: \({\cal A} = \{[a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
- 세미링이 아닌 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 세미링이 아니다.
- 예시1: \({\cal A} = \{(a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
- 예시2: \({\cal A} = \{[a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
확장이론1
- 목표: \(\sigma({\cal A})\)의 존재성을 보이자.
# 예제1 – \({\cal F}_1\), \({\cal F}_2\) 가 모두 \(\Omega\) 에 대한 시그마필드라면, \({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2\) 역시 \(\Omega\) 에 대한 시그마필드이다.
(풀이)
\({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2 = {\cal F}\) 가 시그마필드임을 보이려면 \({\cal F}\)가
- 전체집합을 포함하고
- 여집합에 닫혀있고
- 가산합집합에 닫혀있음을
보이면 된다.
아래의 식을 관찰하면 1-3 이 성립함을 쉽게 체크할 수 있음.
- \(\Omega \in {\cal F} \Leftrightarrow \big(\Omega \in {\cal F}_1 \text{ and } \Omega \in {\cal F}_2\big)\)
- \(A \in {\cal F} \Leftrightarrow \big(A \in {\cal F}_1 \text{ and } A \in {\cal F}_2\big) \Rightarrow \big(A^c \in {\cal F}_1 \text{ and } A^c \in {\cal F}_2\big) \Leftrightarrow A^c \in {\cal F}\)
- \(\big(\forall n: A_n \in {\cal F}\big)\) \(\Leftrightarrow\) \(\big((\forall n: A_n \in {\cal F}_1) \text{ and } (\forall n: A_n \in {\cal F}_2)\big)\) \(\Rightarrow\) \(\big(\cup_{n=1}^{\infty}A_n \in {\cal F}_1 \text{ and } \cup_{n=1}^{\infty}A_n \in {\cal F}_2\big)\) \(\Leftrightarrow\) \(\cup_{n=1}^{\infty}A_n \in {\cal F}\)
#
# 예제2 – 예제1의 결과는 2개뿐 아니라 모든 자연수 \(n\)에 대하여 확장가능하고 (유한한 \(n\)으로 확장가능하고), countable many intersection, uncountable many intersection으로도 확장가능하다.
# 결론 – 시그마필드를 무한번 (uncountable many) 교집합해도 시그마필드이다.
# 참고예제 – 세미링의 교집합: 아래를 고려하자.
- \(\Omega = \{1,2,3,4\}\)
- \({\cal A}_1 = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{4\}, \{1,2,3,4\} \}\)
- \({\cal A}_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3,4\}, \{1,2,3,4\} \}\)
\({\cal A}_1, {\cal A}_2\)는 모두 세미링이다. 하지만 \({\cal A}_1 \cap {\cal A}_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2,3,4\}\}\)은 세미링이 아니다.
#
# 생각 – 교집합은 하면 할수록 작아지는 성질이 있다. 즉 아래가 성립한다.
\[{\cal F}_1 \supset \big({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2\big) \supset \big({\cal F}_1 \cap {\cal F}_2 \cap {\cal F}_3\big) \dots\]
# 이론 – \({\cal A} \subset 2^\Omega\) 을 포함하는 가장 작은 시그마필드 \(\sigma({\cal A})\) 는 항상 (유일하게) 존재한다.
(증명) 우선 \(2^{\Omega}\)가 (1) \({\cal A}\) 를 포함하는 집합이고 (2) 시그마필드임을 고려하면 “\({\cal A}\) 를 포함하는 시그마필드가 적어도 하나는 존재함”은 주장할 수 있다. 이제 \({\cal A}\) 를 포함하는 시그마필드를 모두 교집합한 집합 \({\cal F}\) 를 상상하자. 즉
\[{\cal F} = \bigcap_{X \in {\cal X}} X, \quad \text{ where } {\cal X}=\{X: {\cal A} \subset X \text{ and } X \text{ is $\sigma$-field} \}\]
시그마필드의 교집합은 시그마필드이므로 \({\cal F}\)는 시그마필드이다. 또한 \({\cal F}\)는 \({\cal A}\) 를 포함하는 시그마필드를 모두 교집합하여 만들었으므로, \({\cal A}\) 를 포함하는 시그마필드중 가장 작은 시그마필드이다.
#
# 참고예제 – \({\cal A} \subset 2^\Omega\)를 포함하는 가장 작은 세미링은 존재하지 않는다. 아래를 고려하자.
- \(\Omega = \{1,2,3,4\}\)
- \({\cal A} = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2,3\}\}\)
이때 \({\cal A}\)를 포함하는 가장 작은 세미링이
\[{\cal A}_1 = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2,3\}, \{2,3\}\}\]
라고 주장할 수는 없음. 왜냐하면
\[{\cal A}_2 = \{\emptyset, \Omega, \{1\}, \{1,2,3\},\{2\},\{3\}\}\]
역시 \({\cal A}\)를 포함하는 세미링이지만 \({\cal A}_1 \not \subset {\cal A}_2\)이므로.
#
# 이론 – \({\cal A} \subset 2^\Omega\) 을 포함하는 가장 작은 람다시스템 \(l({\cal A})\) 는 항상 (유일하게) 존재한다.
(증명) – 생략
#
딘킨의 \(\pi-\lambda\) theorem
# 예제1
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 일때 아래의 집합 \({\cal A}\) 가 교집합에 닫혀있음을 체크하는 방법을 생각해보자.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \}\]
(해설) – 직관적으로 풀기보다 아래와 같이 \(\forall A \in {\cal A}: {\cal D}_A = {\cal A}\) 가 성립함을 state
집합 \(A\)와 교집합하여도 닫힘성을 유지하는 원소들의 모임 \({\cal D}_A\)를 고려하자.
\[{\cal D}_A= \{B: A\cap B \in {\cal A},~B \in {\cal A}\}\]
- \(\emptyset: \big(\emptyset, \emptyset, \emptyset, \emptyset, \emptyset, \emptyset\big) \Rightarrow {\cal D}_{\emptyset}={\cal A}\)
- \(\{1\}: \big(\emptyset, \{1\}, \emptyset, \emptyset, \{1\}, \{1\}\big) \Rightarrow {\cal D}_{\{1\}}={\cal A}\)
- \(\{2\}: \big(\emptyset, \emptyset, \{2\}, \{2\}, \emptyset, \{2\}\big) \Rightarrow {\cal D}_{\{2\}}={\cal A}\)
- \(\{2,3,4\}: \big(\emptyset, \emptyset, \{2\}, \{2,3,4\}, \textcolor{red}{\{3,4\}}, \{2,3,4\}\big) \Rightarrow {\cal D}_{\{2,3,4\}}={\cal A}-\{1,3,4\}\)
- \(\{1,3,4\}: \big(\emptyset, \{1\}, \emptyset, \textcolor{red}{\{3,4\}}, \{1,3,4\}, \{2\}\big) \Rightarrow {\cal D}_{\{1,3,4\}}={\cal A}-\{2,3,4\}\)
- \(\{\Omega\}: \big(\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega\big) \Rightarrow {\cal D}_{\Omega}={\cal A}\)
만약에 \(\forall A \in {\cal A}: {\cal D}_A = {\cal A}\) 가 성립한다면 \({\cal A}\)는 교집합에 닫혀있다고 볼 수 있다.
#
# 예제2
\(\Omega=\{1,2,3\}\) 일때 아래의 집합 \({\cal A}\) 가 교집합에 닫혀있지 않은 이유를 \({\cal D}_A\)를 이용하여 설명하라.
\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\}, \{2,3\}, \Omega\}\]
(풀이)
\({\cal D}_{\{1,2\}} = {\cal A} - \{2,3\}\) 이고 \({\cal D}_{\{2,3\}} = {\cal A} - \{1,2\}\) 이므로
\[\forall A \in {\cal A}: {\cal D}_A = {\cal A}\]
가 성립하지 않음.
Note: \(A\)를 완전히 포함하거나, \(A\)에 완전히 포함되는 집합들은 \({\cal D}_A\)의 원소가 된다.
예제3
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\) 이고
\[{\cal A}=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\}\]
일때 아래를 체크하라.
- \(\{1\} \in {\cal D}_{\{1\}}\)
- \(\{1,2\} \in {\cal D}_{\{1\}}\)
- \(\{1,2\} \in {\cal D}_{\{2\}}\)
- \(\{1\} \in {\cal D}_{\{1,2\}}\)
- \(\{2\} \in {\cal D}_{\{1,2\}}\)
- \(\{1,2\} \in {\cal D}_{\{1,2\}}\)
# 이론 – Dynkin’s \(\pi-\lambda\) theorem (\(\star\))
\({\cal P} \subset 2^{\Omega}\)가 파이시스템이면 \(l({\cal P})=\sigma({\cal P})\)이다.
Note: \({\cal P}\)를 포함하는 최소한의 시그마필드를 찾기 위해서는 \({\cal P}\)를 포함하는 최소한의 람다시스템만 찾아도 충분하다는 의미이다.
#
감각적으로 이해해보자. \(\Omega\)의 부분집합들의 모임 \({\cal A}\)에서 확장된 \(\sigma({\cal A})\)를 구하기 위해서는
- (1차확장) – \(l({\cal A})\) 까지 확장하고
- (2차확장) – \(l({\cal A})\)가 교집합에 닫혀있음을 보이며 추가확장을
해야할 것이다. (2차확장만 하면 \(l({\cal A})\)가 시그마필드가 되는 이유는 “람다시스템이고 파이시스템이면 시그마필드”라는 이론을 써서 그렇죠) 그런데 애초에 \({\cal A}\)를 교집합에 닫혀있는 상태에서 확장을 시작한다면 2차확장을 과정을 생략해도 된다는 것이다.
강의가 너무 길어져서 증명은 다음시간에 설명하겠습니다