2025-10-09
# 예제1
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 내가 관심이 있는 확률은 \(\mathbb{P}(\{1\})\), \(\mathbb{P}(\{2\})\) 밖에 없다고 하자. 이러한 확률들이 무모순으로 정의되기 위한 최소한의 \({\cal F}\) 를 정의하라.
(풀이) – 좀 귀찮네..?
0차수정: \({\cal A} = \big\{\{1\}, \{2\}\big\}\)
1차수정: \(\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \Omega \big\}\)
2차수정: \(\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \big\}\)
3차수정: \(\big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\} \big\}\)
(생각) – \(\sigma({\cal A})\)의 도입
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# 예제2
\(\Omega=[0,1)\)이라고 하자. 집합 \(\mathbb{Q}\)를 구간 \([0,1)\)에 포함된 모든 유리수의 집합이라고 하자. \({\cal A} = \{\{x\}: x\in \mathbb{Q}\}\) 이라고 하자. 아래가 성립할까? \[\mathbb{Q} \in \sigma({\cal A})\] 즉 구간 \([0,1)\)에서의 유리수를 한점씩을 잴 수 있을 때 구간 \([0,1)\)의 모든 유리수 집합 역시 잴 수 있어야 할까?
(해설)
- 집합 \(\{\frac{1}{2}\}\)는 잴 수 있고, 집합 \(\{\frac{1}{3}\}\) 역시 잴 수 있다. (즉 \(\frac{1}{2} \in \sigma({\cal A})\) 이고 \(\frac{1}{3} \in \sigma({\cal A})\)) 그렇다면 집합 \(\{\frac{1}{2},\frac{1}{3}\}=\{\frac{1}{2}\} \uplus \{\frac{1}{3}\}\) 역시 잴 수 있어야 한다. (즉 \(\{\frac{1}{2},\frac{1}{3}\} \in \sigma({\cal A})\)이어야한다. 왜냐하면 확률의 공리에 의하여 아래식이 성립하기 때문이다.
\[\mathbb{P}(A_1 \uplus A_2)= \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(A_2)\]
비슷한 논리로 집합 \(\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \}\) 역시 잴 수 있어야 한다. 왜냐하면 확률의 공리에 의하여 아래식이 성립하기 때문이다.
\[\mathbb{P}(\uplus_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_n)\]
- 집합 \(\mathbb{Q}\) 는 잴 수 있을까? \(\mathbb{Q}\) 의 카니널리티는 자연수의 카디널리티와 같으므로 \(\mathbb{N} \to \mathbb{Q}\) 인 전단사함수 \(f\)가 존재하며, 따라서 \[\mathbb{Q} = \{f(1),f(2),\dots, \} = \uplus_{n=1}^{\infty}\{ f(n) \}\] 와 같이 쓸 수 있다. 확률의 공리에 의하여 아래식이 성립한다. \[\mathbb{P}(\mathbb{Q}) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(\{f(n)\})\] 우변의 값이 무모순으로 정의되므로 좌변의 값 \(\mathbb{P}(\mathbb{Q})\) 역시 무모순으로 정의되어야 한다.
- 즉 \[\mathbb{Q} \in \sigma({\cal A})\] 이어야 한다.
Note
[\(\uplus_{n=1}^{\infty}\)에 닫힘]: 서로소인 집합들 \(A_1,A_2,\dots\) 에서 확률값을 잴 수 있다면, \(A=\uplus_{n=1}^{\infty} A_n\) 에서도 확률값을 잴 수 있어야 한다. 즉 아래가 성리해야한다. \[\begin{cases} \forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \\ \forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ A_m \cap A_k = \emptyset\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \uplus_{n=1}^{\infty} A_n \in {\cal F}\]
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# 예제3
\(\Omega=[0,1)\) 이라고 하자. 집합 \(\mathbb{Q}\) 를 구간 \([0,1)\)에 포함된 모든 유리수의 집합이라고 하자. \({\cal A} = \{\{x\}: x\in \mathbb{Q}\}\) 이라고 하자. 아래가 성립할까?
\[\mathbb{Q}^c \in \sigma({\cal A})\]
단, 여기에서 \(\mathbb{Q}^c\) 는 구간 \([0,1)\)에 포함된 모든 무리수의 집합이다.
(해설)
\(\mathbb{Q} \in \sigma({\cal A})\) 이므로 \(\mathbb{Q}^c\in \sigma({\cal A})\) 이어야 한다.
\(\mathbb{Q}^{c}=\uplus_{x \in \mathbb{Q}^c} \{x\}\) 의 꼴로 표현될 수 있지만, \(\mathbb{Q}^{c}=\uplus_{x \in \mathbb{Q}^c} \{x\}=\uplus_{n=1}^{\infty}\{x_n\}\) 와 같이 표현할 수 없으므로 \(\mathbb{P}(\mathbb{Q}^{c})=\sum_{x \in \mathbb{Q}^c}\mathbb{P}(\{x\})\) 와 같이 쓸 수 없음을 주의하라. (똑똑한 초등학생 논리의 완벽한 카운터)
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# 예제3
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) 이라고 하자. \({\cal F}=\emptyset\) 와 같이 정의한다면 합리적인가?
(풀이)
쉽게말하면 잴 수 있는 집합이 없다는 의미 \(\Rightarrow\) 일반적인 상식 (혹은 확률의 공리)에 호소하며 합리적이지 혹은 비합리적인지 따지기 어려움 \(\Rightarrow\) \({\cal F}\neq \emptyset\) 이라고 “약속”하자.
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# 지금까지의 예제를 풀며 얻은 결론
지금까지의 조건을 종합하면, \(\Omega\)의 부분집합 중 잴 수 있는 집합들의 모임 \({\cal F}\)은 아래의 조건을 충족해야할 것 같다.
1. 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\)은 공집합이 아님 \[{\cal F}\neq \emptyset\]
2. 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\)에는 항상 전체집합이 있어야함 (공리1) \[\Omega \in {\cal F}\]
3. 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\)는 여집합 연산에 닫혀있음. (공리3 파생) \[A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\]
4. 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\)는 유한 서로소 합집합 연산에 닫혀있음. (공리3) \[\begin{cases} A \in {\cal F}, B \in {\cal F} \\ A\cap B = \emptyset\end{cases} \Rightarrow A \uplus B~ \in~ {\cal F}\]
5. 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\)는 포함관계가 있는 차집합 연산에 닫혀있음. (공리3 파생) \[\begin{cases}A \in {\cal F}, B \in {\cal F} \\ A \subset B \end{cases} \Rightarrow B-A ~ \in~ {\cal F}\]
6. 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\)는 가산 서로소 합집합 연산에 닫혀있음. (공리3) \[\begin{cases} \forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \\ \forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ A_m \cap A_k = \emptyset\end{cases} \Rightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} A_n \in {\cal F}\]
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# 조건의 정리
위의 6개의 조건은 아래의 3가지 조건으로 정리가능하다.
1. 전체집합을 포함 (\(\Omega \in {\cal F}\))
2. 여집합에 닫힘 (\(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\))
3. 가산서로소합집합에 닫힘 \[\begin{cases} \forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \\ \forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ A_m \cap A_k = \emptyset\end{cases} \Rightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} A_n \in {\cal F}\]
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# 람다시스템
\(\Omega\)의 부분집합중 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\) 는 아래의 조건 1~ 3을 만족하는 집합의 집합 (collection) 이라고 정의하면 어떨까?? (그럴싸하지만, 하나의 조건이 더 필요하다.)
1. 전체집합을 포함 (\(\Omega \in {\cal F}\))
2. 여집합에 닫힘 (\(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\))
3. 가산서로소합집합에 닫힘 \[\begin{cases} \forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \\ \forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ A_m \cap A_k = \emptyset\end{cases} \Rightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} A_n \in {\cal F}\]
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# 예제4
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)라고 하자. 아래와 같은 잴 수 있는 집합들의 모임은 합리적일까?
\[\big\{\emptyset, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}, \Omega\big\}\]
혹시 \(\{1,2\} \cap \{1,3\} = \{1\}\) 와 같은건 잴 수 있다고 보는게 더 합리적이지 않을까?
(해설?)
집합 \(A\)와 \(B\)에 대한 확률값을 매길 수 있다면 \(\mathbb{P}(A \cap B)\)를 정의할 수 있어야 할까? 주어진 \({\cal F}\)는 아래의 조건을 만족한다.
여기에 “교집합에 닫혀있음”이라는 조건도 추가적으로 필요할까?
사실 딱히 그러한 조건이 필요해보이진 않는다. 아래와 같이 확률을 정의한다고 가정하자.
이러한 확률정의가 어떠한 공리를 위배하는가? 위배하는 것이 없다.
합의: 그렇지만.. 그냥 \(A,B\)를 잴 수 있다면 \(A \cap B\) 도 잴 수 있다고 합의하시죠..
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# 조건의정리 (교집합을 추가하면)
두 집합 \(A\), \(B\)에 대한 확률을 무모순으로 정의가능하다면 그것의 교집합인 \(A\cap B\)에 대하여서도 확률값을 무모순으로 정의가능하다고 가정하자. 즉 \(\Omega\)의 부분집합중 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\) 는 아래의 조건 1~ 4을 만족하는 집합의 집합 (collection) 이라고 정의하자.
1. 전체집합을 포함 (\(\Omega \in {\cal F}\))
2. 여집합에 닫힘 (\(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\))
3. 가산서로소합집합에 닫힘 \[\begin{cases} \forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \\ \forall {m,k} \in \mathbb{N}, m\neq k:~ A_m \cap A_k = \emptyset\end{cases} \Rightarrow \uplus_{n=1}^{\infty} A_n \in {\cal F}\]
4. 교집합에 닫힘 (\(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\))
그런데 조건2-4를 이용하면 아래와 같은 조건 5를 유추할 수 있다.
5. 가산합집합에 닫힘
\[\big(\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \big) \Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\]
1. 전체집합을 포함 (\(\Omega \in {\cal F}\))
2. 여집합에 닫힘 (\(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\))
3. 가산서로소합집합에 닫힘
4. 교집합에 닫힘 (\(A,B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}\))
5. 가산합집합에 닫힘
# 정의: 시그마필드
\(\Omega\)의 부분집합중 아래의 조건1~ 3을 만족하는 집합의 집합 (collection) \({\cal F}\)를 “\(\Omega\)에 대한 시그마필드”라고 한다.
1. 전체집합을 포함 (\(\Omega \in {\cal F}\))
2. 여집합에 닫힘 (\(A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\))
3. 가산합집합에 닫힘
\[\forall n \in \mathbb{N}: A_n \in {\cal F} \Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in~ {\cal F}\]
그리고 \({\cal F}\)의 원소를 \({\cal F}\)-measurable set 이라고 한다.
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- 참고1: 시그마필드는 \(\Omega\) 없이 단독으로 정의되지 않는다. 즉
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}\]
는 단지 그냥 시그마필드라고 언급하기 보다 \(\Omega=\{H,T\}\)에 대한 시그마필드라고 해야 정확한 표현이다.
- 참고2: 참고1에 따라서 \({\cal F}\) 단독으로 표기하는 것 보다 \(\Omega\)를 붙여서 \((\Omega,{\cal F})\)와 같이 쌍으로 표기하는게 더 합리적이다. 앞으로는 이러한 쌍을 measurable space 라고 부른다.
- 참고3: 보통의 교재(링크)에서는 시그마필드의 정의부터 시작하는 경우가 많다.