2025-09-23
- 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합.
- 예시1: countable set, uncountable set
- 예시2: countable sum: 아래는 모두 countable sum을 의미한다.
- 예시3: countable union: 아래는 countable union을 의미한다.
- 예시4: 아래는 uncountable sum을 의미한다.
- 예시5: 아래는 uncountable union을 의미한다.
- 가산집합 (finite, 셀 수 있는 무한)
| 집합 | 카디널리티 | 분류 | 르벡메져 |
|---|---|---|---|
| \(\{1,2,3\}\) | 3 | 가산집합 | 0 |
| \(\mathbb{N}\) | \(\aleph_0\) | 가산집합 | 0 |
| \(\mathbb{Z}\) | \(\aleph_0\) | 가산집합 | 0 |
| \(\mathbb{Q}\) | \(\aleph_0\) | 가산집합 | 0 |
| \([0,1]\cap \mathbb{Q}\) | \(\aleph_0\) | 가산집합 | 0 |
- 비가산집합 (셀 수 없는 무한)
| 집합 | 카디널리티 | 분류 | 르벡메져 |
|---|---|---|---|
| \([0,1]\) | \(\aleph_1\) | 비가산집합 | 1 |
| \([0,1]\cup \mathbb{Q}\) | \(\aleph_1\) | 비가산집합 | 1 |
| \([0,1]\cap \mathbb{Q}^c\) | \(\aleph_1\) | 비가산집합 | 1 |
| \([0,\infty)\) | \(\aleph_1\) | 비가산집합 | \(\infty\) |
- 특이한 비가산집합
| 집합 | 카디널리티 | 분류 | 르벡메져 |
|---|---|---|---|
| 칸토어집합 | \(\aleph_1\) | 비가산집합 | 0 |
| 비탈리집합 | \(\aleph_1\) | 비가산집합 | NA |
- 지금까지의 이야기. (01wk)
- 지금가지의 이야기 (02wk,03wk)
- 우리의 기대
그런데, 굳이 비탈리 집합같은곳에서까지 확률(=길이)을 재야하나??
- 오늘의 이야기
- 목표: \(\Omega\)의 부분집합 중 확률,길이 등을 “잴 수 있는 집합들의 모임” 이라는 개념을 수학적으로 정의하자.
- 기호에 대한 약속: \(\Omega\)의 부분집합 중 “잴 수 있는 집합들의 모임”을 일단 기호로 \({\cal F}\) 라 하자.
- 당연한 전제: 우리가 정의한 확률은 당연히 확률의 공리를 따라야 한다. 즉 아래가 성립해야 한다. (https://ko.wikipedia.org/wiki/확률의_공리)
# 예제1 – 잴 수 있는 집합의 모임
\(\Omega=\{H,T\}\) 라고 하자. 이제 아래와 같은 집합들을 생각하자. \[\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\] 이 집합들은 모두 확률을 모순없이 정의할 수 있는 집합들인가?
(해설)
우리는 이미 이전의 예제에서 \(\emptyset\), \(\{H\}\), \(\{T\}\), \(\Omega\) 의 확률을 모순없이 정의할 수 있다는 사실을 논의한 바 있다. 따라서 잴 수 있는 집합들의 묶음 \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다면 묶음 \({\cal F}\)가 합리적일 것이다. \[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \Omega\big\}\]
#
이때 \({\cal F}\)는 집합들의 집합인데, 이러한 집합을 collection 이라고 한다.
# 예제2 – 집합 \(A\)의 확률값을 잴 수 있다면, 집합 \(A^c\)의 확률값도 잴 수 있어~
\(\Omega=\{H,T\}\)라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다면 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이지 않다. \[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \Omega\big\}\]
(해설1) – 상식에 호소하는 해설
이러한 묶음이 의미하는건 “앞면이 나올 확률은 모순없이 정의할 수 있지만, 뒷면이 나오는 확률은 모순없이 정의하는게 불가능해~” 라는 뜻이다. 그런데 뒷면이 나올 확률은 “1-앞면이 나올 확률” 로 모순없이 정의할 수 있으므로 “앞면 이 나올 확률이 모순없이 정의되면서” 동시에 “뒷면이 나올 확률이 모순없이 정의되지 않는” 상황은 없다.
(해설2) – 공리에 의한 해설
- \(\Omega\)는 잴 수 있는 집합이다. (왜냐하면 \(\Omega \in {\cal F}\) 라고 하였으므로) 따라서 \(\mathbb{P}(\Omega)\)의 값은 모순없이 정의됨을 알 수 있다. 그런데 확률의 공리2에 의하여 \(\mathbb{P}(\Omega)\)의 값은 1임을 알 수 있다.
- 한편 \(\{H\}\) 역시 잴 수 있는 집합이다. (왜냐하면 \(\{H\} \in {\cal F}\) 라고 하였으므로) 따라서 \(\mathbb{P}(\{H\})\)의 값은 모순없이 정의됨을 알 수 있다. 이 값을 편의상 \(p\) 라고 가정하자. 확률의 공리1에 의하여 \(0\leq p \leq 1\) 임을 알 수 있다.
- 아래의 수식을 관찰하자.
\[\Omega = \{H\} \uplus \{T\} \Rightarrow \mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(\{H\}) + \mathbb{P}(\{T\})\]
수식에서 왼쪽이 성립하는 이유는 확률과 상관없는 집합이론이고 \(\Rightarrow\) 가 성립하는 이유는 확률의공리3에 의해서 이다. 따라서
\[\mathbb{P}(\{T\})=\mathbb{P}(\Omega)-\mathbb{P}(\{H\})=1-p\]
로 “모순없이” 정의될 수 있어야 한다.
즉 \(\{T\}\)는 잴 수 있는 집합이어야 한다. 그런데 \(\{T\}\)는 \({\cal F}\)의 원소가 아니므로 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이지 않다.
#
Note
[여집합에 닫힘]: 집합 \(A\)의 확률값을 잴 수 있다면, 집합 \(A^c\)의 확률값도 잴 수 있어야 한다. 즉 아래가 성립해야한다. \[\forall A \subset \Omega:~ A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\] 이를 좀 더 간단하게는 아래와 같이 쓸 수 있다. \[A \in {\cal F} \Rightarrow A^c \in {\cal F}\] 왜냐하면 \({\cal F}\)의 원소라는 점은 이미 \(\Omega\)의 부분집합임을 암시하고 있으므로 \(A \subset \Omega\) 라는 조건은 생략가능하기 때문이다.
아이디어: \({\cal F}\) 라는 것은 확률값을 잴 수 있는 집합과 확률값을 잴 수 없는 집합을 동시에 정의하고 있음을 주목하자. 즉 \({\cal F}=\big\{\emptyset, \{H\}, \Omega\big\}\) 일때 \(\{H\}\)가 확률값을 잴 수 있는 집합이라는 사실에만 초점을 맞추지 말고 \(\{T\}\)가 확률값을 잴 수 없는 집합이라는 사실에도 초점을 맞추어야 한다.
# 예제3 – 전체집합에 대한 확률값을 잴 수 있다면, 공집합에 대한 확률도 잴 수 있어.
\(\Omega=\{H,T\}\)라고 하자. \({\cal F}\)를 아래와 같이 정의한다면 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이지 않다. \[{\cal F}=\big\{ \{H\}, \{T\}, \Omega\big\}\]
(해설)
전체집합의 확률은 \(\mathbb{P}(\Omega)=1\)로 정의할 수 있다. 그런데 전체집합의 여집합인 공집합의 확률을 정의할 수 없는건 말이 안되므로 공집합은 \(\cal F\)에 포함되어야 한다.
#
예전기억: 왜 \(\mathbb{P}(\emptyset)=0\) 인지 이제 알겠죠?
# 예제4 – 원소의 수가 유한한 경우 \({\cal F}=2^\Omega\)은 잴 수 있는 집합의 모임이야.
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음은 \({\cal F}\)은 합리적이다.
\[\begin{align*} {\cal F}&=\text{all subset of $\Omega$}= 2^\Omega \\ &= \big\{ \emptyset, \{1\}, \dots, \{6\}, \dots, \{1,2,3,4,5\}, \dots \Omega\big\} \end{align*}\]
(해설)
\(\Omega\)의 모든 부분집합에 대하여 확률을 모순없이 정의할 수 있다. 예를들면
이런식으로 정의할 수 있다.
# 에제5 – 동일한 \(\Omega\)에 대하여 확률값을 잴 수 있는 집합의 모임 \({\cal F}\)는 유니크하지 않음.
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이다. \[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{6\}, \{1,2,3,4,5\},\Omega \big\}\]
(해설)
어떠한 특수한 상황을 가정하자. 주사위를 던져야하는데 6이 나오면 살수 있고 6이 나오지 않으면 죽는다고 하자. 따라서 던지는 사람 입장에서는 주사위를 던져서 6이 나오는지 안나오는지만 관심있을 것이다. 이 사람의 머리속에서 순간적으로 떠오르는 확률들은 다음과 같다.
이러한 확률은 합리적이다. 즉 아래의 집합들만 확률을 정의한다고 해도, 확률을 잘 정의할 수 있을 것 같다.
\[\emptyset, \{6\}, \{1,2,3,4,5\}, \Omega\]
#
# 예제6
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이다.
\[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{1,3,5\}, \{2,4,6\},\Omega \big\}\]
(해설)
전체사건을 “주사위를 던져서 짝이 나오는 사건”, “주사위를 던져서 홀이 나오는 사건” 정도만 구분하겠다는 의미
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# 예제7
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)이라고 하자. \({\cal F}\)을 아래와 같이 정의한다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\)는 합리적이지 않다. \[{\cal F}=\big\{\emptyset, \{1,3,5\}, \Omega \big\}\]
(해설)
“주사위를 던져서 홀수가 나올 사건”에 대한 확률을 정의할 수 있는데, 짝수가 나올 사건에 대한 확률을 정의할 수 없다는건 말이 안되는 소리임.
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# 예제8
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)이라고 하자. 어떠한 필요에 따라서 1이 나올 확률과 2가 나올 확률에만 관심이 있고 나머지는 별로 관심이 없다고 하자. 그래서 \({\cal F}\) 를 아래와 같이 정의했다고 하자. 이러한 묶음 \({\cal F}\) 는 합리적이지 않다. \[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega \}\]
(해설1)
\({\cal F}\) 는 전체집합과 공집합을 포함하고 여집합에 닫혀있으므로 언뜻 생각해보면 합리적인듯 보이지만 그렇지 않다. 왜냐하면 \(\{1,2\}\)이 빠졌기 때문이다. 1이 나올 확률 \(\mathbb{P}(\{1\})\)와 2가 나올 확률 \(\mathbb{P}(\{2\})\)를 각각 정의할 수 있는데, 1 또는 2가 나올 확률 \(\mathbb{P}(\{1,2\})\)을 정의할 때 모순이 발생한다는 것은 합리적이지 못하다. 왜냐하면 \(\{1\} \cap \{2\} = \emptyset\) 이므로
\[\mathbb{P}(\{1\} \uplus \{2\})=\mathbb{P}(\{1\}) + \mathbb{P}(\{2\})\]
와 같이 정의가능하기 때문이다.
따라서 집합이 아래와 같이 수정되어야 한다.
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{1,2\}, \{3,4\} \}\]
(해설2)
아래를 관찰하자.
\[\{2\} \uplus \{3,4\} =\{2,3,4\}\]
양변에 확률을 취하자.
\[\mathbb{P}(\{2\}) + \mathbb{P}(\{3,4\}) = \mathbb{P}(\{2,3,4\})\]
그런데 여기에서 \(\mathbb{P}(\{2\})\)와 \(\mathbb{P}(\{2,3,4\})\)는 정의가능한데, \(\mathbb{P}(\{3,4\})\)는 정의할 수 없다는 사실이 말이 안된다.
따라서 \({\cal F}\)를 아래와 같이 수정해야 한다.
\[{\cal F}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \Omega, \{3,4\}, \{1,2\} \}\]
#
Note
해설2에 대한 논의를 일반화 하면 \[A\subset B \Rightarrow B = A \uplus (B-A) \Rightarrow \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A) +\mathbb{P}(B-A)\]이므로, \(A,B\) 가 확률값을 잴 수 있는 집합이라면 \(B-A\) 역시 확률값을 잴 수 있는 집합이어야 한다고 결론지을 수 있다.
Note
[\(\uplus\)에 닫힘]: 서로소인 두 집합 \(A,B\) 에서 확률값을 잴 수 있다면, 당연히 \(A \uplus B\) 에서도 확률값을 잴 수 있어야 한다. 즉 아래가 성리해야한다.
\[A \in {\cal F}, B \in {\cal F} \text{ and } A\cap B = \emptyset \quad \Longrightarrow \quad A \uplus B~ \in~ {\cal F}\]
Note
[포함관계에 있는 집합의 차집합에 닫힘]: 포함관계에 있는 두 집합 \(A\subset B\) 에서 모두 확률값을 잴 수 있다면, 당연히 \(B-A\) 에서도 확률값을 잴 수 있어야 한다. 즉 아래가 성리해야한다. \[A \in {\cal F}, B \in {\cal F} \text{ and } A \subset B \quad \Longrightarrow \quad B-A ~ \in {\cal F}\]